深圳中考数学圆与相似(大题易错-难题)

深圳中考数学圆与相似(大题培优易错难题)一、相似1．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I．（1）求证：AF⊥BE；（2）求证：AD=3DI．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD=BD=CD，∠ACB=45°，∵在△ADC中，AD=DC，DE⊥AC，∴AE=CE，∵△CDE沿直线BC翻折到△CDF，∴△CDE≌△CDF，∴CF=CE，∠DCF=∠ACB=45°，∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°，在△ABE与△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴∠ABE=∠FAC，∵∠BAG+∠CAF=90°，∴∠BAG+∠ABE=90°，∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE（2）证明：作IC的中点M，连接EM，由（1）∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°∴四边形DECF是正方形，∴EC∥DF，EC=DF，∴∠EAH=∠HFD，AE=DF，在△AEH与△FDH中，∴△AEH≌△FDH（AAS），∴EH=DH，∵∠BAG+∠CAF=90°，∴∠BAG+∠ABE=90°，∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE，∵M是IC的中点，E是AC的中点，∴EM∥AI，∴，∴DI=IM，∴CD=DI+IM+MC=3DI，∴AD=3DI【解析】【分析】（1）根据翻折的性质和SAS证明△ABE≌△ACF，利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC，再证明∠AGB=90°，可证得结论。（2）作IC的中点M，结合正方形的性质，可证得∠EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS证明△AEH与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。2．如图，在一块长为a(cm)，宽为b(cm)(a>b)的矩形黑板的四周，镶上宽为x(cm)的木板，得到一个新的矩形．（1）试用含a，b，x的代数式表示新矩形的长和宽；（2）试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由．【答案】（1）解：由原矩形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)，木板宽为x(cm)，可得新矩形的长为(a＋2x)cm，宽为(b＋2x)cm（2）解：假设两个矩形的长与宽是成比例线段，则有，由比例的基本性质，得ab＋2bx＝ab＋2ax，∴2(a－b)x＝0.∵a>b，

∴a－b≠0，∴x＝0，又∵x>0，∴原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段．【解析】【分析】（1）根据已知，观察图形，可得出新矩形的长和宽。（2）假设两个矩形的长与宽是成比例线段，列出比例式，再利用比例的性质得出x=0，即可判断。3．如图，抛物线与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．【答案】（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：

，对称轴为：直线x=﹣；（2）解：存在，∵AD=2t，∴DF=AD=2t，∴OF=4﹣4t，∴D（2t﹣4，0），∵直线AC的解析式为：，∴E（2t﹣4，t），∵△EFC为直角三角形，分三种情况讨论：①

当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，

∴，即，解得：t=；②当∠FEC=90°，∴∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴DE=AF，即t=2t，∴t=0，（舍去），③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，解得：t=，∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t=或；（3）解：∵B（1，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+2，当D在y轴的左侧时，S=（DE+OC）•OD=（t+2）•（4﹣2t）=﹣t2+4（0＜t＜2）；当D在y轴的右侧时，如图2，∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S=（DE+OC）•OD=（﹣8t+10+2）•（4t﹣4），即（2＜t＜）．综上所述：【解析】【分析】（1）（1）利用待定系数法，将点A、B、C的坐标代入函数解析式，建立方程组求解即可。（2）根据题意分别求出AD、DF、OF的长，表示出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，表示出点E的坐标，再分三种情况讨论△EFC为直角三角形：①

当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，根据相似三角形的性质，列出关于t的方程求解即可；②∠FEC=90°，∠AEF=90°，△AEF是等腰直角三角形求出t的值即可；③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，建立关于t的方程求解即可，从而可得出答案。（3）求得直线BC的解析式为：y=-2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论。4．在矩形ABCD中，BC＝6，点E是AD边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD.动点M从点E出发沿射线ED运动，过点M作MN∥BD交直线BE于点N.（1）如图1，当点M在线段ED上时，求证：MN＝EM；（2）设MN长为x，以M、N、D为顶点的三角形面积为y，求y关于x的函数关系式；（3）当点M运动到线段ED的中点时，连接NC，过点M作MF⊥NC于F，MF交对角线BD于点G（如图2），求线段MG的长.【答案】（1）证明：：∵°,

