非线性非自治运动系统扩展等面积准则灵敏度分析

非线性非自治运动系统扩展等面积准则灵敏度分析

0受扰轨迹对控制参数灵敏度分析目前，对电气系统暂时稳定的定量研究可分为两类：基于ly蒲公英直接法概念的能量函数法；基于时域模拟的eea方法。能量函数法是一种无限长时间区间上的电力系统(一般力学系统)渐近稳定性理论,而EEAC法是一种有限时间区间上的电力系统(运动系统)滑步稳定性理论。大多数能量函数法对系统数学模型复杂程度的适应性较差,对于非自治系统,能量函数法甚至根本不能应用;而EEAC法由于基于时域仿真而对系统数学模型具有极强的适应性,随着电力系统物理复杂性的不断增强及电力市场化的不断推进,这种模型适应性越发显得重要。EEAC提供的电力系统暂态稳定性量化指标η对于电力系统稳定分析和控制具有重要作用,例如可用η构成各种考虑系统暂态稳定性约束的电力系统优化问题,包括暂态稳定紧急控制、考虑暂态稳定的最优潮流、考虑暂态稳定的ATC计算等。求解这些带有暂态稳定约束的电力系统优化问题的关键往往是如何求取稳定裕度量化指标η对控制参数U的灵敏度η/U。EEAC基于受扰轨迹,所以只要能够得出受扰轨迹对控制参数的灵敏度,就应该能够进行EEAC稳定裕度对控制参数的解析灵敏度分析。对于电力系统这样一个典型的微分代数系统,受扰轨迹对控制参数的灵敏度分析可用微分代数系统轨迹灵敏度分析进行。为解决映像系统非经典定常哈密顿单机无穷大系统时的EEAC解析灵敏度分析问题,首先以轨迹灵敏度分析为工具求得系统相点到达动态鞍点(DSP)的时间tdsp对控制参数的灵敏度tdsp/U,进而求得EEAC稳定裕度η对控制参数的解析灵敏度η/U。1基于轨迹灵敏度的计算方法设有非线性时变系统:式中:x∈R;u为控制参数,为方便起见,这里限定u为1维,即u∈R;g对x,t,u均可导。式(1)两边对u求导,并设控制参数u的摄动于t=0时发生,有式中:xu=x/u,称为轨迹灵敏度,xu为时间函数,其意义为任一时间点t上由控制参数u的微小改变Δu引起的轨迹x(t)的微小改变Δx(t)与Δu之比。对于某一确定的控制参数值u0,联立求解式(1)、式(2)可得到轨迹灵敏度xu。基于轨迹灵敏度的概念,可有如下2个定理。这2个定理构成了本文EEAC解析灵敏度分析的数学基础。限于篇幅,证明过程略去。定理1设对式(1)所示非线性时变系统的解x(t),存在,使得x()=0,即时刻解x(t)过零点,且,那么x(t)过零点的时间t对控制参数u的灵敏度为:定理2对式(1)所示的非线性时变系统,在时间区间[t0,t(u)]上定义一个积分指标:式中:t0为常数;t(u)为控制参数u的函数;t(u)对u可导;h(x,u,τ)对x,u,τ均可导。那么,对式(4)所示的积分,有2tdsp时转速的灵敏度考虑单刚体非线性时变运动系统:式中:δ∈R,ω∈R为状态变量;ωN为常数;u为控制参数;f对δ,ω,t,u均可导或分段可导,为方便起见,这里限定u为1维,即u∈R。对式(6),其轨迹灵敏度方程为:对于某一确定的控制参数值u0,联立求解式(6)、式(7)可得到轨迹灵敏度δu,ωu。设式(6)所示系统在某一失稳情况下的相图如图1所示。图1中,对应于δdsP的时间即为系统相点到达动态鞍点的时间tdsp,δcl对应的时间为tcl。现在,我们的问题是如何求得tdsp/u?由文献可知,对图1所示失稳情况,当即t=tdsp。时转速的导数过零点。所以问题转化为求tdsp>tcl时(t)过零点的时间tdsp对控制参数u的灵敏度。由定理1,不难得到:式(9)给出了系统相点到达动态鞍点的时间tdsp对控制参数u的灵敏度。式(9)中uGdsp)为t=tdsp时转速轨迹灵敏度的导数,由式(7)第2式给出;(tdsp)为t=tdsp时转速的2次导数,由式(6)第2式两边对时间取导数给出。对式(6)所示非线性时变系统应用EEAC,设暂态过程于t=0开始,在图1所示失稳情况下,系统稳定裕度可写为:由定理2,并计及式(9),式(10)所示EEAC稳定裕度对控制参数的灵敏度为:式(11)中,。式(11)给出了不稳定情形下EEAC稳定裕度η对控制参数灵敏度的解析表达式。从上面求取EEAC稳定裕度η对控制参数灵敏度解析表达式的过程可以看出,之所以能够得出精确的解析灵敏度表达式,关键是能够依据轨迹灵敏度分析求出系统相点到达动态鞍点的时间tdsp对控制参数u的灵敏度tdsp/u。3算法解析灵敏度考虑系统:ωN=100π,Tj=10,δ(0)=π/6,ω(0)=1,tcl=0.1s。由于e-14t的存在,这个系统是一个非自治系统,Lyapunov方法不能应用,而EEAC能够应用。选择控制参数u=Pm,当u=Pm=0.5时,系统首摆失稳。记为两种方法的相对误差,当摄动步长Δu=0.0005时,e1仅为0.01%,e2仅为0.029%,这充分说明本文EEAC解析灵敏度分析方法的正确性。图2给出了相对误差e1和e2随摄动步长Δu变化的情况。由图2可以看出,除个别点外,从整体上看,随摄动步长增加,相对误差也增加,当摄动步长Δu=0.05时,相对误差e1=1.08%,e2=6.06%,说明0.05的摄动步长下得到的结果还处于可以接受的范围。4eeac解析灵敏度分析方法a.分析EEAC提供的稳定量化指标对控制参数的灵敏度具有重要意义。数值摄动法虽然能够得到该灵敏度的近似值,但理论上不能令人满意。本文首先以轨迹灵敏度分析为工具得到不稳定情况下系统相点到达动态鞍点(DSP)的时间tdsp,对控制参数的灵敏度,进而给出了不稳定情况下EEAC稳定量化指标对控制参数灵敏度的解析表达式。本文提出的EEAC解析灵敏度分析方法丰富了EEAC的灵敏度分析理论。b.本文的分析针对单刚体运动方程,由于EEAC经过保稳变换将多刚体运动转化为一系列单刚体运动,且保稳变换可以解析表达,因而理论上本文方法可以求得EEAC提供的不稳定情况下多刚体运动系统稳定量化指标对控制参数的解析灵敏度。当然,本文方法只是EEAC解析灵敏度分析方面的初步结果,将本文方法运用于复杂模型下多机电力系统EEAC解析灵敏度分析还有很多问题需要解决。c.本文方法原理上可考虑任何能够解析表达的电力系统模型。对于更