人教B版（2023）必修第一册《3.1.3 函数的奇偶性》同步练习（word含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知函数是偶函数，且，则

A.B.C.D.

2.（5分）设的定义域为，图象关于轴对称，且在上为增函数，则，，的大小顺序是

A.B.

C.D.

3.（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的是

A.B.C.D.

4.（5分）设函数的定义域为，如果，，使得成立，则称函数为“函数”给出下列四个函数：

①；

②；

③；

④，

则其中“函数”共有．

A.个B.个C.个D.个

5.（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递增的为

A.B.C.D.

6.（5分）函数在上的图象大致为

A.B.

C.D.

7.（5分）设函数，则是

A.奇函数，且在上是增函数B.奇函数，且在上是减函数

C.偶函数，且在上是增函数D.偶函数，且在上是减函数

8.（5分）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，当时，，则

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）已知函数是偶函数，且，若，，则下列说法正确的是

A.函数是偶函数

B.是函数的一个周期

C.对任意的，都有

D.函数的图象关于直线对称

10.（5分）下列函数中，在其定义域内是偶函数有

A.B.C.D.

11.（5分）关于函数，下列结论正确的是

A.其图象关于轴对称

B.的最小值是

C.在上是单调减函数

D.的增区间是，

12.（5分）下列函数，是偶函数的是

A.B.

C.D.

13.（5分）下列函数中，既是偶函数又是区间上增函数的有

A.B.C.D.

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）函数是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式为______.

15.（5分）函数为上的奇函数，若对任意的，且，都有已知，则不等式的解集为______．

16.（5分）已知奇函数在定义域上递减，且，则实数的取值范围是______．

17.（5分）定义在上的偶函数在上是增函数，且，则使得不等式成立的取值范围是______．

18.（5分）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为______.

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）函数是定义在上的奇函数，且．

求，的值；

判断并用定义证明在的单调性．

20.（12分）已知和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且满足

求和的解析式；

若函数的最小值为，求的值．

21.（12分）已知是定义在上的奇函数，且，若，，时，有．

求证：在上为增函数；

求不等式的解集；

若对所有恒成立，求实数的取值范围．

22.（12分）已知函数为奇函数，函数．

Ⅰ求函数的定义域；

Ⅱ当时，关于的不等式有解，求的取值范围．

23.（12分）已知函数且函数是奇函数．

求的值；

是否存在这样的实数，使对所有的均成立？若存在，求出适合条件的实数的值或范围；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：根据题意，函数是偶函数，且，

则，

故；

故选：

根据题意，利用函数的奇偶性可得的值，进而计算可得答案．

此题主要考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．

2.【答案】B;

【解析】解：图象关于轴对称，故为偶函数，

，，

在上是增函数，，

，

，

故选：．

先根据函数的性质，得到，，再利用在上是增函数，得到结论．

该题考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现转化的数学思想．

3.【答案】D;

【解析】解：函数为偶函数，不满足题意；

函数为偶函数，不满足题意；

函数为非奇非偶函数，不满足题意；

函数奇函数，又在区间上是增函数，满足题意；

故选：．

分析给定四个函数的单调性及奇偶性，可得答案．

此题主要考查的知识点是函数单调性与奇偶性的综合应用，难度不大，属于基础题．

4.【答案】C;

【解析】

这道题主要考查函数与方程之间的关系，将条件转化为是解决本题的关键．

解：若，，使得成立，

即等价为，，使得成立．

①函数的定义域为，是奇函数，

，即，当时，等式成立，①为“函数”．

②，，则等式不成立，②不是“函数”．

③函数的定义域为，由得，即，

，即，当时，，当时，等式成立，③为“函数”．

④函数的定义域为，由得，即，即当时，等式成立，④为“函数”．

综上满足条件的函数是①，③，④，共个．

故选C．

5.【答案】B;

【解析】

此题主要考查的知识点是函数的单调性和函数的奇偶性，属于基础题．

逐一分析给定四个函数的奇偶性，及函数在上的单调性，可得答案．

解：函数为偶函数，不满足题意；

B.函数为奇函数，且在上单调递增，满足题意；

C.函数为偶函数，不满足题意；

D.函数为非奇非偶函数，不满足题意.

