人教B版（2023）必修第三册《8.1.1 向量数量积的概念》同步练习（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）若向量，满足：，，，则，的夹角为

A.B.C.D.

2.（5分）若，，若，则等于

A.B.C.D.

3.（5分）如图，在中，为边上的高，，，，，则的值为

A.B.C.D.

4.（5分）若向量，，则向量与的夹角等于

A.B.C.D.

5.（5分）对于向量、、和实数，下列正确的是

A.若，则或

B.若，则或

C.若，则或

D.若，则

6.（5分），是两个向量，，，且，则与的夹角为

A.B.C.D.

7.（5分）若，是任意两个单位向量，则下列结论中正确的是

A.B.C.D.

8.（5分）若非零向量满足，且，则为

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形

C.底边与腰不相等的等腰三角形D.等边三角形

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）下列命题中，正确的是

A.对于任意向量，有；

B.若，则；

C.对于任意向量，有

D.若共线，则

10.（5分）已知是边长为的等边三角形，为所在平面内一点，则的值可能为

A.B.C.D.

11.（5分）边长为的菱形中，，已知向量满足，则下列结论中正确的有

A.为单位向量B.

C.D.

12.（5分）已知向量，，且，则的值是

A.B.C.D.

13.（5分）已知中角、、对应的边分别为、、，为所在平面上一点，则下列说法正确的是

A.若，则为锐角

B.若，则为钝角三角形

C.若中，则

D.若为中点，则

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）已知，，则______．

15.（5分）已知向量与的夹角为，且，，则______.

16.（5分）在梯形中，，，，，，若，则的值为______．

17.（5分）已知单位向量，的夹角为，与垂直，则______．

18.（5分）如图在平行四边形中，已知，，，，则的值是______．

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）平面内给定三个向量，，．

Ⅰ求的值；

Ⅱ当实数为何值时，垂直？

20.（12分）如图所示，，，，，

若为中点，求；

是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21.（12分）已知，，．

若，，三点共线，求实数的值；

证明：对任意实数，恒有成立．

22.（12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中．

Ⅰ若，且，求的坐标；

Ⅱ若，且，求与的夹角的余弦值．

23.（12分）在中，，，

求的面积；

求的值．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】解：由条件得：，

，故，的夹角为，

故选：．

利用两组训练的数量积为，转化求解向量的夹角即可．

此题主要考查平面向量的数量积的应用，考查计算能力．

2.【答案】C;

【解析】解：，，

可得，，

，

若，

则，

即有，

即为，

解得．

故选：．

求得向量，的模和数量积，由向量垂直的条件：数量积为，结合向量的平方即为模的平方，解方程即可得到所求值．

该题考查向量垂直的条件：数量积为，考查向量的数量积的坐标表示和模的求法及性质，考查运算能力，属于中档题．

3.【答案】A;

【解析】解：，

又，，，

故由余弦定理可得，

又，

，

，

．

故选：．

由余弦定理可得，由面积可求得，进而求得答案．

该题考查解三角形，涉及了数量积的运算，余弦定理以及三角形面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．

4.【答案】D;

【解析】

设向量与的夹角等于，求出以及这两个向量的模，代入运算求得的值，再由的范围求出的值．

此题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量夹角公式的应用，属于中档题．

解：设向量与的夹角等于，，，，

再由可得，

故选

5.【答案】B;

【解析】解：对于，若时，也成立；故A错误；

对于，，得到，什么长度相等，但是方向不确定；故C错误；

对于，，得到，得到或者或者；故D错误；

故选：．

利用平面向量的几个常见的基本概念，对选项分别分析选择．

该题考查了平面向量的数量积以及数乘、模的关系等；属于基础题．

6.【答案】C;

【解析】解：设，的夹角为，，则由题意可得，

即，解得，，

故选C．

设，的夹角为，，则由题意可得，解得，可得的值．

这道题主要考查两个向量垂直的性质，根据三角函数的值求角，属于基础题．

7.【答案】D;

【解析】解：根据单位向量的定义，

其方向不一定相同，故选项、错误，

其模一定为，故错误，正确；

故选：

由单位向量的定义直接判断即可．

此题主要考查了单位向量的定义，注意单位向量强调的是模为，是基础题．

8.【答案】D;

【解析】解：设，则平分线段，

，即，

，

垂直平分，

四边形为菱形，即，

又，

，，

为等边三角形．

故选：

设，易知垂直平分，于是四边形为菱形，再由，推出，得解．

此题主要考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的加法、数量积的运算法则是解答该题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

9.【答案】ACD;

【解析】

此题主要考查向量的模，向量的数量积，属于基础题.

根据向量的模，向量的数量积，结合选项依次分析判断即可.

解：对于，对任意向量，，有，当且仅当与共线时取等号，故正确；

对于，若，则或或，故错误；

对于，对任意向量，，因为，当且仅当、同向共线时取等号，故正确；

对于，若向量，共线，则与的夹角为或，有，故正确.

