2023-2024学年江苏省镇江市丹阳高级中学重点班高三（上）段考数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设集合，，则()

A.B.C.D.

2.已知，则“”是“”的条件．()

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

3.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是()

A.B.C.D.

4.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量单位：毫米升与过滤时间单位：小时之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量该工厂某次过滤废气时，若前个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的参考数据：．()

A.B.C.D.

5.已知正实数，满足，则的最小值为()

A.B.C.D.

6.函数在区间的图象大致为()

A.B.

C.D.

7.若函数有两个极值点，，且，则()

A.B.C.D.

8.已知函数，若，，，则，，的大小关系为()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列结论中，所有正确的结论是()

A.若，，则

B.命题的否定是：，

C.若且，则

D.若，，则实数

10.已知甲罐中在四个相同的小球，标号，，，；乙罐中有五个相同的小球，标号为，，，，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于”，事件“抽取的两个小球标号之积大于”，则()

A.事件发生的概率为B.事件发生的概率为

C.事件发生的概率为D.从甲罐中抽到标号为的小球的概率为

11.已知函数，令，则()

A.或时，有个零点

B.若有个零点，则或

C.的值域是

D.若有个零点，，，且，则的取值范围为

12.已知函数，，则()

A.函数在上存在唯一极值点

B.为函数的导函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是

C.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为

D.若，则的最大值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.现从名男志愿者和名女志愿者中，选派人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有______种．用数字作答

14.在的展开式中，项的系数为______．

15.已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为______．

16.若对于恒成立．当时，的最小值为______；当时，的最小值是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

设，其中，，，，．

若，写出二项展开式第四项；

若，求出的值．

18.本小题分

设全集，，．

当时，求，；

若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19.本小题分

已知函数为常数且方程有两个实根为，．

求函数的解析式；

设，解关于的不等式：．

20.本小题分

某公司是一家专做产品的国内外销售的企业，每一批产品上市销售天全部售完，该公司对第一批产品上市后的国内外市场的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图、图、图所示，其中图中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系国内外市场相同

分别写出国内市场的日销售量，国外市场的日销售量与第一批产品的上市时间的关系式；

每一批产品上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少？

21.本小题分

网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款根据年中国消费者信息研究，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物某天猫专营店统计了年月日至日这天到该专营店购物的人数和时间第，天间的数据，列表如表：

由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计月日到该专营店购物的人数人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算时精确到．

参考数据：．

附：相关系数，回归直线方程的斜率：，．

运用分层抽样的方法从第天和第天到该专营店购物的人中随机抽取人，再从这人中任取人进行奖励，求这人取自不同天的概率；

该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：

方案一，购物金额每满元可减元；

方案二，一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折．

某顾客计划在此专营店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．

22.本小题分

已知函数．

若在处有极值，求实数的值；

求函数的单调区间；

若函数有两个零点，求实数的范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，．

，或．

则．

故选：．

先求出集合，再求集合关于全集的补集，再跟集合取交集即可．

本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：”，

是的充要条件．

故选：．

利用指数函数的单调性，充要条件的定义判定即可．

本题考查了指数函数的单调性，充要条件的判定，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：因为，所以为减函数．又由函数在上为减函数，

可得函数在上大于零，且，故有，解得．

故选：．

根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可．

本题考查复合函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

4.【答案】

【解析】解：因为前个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，

所以，即，所以，

再继续过滤小时，废气中污染物的残留量约为，

所以废气中污染物的残留量约为原污染物的．

故选：．

根据题意可得，解得，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将代入即可求得答案．

本题考查了指数的基本运算，也考查了函数在生活中的实际运用，属于中档题．

5.【答案】

【解析】解：因为正实数，满足，

所以，

则，

当且仅当且，即，时取等号．

故选：．

由已知利用乘法，结合基本不等式即可求解．

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．

6.【答案】

【解析】【分析】

本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．

判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．

【解答】

解：函数，

则，

所以函数是奇函数，排除选项C和，

当时，，排除选项A，

所以函数在区间的图象大致为选项B中的图象，

故选B．

7.【答案】

【解析】解：由函数，可得，

因为函数存在两个极值点，，所以，是方程的两个正根，

即的两个正根为，．

所以，即，

所以，

，

所以，可得，因为，所以．

故选：．

利用函数的导数，结合函数的两个极值，推出的范围，利用函数的极值的和，转化求解即可．

本题考查函数导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

8.【答案】

【解析】解：因为，可得函数为偶函数，

当时，则，可得，

构建，则，

令，解得；令，解得；

所以在上单调递减，在上单调递增，

可得，

即在上恒成立，故在上单调递增，

又因为，且，

所以，即．

故选：．

根据题意求得函数为偶函数，再利用导数求得函数在上单调递增，结合偶函数和单调性分析判断．

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：对于，，，

，，，正确，

，命题的否定是：，，正确，

，且，，，错误，

，，，

，

，，当且仅当时取等号，，

，即实数，错误．

故选：．

利用不等式的性质判断，利用含有量词的命题的否定判断，利用基本不等式求最值判断．

本题主要考查不等式的性质，含有量词的命题的否定，基本不等式的运用，属于中档题．

10.【答案】

【解析】解：甲罐中在四个相同的小球，标号，，，；乙罐中有五个相同的小球，标号为，，，，．

现从甲罐、乙罐中分别随机抽取个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于”，事件“抽取的两个小球标号之积大于”，