故选

6.【答案】C;

【解析】

此题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性，对称性以及零点个数，特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．

判断函数的奇偶性，函数零点个数以及函数值的符号是否对应进行排除即可．

解：，

则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，

由得，即，即，此时，，即函数在有三个零点，排除，

，排除，

故选：．

7.【答案】D;

【解析】解：由题意，，函数是偶函数，

在上，，函数单调递减，

故选D．

确定函数的奇偶性、单调性，即可得出结论．

此题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

8.【答案】C;

【解析】解：对任意，都有，且为偶函数，

，

故选：．

根据偶函数性质以及周期函数性质可将的函数值化为的函数值，再代入已知解析式．

该题考查了函数奇偶性的性质与判断．属中档题．

9.【答案】BCD;

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，，又由函数是偶函数，则，

即函数为奇函数，错误

对于，由于是偶函数，且，得，即，

则是周期为的周期函数，故正确；

对于，，

，

而是周期为的周期函数，则，

则，故正确；

对于，，

所以函数的图象关于直线对称，正确；

故选：

根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．

此题主要考查函数的奇偶性与周期性的判断以及应用，注意函数奇偶性、周期性的定义，属于基础题．

10.【答案】CD;

【解析】

此题主要考查函数的奇偶性，属于基础题.

根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可.

解：，，则是奇函数，故错误；

，，所以不是偶函数，故错误；

，由得，此时，则

是偶函数，故正确；

，，则是偶函数，故正确.

故选

11.【答案】ABD;

【解析】

此题主要考查函数的奇偶性单调性，属于基础题.

根据函数的奇偶性可以判断，当时，，在单调递减，在单调递增，再结合函数的奇偶性可以判断

解：函数定义域为，

，故为偶函数，图象关于轴对称，对；

当时，，在单调递减，在单调递增，

因为是偶函数，故在单调递增，在单调递减，

可得，当且仅当时等号成立，对；

故错，对.

故选

12.【答案】AB;

【解析】

此题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题，难度不大.

利用奇函数和偶函数定义判断即可．

解：四个答案中函数的定义域均关于原点对称，

A.因为，所以为偶函数，

B.因为，所以为偶函数，

C.令，，，，所以不是偶函数，

D.令，则，，，所以不是偶函数，

故选

13.【答案】BC;

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，是偶函数，但在上是减函数，不符合题意；

对于，为偶函数，且在上是增函数，符合题意；

对于，为偶函数，且在上是增函数，符合题意；

对于，，是奇函数，不符合题意；

故选：

根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．

此题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握函数的奇偶性与单调性，属于基础题．

14.【答案】;

【解析】解：当时，，

当时，，则，

又为奇函数，

，

由奇函数的定义可得，由已知区间上的解析式，计算时，的解析式，可得所求的解析式；

此题主要考查了奇函数的性质，属于基础题．

15.【答案】（2，4）;

【解析】解：根据题意，若对任意的，且，都有，

则在上为增函数，

又由，则在上，，则上，，

又由为奇函数，则在上，，则上，，

或，

分析可得：，

即不等式的解集为；

故答案为：

根据题意，分析可得上为增函数，结合可得在上，，则上，，结合函数的奇偶性可得在上，，则上，，又由或，分析可得答案．

该题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．

16.【答案】（1，）;

【解析】解：因为奇函数在定义域上递减，

所以，

由可得，

所以，

即

解可得，

故答案为：

根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．

这道题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．

17.【答案】;

