七年级数学上册专题4.11 线段公理与直线公理（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

/专题4.11线段公理与直线公理（知识讲解）【学习目标】认识并理解公理的含义；理解并掌握两点之间距离公式；理解并掌握线段、直线公理；初步认识最短路径问题，并求最简单的最短路径问题。【要点梳理】要点一、公理概念：公理是指依据人类\t"/item/%E5%85%AC%E7%90%86/_blank"理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。要点二、直线公理经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．特别说明：（1）“有一条直线”中的有表示“存在”，“只有一条直线”中“只有”表示“唯一”；（2）过一点有无数条直线。要点三、线段公理两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．如图1所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．图1图1要点四、两点之间距离两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离．【典型例题】类型一、线段公理——两点确定一条直线1．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是为什么？【答案】两点确定一条直线．【分析】根据确定一条直线的方法求解即可．解：根据直线公理：两点确定一条直线，∴答案为：两点确定一条直线．【点拨】此题考查了确定一条直线的方法，解题的关键是熟练掌握确定一条直线的方法：两点确定一条直线．举一反三：【变式1】小明和小亮在讨论“射击时为什么枪管上要准星？”小明：过两点有且只有一条直线，所以枪管上要有准星．小亮：若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这不就有三点了吗？多了一个点呀！请你说说你的观点．【答案】两点确定一条直线试题分析：此题根据直线的性质两点确定一条直线进行解答即可．解：若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，那么要想射中目标，人眼与目标确定的这条直线，应与子弹所走的直线重合，即与准星和目标所确定的这条直线重合，即达到看到哪打到哪儿．换句话说要想射中目标就必须使准星在人眼与目标所确定的直线上．【变式2】如图，将甲､乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺是直的吗？为什么？【答案】见分析【分析】根据经过两点有且只有一条直线分析即可．解：乙尺不是直的，因为如果乙尺是直的，那么过两点A，B就有两条直线了，这是不可能的，所以乙尺不是直的．【点拨】本题考查了过两点有且只有一条直线，掌握过两点有且只有一条直线是解题的关键．类型二、线段公理——两点之间，线段最短2．如图，已知平面上有四个村庄，用四个点，，，表示．（1）连接，作射线，作直线与射线交于点；（2）若要建一供电所，向四个村庄供电，要使所用电线最短，则供电所应建在何处？请画出点的位置并说明理由．【答案】（1）如图所示．见分析；（2）如图，见分析；供电所应建在与的交点处．理由：两点之间，线段最短．【分析】（1）根据射线、直线的定义进而得出E点位置；（2）根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．解：（1）如图所示：点E即为所求；（2）如图所示：点M即为所求．理由：两点之间，线段最短．【点拨】本题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段距离最短．举一反三：【变式1】知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？【答案】情景一：两点之间线段最短；情景二：画图见分析；两点指点线段最短解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短，所以这样走比较近；情景二：抽水站点P的位置如右图所示：理由：两点之间的所有连线中，线段最短；赞同情景二中运用知识的做法，应用数学知识为人类服务时应注意：不能以破坏环境为代价．【变式2】如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图：（1）画射线AB；（2）连接BC；（3）反向延长BC至D，使得BD=BC；（4）在直线l上确定点E，使得AE+CE最小．【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4）见分析【分析】（1）根据题意作图即可．（2）根据题意作图即可．（3）以BC为半径，B点为圆心画弧，交BC反向延长线于点D，点D即为所求．（4）根据两点之间线段最短，即连接AC交l于点E，点E即为所求．解：（1）如图，射线AB即为所求作射线；（2）如图，连接BC；（3）如图，BD=BC；（4）连接AC，交直线l于点E，根据两点之间，线段最短，可得此时AE+CE小．【点拨】本题考查几何作图，熟练掌握作图的方法和理解两点之间线段最短是解答本题的关键．类型三、两点之间距离3．如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点．（1）求线段AM的长度；（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据图示知AM＝AC，AC＝AB﹣BC；（2）根据已知条件求得CN＝6，然后根据图示知MN＝MC+NC．解：（1）线段AB＝20，BC＝15，∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5．又∵点M是AC的中点．∴AM＝AC＝×5＝，即线段AM的长度是．（2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3，∴CN＝BC＝×15＝6．又∵点M是AC的中点，AC＝5，∴MC＝AC＝，∴MN＝MC+NC＝，即MN的长度是．【点拨】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键．举一反三：【变式1】如图，B、C两点把线段AD分成2：5：3的三部分，M为AD的中点，BM＝9cm，求CM和AD的长．【答案】CM=6cm，AD=30cm【分析】由已知B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，所以设AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm，根据已知分别用x表示出AD，MD，从而得出BM，继而求出x，则求出CM和AD的长．解：设AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm所以AD=AB+BC+CD=10xcm因为M是AD的中点所以AM=MD=AD=5xcm所以BM=AM﹣AB=5x﹣2x=3xcm因为BM=9cm，所以3x=9，x=3故CM=MD﹣CD=5x﹣3x=2x=2×3=6cm，AD=10x=10×3=30cm．考点：两点间的距离．【变式2】如图，已知线段AB＝12cm，点C为线段AB上的一动点，点D，E分别是AC和BC中点．（1）若点C恰好是AB的中点，则DE＝cm；（2）若AC＝4cm，求DE的长；（3）试说明无论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变．【答案】（1）6；（2）6cm；（3）见分析．【分析】（1）由AB＝12cm，点D，E分别是AC和BC的中点，得出DE＝DC+CE＝（AC+CB），即可求解；（2）由AC＝4cm，推出CD＝2cm，根据AB＝12cm，AC＝4cm，得出BC＝8cm，由DE＝DC+CE即可求DE的长；（3）根据点D，E分别是AC和BC的中点，得出DC＝AC，CE＝CB，由DC+CE＝（AC+CB），即可得证．解：（1）∵点D，E分别是AC和BC的中点，∴DC＝AC，CE＝CB，∴DE＝DC+CE＝（AC+CB）＝6cm；故答案为：6．（2）∵AC＝4cm，∴CD＝