°

,∴°∵

,∴∵∥,

∴∴°,

∴

过点作

于点,则.在中，

∴

∴（2）解：在中，，

∴∵

a.当点在线段上时，过点作于点,在中，由（1）可知：,

∴

∴

∴

b.当点在线段延长线上时，过点作于点在中，

,

在中，,∴,

∴（3）解：连接,交于点.∵为的中点

∴,

∴.∵

,

∴,∴,

∴,∴.∵∥∴,∴

,

,∵

,

∴,又∵

,

∴∽,∴，即,∴【解析】【分析】（1）过点E作EH⊥MN于点H,由已知条件易得EN=EM，解直角三角形EMH易得MH和EM的关系，由等腰三角形的三线合一可得MN=2MH即可求解；（2）在Rt△ABE中，由直角三角形的性质易得DE=BE=2AE，由题意动点M从点E出发沿射线ED运动可知点M可在线段ED上，也可在线段ED外，所以可分两种情况求解：①当点M在线段ED上时，过点N作NI⊥AD于点I,结合（1）中的结论MN=EM即可求解；②当点M在线段ED延长线上时，过点N作NI'⊥AD于点I'，解RtΔNI′M和可求得NI'和NE，则DM=NE−DE，所以以M、N、D为顶点的三角形面积y=MD.NI可求解；（3）连接CM,交BD于点N'，由（2）中的计算可得MN、CD、MC的长，解直角三角形CDM可得∠DMC的度数，于是由三角形内角和定理可求得∠NMC=，根据平行线的性质可得DMN'是直角三角形，根据直角三角形的性质可得MN′=MD；则NC的长可求，由已知条件易得ΔNMC∽ΔMN′G根据所得的比例式即可求解.,5．如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作交边AC于点E，分别取BC，DE的中点M，N，连接MN．（1）发现：在图1中，________；（2）应用：如图2，将绕点A旋转，请求出的值；（3）拓展：如图3，和是等腰三角形，且，M，N分别是底边BC，DE的中点，若，请直接写出的值．【答案】（1）（2）解：如图2中，连接AM、AN，，都是等边三角形，，，，，，，，，，∽，（3）解：如图3中，连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O，，，，，，，，，，，，，，，∽，，，，，，≌，，，，，，，，，，【解析】【解答】解：（1）如图1中，作于H，连接AM，，，，时等边三角形，，，，，平分线段DE，，、N、M共线，，四边形MNDH时矩形，，，故答案为：；【分析】（1）作DH⊥BC于H，连接AM.证四边形MNDH时矩形，所以MN=DH，则MN：BD=DH：BD=sin60°，即可求解；（2）利用△ABC

，

△ADE

都是等边三角形可得AM：AB=AN：AD，易得∠BAD=∠MAN，从而得△BAD∽△MAN，则NM：BD=AM：AB=sin60°，从而求解；（3）连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O.先证明△BAD∽△MAN可得NM：BD=AM：AB=sin∠ABC；再证明△BAD≌△CAE，则∠ABD=∠ACE，进而可得∠ABC=45°，可求出答案.6．如图，抛物线