【解析】

根据题意，由偶函数的性质分析可得在上为减函数，结合可得在区间上，，在区间和上，，又由或，分析可得答案．

该题考查关于抽象函数的不等式问题，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，属于基础题．

解：根据题意，定义在上的偶函数在上是增函数，

则在上为减函数，

又由，则有，

在区间上，，在区间和上，，

则或

解可得：或，

即的取值范围为；

故答案为：．

18.【答案】（）;

【解析】解：因为，

所以，即为偶函数，

当时，单调递减且函数在处连续，根据偶函数对称性可知，当时，函数单调递增，

由得，

所以，

解得，

故答案为：

先判断函数的单调性及奇偶性，然后结合单调性及奇偶性及对数函数的性质可求．

此题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．

19.【答案】解：（1）根据题意，f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（1）=1，

则f（-1）=-f（1）=-1，

则有，解可得a=5，b=0；

（2）由（1）的结论，f（x）=，

设＜＜，

f（）-f（）=-=，

又由＜＜，则（1-4）＜0，（-）＜0，

则f（）-f（）＞0，

则函数f（x）在（，+∞）上单调递减．;

【解析】

根据题意，由函数的奇偶性分析可得，则可得，解可得、的值；

由的结论，，利用作差法分析可得答案．

该题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，关键是求出、的值，属于基础题．

20.【答案】解：（1）根据题意，f（x）+g（x）=+x，①，则f（-x）+g（-x）=-x，

又由f（x）和g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，则-f（x）+g（x）=-x，②

联立①②得；

（2）根据题意，由（1）的结论，，

令+=t，则+=-2，且t≥2，

则，t≥2．

当即a≥-4时，，解可得：a=-3．

当即a＜-4时，，解可得：，不符合题意，舍去．

故a=-3．;

【解析】

由函数奇偶性可得，与，联立解可得答案；

由的结论可得，利用换元法，令，分析可得，结合二次函数的性质分析可得答案．

此题主要考查函数的最值以及函数奇偶性的性质以及应用，关键是求出函数的解析式，属于基础题．

21.【答案】解：（1）证明：任取，∈[-1，1]且＜，则，

∴f（）＞f（），∴f（x）为增函数．

（2），等价于，求得0≤x＜，

即不等式的解集为．

（3）由于f（x）为增函数，

∴f（x）的最大值为对恒成立对的恒成立，

设，则．

又==1+taα+2tanα+2=（tanα+1）2+2，

∵α∈[-，]，∴tanα∈[-，1]，故当tanα=1时，

．

∴+t≥6，求得t≤-3t≥2，即为所求的实数t的取值范围．;

【解析】

由条件利用增函数的定义证得结论．

根据函数的奇偶性和单调性，把要解的不等式等价转化为一个不等式组，求得此不等式的解集即可．

根据函数的单调性求得的最大值，可得对的恒成立，再求得的最大值，从而求得的范围．

这道题主要考查函数的单调性的证明以及应用，函数的恒成立问题，求函数的最值，属于中档题．

22.【答案】解：Ⅰ由为奇函数得，

即，

所以，解得，

经检验符合题意，故，

所以的定义域是；

Ⅱ不等式等价于，

即在有解，

故只需，

函数在单调递增，

所以，

所以的取值范围是．;

【解析】Ⅰ根据函数成立的条件即可求函数的定义域；

Ⅱ根据对数的运算法则和对数函数的性质解不等式即可．

这道题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键．

23.【答案】解：（1）函数（a∈R）的定义域是R，

因为函数f（x）是奇函数，所以f（0）=0．

即a+1=0，解得a=-1，f（x）=（-），

f（-x）+f（x）=（-）+（-）=0，即f（-x）=-f（x），

可得f（x）为奇函数，故a=-1；

（2）因为f（x）是定义在R上的奇函数，

因为f（3m-mcosθ）+f（cosθ-6）＞f（0）=0，

所以f（3m-mcosθ）＞-f（cosθ-6），

得f（3m-mcosθ）＞f（6-cosθ），

因为f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（x）为奇函