对于，从甲罐、乙罐中分别随机抽取个小球，基本事件总数，

事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共个，

，故A错误；

对于，事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共个，

，故B正确；

对于，事件包含的基本事件有，，，，，，，，共个，

．

对于，从甲罐中抽到标号为的小球的概率为，故D错误．

故选：．

对于，从甲罐、乙罐中分别随机抽取个小球，基本事件总数，利用列举法求出事件包含的基本事件有个，从而；对于，利用列举法求出事件包含的基本事件有个，从而；对于，利用列举法求出事件包含的基本事件有个，从而对于，从甲罐中抽到标号为的小球的概率为．

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

11.【答案】

【解析】解：由函数，画出函数的图象如图所示，

由，得，

可知函数的零点，即函数与的交点横坐标，

对于，当时，函数没有零点，故A错误；

对于，要使得函数有个零点，即函数与有两个不同的交点，

结合图象，可得或，故B正确；

对于，由函数的图象，可得函数的值域为，故C正确；

对于，由有个零点，，，且，

可得，

由，即，得，可得，

又由，解得，

的取值范围为，故D正确．

故选：．

画出函数的图象，转化为函数与的交点横坐标，结合选项和函数的图象，逐项判定，即可求解．

本题考查分段函数的应用，考查函数零点的判定，考查数形结合思想，是中档题．

12.【答案】

【解析】解：对于选项A：易知，

令，

可得，

当时，；当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

则，

故函数在单调递增，

所以函数在上无极值点，故选项A错误；

对于选项B：易知，

令，

可得，

当时，；当时，，

所以在上为减函数，在上为增函数，

此时，

即，

又时，，

作出函数的图象，

若函数有两个零点，

此时有两个实根，

即函数的图象与直线有两个交点，

此时，故选项B正确；

对于选项C：由选项B知在上恒成立，

所以函数在单调递增，

此时不等式恒成立，

等价于恒成立，

所以，

不妨设，

可得，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

此时，

即，

则实数的最小值为，故选项C正确；

对于选项D：若，

此时，

即，

因为，

所以，，，

由选项A知在上单调递增，

所以，

此时，

不妨设，

可得，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

此时，

可得，

则的最大值是，故选项D正确．

故选：．

由题意，利用导数推出在单调递增，进而可判断选项A；利用导数研究函数的性质，得到函数图象，根据函数的图象与直线有两个交点，继而可判断选项B；根据在单调递增，将不等式化为恒成立，右边构造函数求出最大值，进而可判断选项C；结合以及指对同构得，将化为，再求导可求出最大值，可判断选项D．

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、数形结合、转化思想和运算能力．

13.【答案】

【解析】解：从名男志愿者和名女志愿者中，选派人，

选法共有种，

都是女志愿者的选法有种，

被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有：种，

故答案为：．

求出总数以及不符合的个数，进而求解结论．

本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算．

14.【答案】

【解析】解：二项式的展开式的通项为，

令得，，

项的系数为．

故答案为：．

根据二项展开式的通项公式求解．

本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：由，得，

依题意，，又，

联立消去得：，而，解得，

的值为．

故答案为：．

求出函数的导数，再利用导数的几何意义列出方程并求解作答．

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．

16.【答案】

【解析】解：对于恒成立，

等价于对于恒成立，

令，则，

令，解得，

令，解得，

故在递增，在递减，

故，

因为对于恒成立，

只需在恒成立即可，

时，，故的最小值是，

时，令，解得，

取最小值时，直线在轴的截距最大，

令，解得：，故，

即的最小值是．

故答案为：；．

令，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最大值，求出的最小值即可，时，令，解得：，取最小值时，直线在轴的截距最大，求出的最小值即可．

本题主要考查函数恒成立问题，考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．

17.【答案】解：时，二项式展开式第四项为．

，

令，，

令，，

所以，

【解析】由二项式展开式公式即可求得第四项；

分别令，，计算即可得结论．

本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．

18.【答案】解：令可得，解得，

所以，或

当时，，

所以，

或．

由“”是“”的充分不必要条件可得，集合是集合的真子集，

又，，

所以，解得，

故实数的取值范围为．

【解析】解不等式可得集合，将代入解出集合，根据集合基本运算即可求得结果；

根据题意可得集合是集合的真子集，根据集合间的基本关系即可求得实数的取值范围．

本题考查充分不必要条件的定义，集合运算、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

19.【答案】解：将，代入，

可得：，解得，

则，

因为，则，即符合题意，

所以．

由可得：，整理得，

则，

令，解得或或，

且，可得或，

所以不等式的解集为．

【解析】根据题意把方程的根，分别代入方程，解方程组可得答案；

根据，把代入不等式化简可得，根据与的大小关系，可得不等式的解集．

本题考查的知识点是函数解析式的求解方法，一元二次不等式的应用，属于中档题．

20.【答案】解：由图象得函数的解析式分别为：

．

设每件产品的销售利润为，

则，

从而这家公司的日销售利润的解析式为：

．

当时，

在区间上单调递增，此时

当时，，

时

当

综上所述

第一批产品上市后，这家公司的日销售利润在第天最大，最大值为万元．

【解析】观察函数的图象知：图是一条折线，其解析式写成分段函数的形式；图是抛物线，其解析式是二次函数的形式；由图象得函数的解析式即可；

先由题意得出这家公司的日销售利润的解析式，再利用导数或基本不等式求出此函数的最大值，从而得到第一批产品上市后，这家公司的日销售利润在第几天最大，最大值为多少万元．

本小题主要考查函数模型的选择与应用、分段函数、函数单调性的应用、导数的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．

21.【答案】解：由表中的数据可得，，

，，，

故，

所以变量与具有很强的线性相关性，

故可