经过A（－3,0），C(5,0)两点，点B为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，过点P作PM⊥BD，交BC于点M，以PM为正方形的一边，向上作正方形PMNQ，边QN交BC于点R，延长NM交AC于点E．①当t为何值时，点N落在抛物线上；②在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：∵y=ax2+bx+经过A（﹣3，0），C（5，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为（2）解：∵=﹣（x2﹣2x+1）+=﹣（x﹣1）2+8，∴点B的坐标为（1，8）．设直线BC的解析式为y=kx+m，则，解得：，所以直线BC的解析式为y=﹣2x+10．∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，∴BD=8，CD=5﹣1=4．∵PM⊥BD，∴PM∥CD，∴△BPM∽△BDC，∴，即，解得：PM=t，∴OE=1+t．∴ME=-2(1+t)+10=8-t．．∵四边形PMNQ为正方形，∴NE=NM+ME=8﹣t+t=8﹣t．①点N的坐标为（1+t，8﹣t），若点N在抛物线上，则﹣（1+t﹣1）2+8=8﹣t，整理得，t（t﹣4）=0，解得t1=0（舍去），t2=4，所以，当t=4秒时，点N落在抛物线上；②存在．理由如下：∵PM=t，四边形PMNQ为正方形，∴QD=NE=8﹣t．∵直线BC的解析式为y=﹣2x+10，∴﹣2x+10=8﹣t，解得：x=t+1，∴QR=t+1﹣1=t．又∵EC=CD﹣DE=4﹣t，根据平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC，即t=4﹣t，解得：t=，此时点P在BD上所以，当t=时，四边形ECRQ为平行四边形【解析】【分析】（1）用待定系数法，将A,C两点的坐标分别代入y=ax2+bx+，得出一个关于a,b的二元一次方程组，求解得出a,b的值，从而得出抛物线的解析式；（2）首先求出抛物线的顶点B的坐标，然后用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣2x+10．根据点到坐标轴的距离得出BD,CD的长度，根据垂直于同一直线的两条直线互相平行得出PM∥CD，根据平行于三角形一边的直线，截，其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△BPM∽△BDC，根据相似三角形对应边成比例得出BP∶BD=PM∶CD，进而得出关于t的方程，求解得出PM,进而得出OE,ME,根据正方形的性质由NE=NM+ME得出NE的长，进而表示出N点的坐标，若点N在抛物线上，根据抛物线上的点的特点，得出关于t的方程，求解得出t的值，所以，当t=4秒时，点N落在抛物线上；②存在．理由如下：根据PM的长及正方形的性质从而表示出QD=NE的长度，进而得出方程，求出x的值，进而表示出QR根据线段的和差及平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC，从而得出关于t的方程，求解得出答案。7．如图，在矩形ABCD中，，，点E是边BC的中点动点P从点A出发，沿着AB运动到点B停止，速度为每秒钟1个单位长度，连接PE，过点E作PE的垂线交射线AD与点Q，连接PQ，设点P的运动时间为t秒．（1）当时，________；（2）是否存在这样的t值，使为等腰直角三角形？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，的面积等于10？【答案】（1）（2）解：存在，．如图，记QE与CD的交点为F，由题意知，，四边形ABCD是矩形，，，，，，，，，，∽，，即，，，，，∽，，即，，则，为等腰直角三角形，，即，解得，故当时，为等腰直角三角形（3）解：，由题意知，解得或，，．【解析】【解答】解：（1）根据题意知，当时，，则，，点E是边BC的中点，，则，在中，，故答案为：；【分析】（1）由题意得出AP＝1，BP＝3，BE＝CE＝1，利用勾股定理求得PE＝，根据正弦函数的定义可得答案；（2）证△BPE∽△CEF得，据此求得CF＝，DF＝，再证△ECF∽△QDF得，据此求得DQ＝15﹣4t，AQ＝17﹣4t，根据△APQ为等腰直角三角形列方程求解可得答案；（3）根据S△PEQ＝S直角梯形ABEQ﹣S△APQ﹣S△BPE＝2t2﹣16t+34及△PEQ的面积等于10列方程求解可得．8．如图，抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+2m（其中m＞0）与其对称轴l相交于点P．与y轴相交于点A（0，m）连接并延长PA、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC将△PBC绕点P逆时针旋转，使点C落在抛物线上，设点C、B的对应点分别是点B′和C′．（1）当m＝1时，该抛物线的解析式为：________．（2）求证：∠BCA＝∠CAO；（3）试问：BB′+BC﹣BC′是否存在最小值？若存在，求此时实数m的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+1（2）证明：把点P、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，则直线PA的表达式为：y＝x+m，令y＝0，解得：x＝﹣m﹣1，即点B坐标为（﹣m﹣1，0），同理直线OP的表达式为：y＝x…②，将①②联立得：a（x﹣m﹣1）2+2m﹣x＝0，其中a＝﹣，该方程的常数项为：a（m+1）2+2m，由韦达定理得：x1x2＝xC•xP＝＝＝﹣（m+1）2，其中xP＝m+1，则xC＝﹣m﹣1＝xB，∴BC∥y轴，∴∠BCA＝∠CAO（3）解：如图当点B′落在BC′所在的直线时，BB′+BC﹣BC′存在最小值，设：直线l与x轴的交点为D点，连接BB′、CC′，∵点C关于l的对称点为C′，∴CC′⊥l，而OD⊥l，∴CC′∥OD，∴∠POD＝∠PCC′，∵∠PB′C′+∠PB′B＝180°，△PB′C′由△PBC旋转而得，∴∠PBC＝∠PB′C′，PB＝PB′，∠BPB′＝∠CPC′，∴∠PBC+∠PB′B＝180°，∵BC∥AO，∴∠ABC+∠BAO＝180°，∴∠PB′B＝∠BAO，∵PB＝PB′，PC＝PC′，∴∠PB′B＝∠PBB′＝，∴∠PCC′＝∠PC′C＝，∴∠PB′B＝∠PCC′，∴∠BAO＝∠PCC′，而∠POD＝∠PCC′，∴∠BAO＝∠POD，而∠POD＝∠BAO＝90°，∴△BAO∽△POD，∴，将BO＝m+1，PD＝2m，AO＝m，OD＝m+1代入上式并解得：m＝1+（负值已舍去）【解析】【解答】解：（1）把点A的坐标代入二次函数表达式得：m＝a（﹣m﹣1）2+2m，解得：a＝﹣，则二次函数的表达式为：y＝﹣（x﹣m﹣1）2+2m…①，则点P的坐标为（m+1，2m），点A的坐标为（0，m），把m＝1代入①式，整理得：y＝﹣x2+x+1，故：答案为：y＝﹣x2+x+1；【分析】（1）把点A的坐标代入二次函数表达式得：m＝a（﹣m﹣1）2+2m，解得：a＝﹣，把m＝1代入上式，即可求解；（2）求出点B、C的坐标，即可求解；（3）当点B′落在BC′所在的直线时，BB′+BC﹣BC′存在最小值，证△BAO∽△POD，即可求解．