典例解析：二项分布

#有关二项分布的典型问题分析二项分布是在n次独立重复试验中引入的一个概念，它是一种常见的、重要的离散型随机变量的概率分布，引入他们实际上是对独立重复试验从概率分布角度的进一步研究然而我们在利用二项分布原理解决实际问题时只注意到两点，即解释为什么可以看成二项分布模型，其次是考虑到它的计算，却往往忽视对计算结果进行解释，造成初学者无法摆脱知识上的种种困惑鉴于此，我们选取几个典型案例进行剖析，供参考一保险问题例1设某保险公司有10000人参加人身意外保险该公司规定:每人每年付公司120元，若逢意外死亡，公司将赔偿10000元若每人每年死亡率为，试讨论该公司是否会赔本，其利润状况如何(不考虑公司的其它赔偿费用、其他开支和其它收入)分析：在这个问题中，公司的收入是完全确定的，10000个投保人每人付给公司120元，公司的年收入为120万元。公司的支出取决于投保人中意外死亡的人数(这里略去有关公司日常性开支的讨论，如公司职工工资，行政开支等等)，而这是完全随机的，公司无法在事前知道其确切人数。表示这10000人中意外死亡的人数，由于每个人的死亡率为，则X服从n=10000,P(X=k)=Ck0.006k(1-0.006)10000-k10000P(120-X<0)=1-P(X<120)=1-120P(X=k)k=0=1-艺Ck 0.006k0.99410000-k<10-1210000k=0P(120-X>40)=P(X<80)=£P(X=k)=£Ck 0.006k0.99410000-k氏0.995,10000k=0 k=0/'XT11、k( 1A1000-k>0.99P(X<n)=£CK[一1-一1000160JI 60>0.99k=0P=(x=k)=Ck0.25k义0.7512-kp(x=0)=0.7512=0.03212P(x=k)=C/N-min(M,n)CnN中奖的概率是p(x>1)=1-p(x=0)=1-CNN-m-,CnN假定发行的奖券数量巨大，可近似认为每张奖券是否中奖是相互独立的，中奖率不变，令X为n张奖券中能中奖的张数，则X可看作服从二项分布P(x=k)=Ck[M]k"M]n-k，=0,1,2…,n换句话说，当N很大nINJINJ时，参数为N，M,n的超几何分布可用参数为n，的二项分布来近似如果一次抽奖活动中的中奖率为，令X为n张奖券中能中奖的张数，可以近似认为X服从二项分布p(x=k)=Ckf，丫f丝T-k，=0,1,2…，，有n[11000J^1000JP=P(X>1)=1-P(X=0)=1-0,999n表中给出了数值的结果:nn10002000300040005000Pn我们看到中奖率为千分之一的奖券并非买1000张就能中奖，买1000张中奖的概率约为63%，尽管平均买1000张奖券中就有1张能中奖，但如果把“买1000张奖券”看成一次试验，在众多的买1000张奖券的人中，有不中的，有中1张的，也有中2张的，…其中不中奖的约占1—63%=37%上表还告诉我们，买3000张奖券中奖的概率为95%，再多买2000张，即买5000张，中奖的概率只提高了%，这一事实对如何购买奖券无疑是有参考价值的通