故选

10.【答案】BCD;

【解析】解：以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则，，，

设，则，，，

所以

，当，时，取得最小值为，

故选：

建立平面直角坐标系，利用坐标表示出、、，求出的取值范围即可

此题主要考查了平面向量的数量积运算，考查了运算能力、转化思想，是中档题．

11.【答案】ABD;

【解析】解：根据题意，如图：菱形中，，其边长为，与交于点，

依次分析选项：

对于，且，则为等边三角形，故，则，为单位向量，正确；

对于，，故有，正确；

对于，，而，不成立．错误；

对于，，则，即，正确；

故选：

根据题意，依次分析选项，综合可得答案．

本题考查向量数量积的计算，涉及向量的加法减法的运算，属于基础题．

12.【答案】AC;

【解析】

此题主要考查向量数量积的应用，根据向量坐标公式以及向量垂直的坐标公式是解决本题的关键．

根据向量垂直的等价条件建立方程关系进行求解即可．

解：向量，，

，

，

，

则，

即得

，

得或，

故选：

13.【答案】BCD;

【解析】解：对于，当时，为所在平面上的点，所以、也可能同向，则选项错误；

对于，时，为钝角，所以为钝角三角形，选项正确；

对于，中，，由正弦定理得，所以，其中为外接圆的半径，所以正确；

对于，为中点，所以，，

所以，选项正确．

故选：

中，时，应考虑、同向情况；

中，时，三角形中为钝角；

中，由正弦定理得出；

中，利用中线的向量表示和余弦定理，即可得出

此题主要考查了平面向量的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．

14.【答案】-1;

【解析】解：，，则

．

故答案为：．

直接利用向量的坐标运算以及向量的数量积求解即可．

该题考查向量的数量积的运算，基本知识的考查．

15.【答案】;

【解析】

求出，再利用给定等式及向量夹角，结合数量积运算律列式计算作答．

此题主要考查了数量积的性质和运算，属于基础题．

解：依题意，，则有，

由两边平方得：，

即，解得：，

所以

故答案为：

16.【答案】7;

【解析】解：，，，，

，，

，

，

即，．

又，

．

故答案为：．

用表示出各向量，根据计算，再计算的值．

该题考查了平面向量的基本定理，数量积运算，属于中档题．

17.【答案】;

【解析】

该题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，是基础题．

由已知求得，再由与垂直可得，展开即可求得值．

解：向量，为单位向量，且，的夹角为，

，

又与垂直，

，

即，则．

故答案为．

18.【答案】;

【解析】

该题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法、减法的三角形法则，是中档题．由已知把、用表示，代入，展开多项式乘多项式得答案．

解：如图，

由，得，

，

即．

，

解得：．

故答案为．

19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，

（Ⅱ）∵，∴=3x+4=0，∴．;

【解析】

Ⅰ由题意利用两个向量坐标形式的运算，求出的值．

Ⅱ由题意利用两个向量垂直的性质，求出的值．

这道题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，属于基础题．

20.【答案】解：以A为坐标原点，以CA方向为x轴正方向，以AB方向为y轴正方向建立坐标系．

∵CA=1，CB=3，CA⊥AB，∴AB=2，

则A（0，0），，C（-1，0）．

（1）∵D为AB中点，∴E为CB中点．

∴，，

∴，，

∴．

（2），

，

若，则，

∴λ=0或者，

即存在λ=0或者，．;

【解析】

建立坐标系如图，通过为中点及条件得到为中点，分别表示出此时，的坐标，利用向量数量积运算法则计算即可；

分别表示出，，通过，则，解出即可．

此题主要考查平面向量数量积的运算法则，涉及向量坐标运算性质，数形结合思想等，属于中档题．

21.【答案】解：

，

，，三点共线，

向量是共线向量，得，

解之得：分

由，得，

即对任意实数，恒有成立．;

【解析】

由平面向量的坐标运算，得到向量、的坐标，根据向量共线的充要条件列式，解之即可得到实数的值；

由平面向量数量积的坐标运算公式，得，结合二次函数的性质，可证出对任意实数恒成立．

本题给出含有字母的向量坐标形式，在已知三点共线的情况下求参数的值，并且证明不等式恒成立．着重考查了平面向量数量积的运算公式和向量共线等知识，属于基础题．

22.【答案】解：（Ⅰ）∵=（1，2），若||=3，且∥，设的坐标为（x，2x），

则+（2x）2=，求得x=±3，故设的坐标为（3，6），或（-3，-6）．

（Ⅱ）若||=2，且（+）⊥（-2），

则（+）（-2）=-2-=5-2×4-=0，

∴=-3，即2cosθ=-3，故cosθ=-．;

【解析】

Ⅰ由题意利用两个向量平行的性质，两个向量的数量积公式，求出的坐标．

Ⅱ由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出与的夹角的余弦值．

这道题主要考查两个向量平行垂直的性质，两个向量的数量积公式及定义，属于基础题．

23.【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可知：

cosC===-，

解得：BC=2或B