二、圆的综合9．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC的面积．【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】试题分析：（1）连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD的面积即可求解．试题解析：（1）证明：连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠A，∵四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC，在△EOC和△DOC中，∴△EOC≌△DOC（SAS），∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）由（1）知CD是圆O的切线，∴△CDO为直角三角形，∵S△CDO=CD•OD，又∵OA=BC=OD=4，∴S△CDO=×6×4=12，∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24．10．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径等于4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙M与x轴，y轴都相切，切点分别为E，F，试求出点M的坐标；（3）如图3，⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为E，F，G，试求出点M的坐标（直接写出答案）【答案】（1）OB与⊙M相切；（2）M（－，）；（3）M（－2，2）【解析】分析：（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可；（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=x+6，设M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代入y=x+6得出关于a的方程，求出即可．（3）连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，设ME=MF=MG=r，根据S△ABC=AO•ME+BO•MF+AB•MG=AO•BO求得r=2，据此可得答案．详解：（1）直线OB与⊙M相切．理由如下：设线段OB的中点为D，如图1，连结MD，∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4，∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上．又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；（2）如图2，连接ME，MF，∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴，解得：k=，b=6，即直线AB的函数关系式是y=x+6．∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=x+6，得：﹣a=a+6，得：a=﹣，∴点M的坐标为（﹣）．（3）如图3，连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，∵⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，∴ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB，设ME=MF=MG=r，则S△ABC=AO•ME+BO•MF+AB•MG=AO•BO．∵A（﹣8，0），B（0，6），∴AO=8、BO=6，AB==10，∴r•8+r•6+r•10=×6×8，解得：r=2，即ME=MF=2，∴点M的坐标为（﹣2，2）．点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d=r时，直线l和⊙O相切．11．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．（1）求证：DA是⊙O切线；（2）求证：△CED∽△ACD；（3）若OA=1，sinD=，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；（3）在Rt△AOD中，OA=1，sinD=，∴OD==3，∴CD=OD﹣OC=2．∵AD==2．又∵△CED∽△ACD，∴，∴DE==，∴AE=AD﹣DE=2﹣=．点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．12．如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.（1）求证：AE=BF；（2）连接EF，求证：∠FEB=∠GDA；（3）连接GF,若AE=2，EB=4，求ΔGFD的面积.【答案】（1）（2）见解析；（3）9【解析】分析：（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据三角形的面积公式计算即可．详解：（1）连接BD．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，∴∠A=∠C=45°．∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，∴AD=DC=BD=AC，∠CBD=∠C=45°，∴∠A=∠FBD．∵DF⊥DG，∴∠FDG=90°，∴∠FDB+∠BDG=90°．∵∠EDA+∠BDG=90°，∴∠EDA=∠FDB．在△AED和△BFD中，，∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE=BF；（2）连接EF，BG．∵△AED≌△BFD，∴DE=DF．∵∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°．∵∠G=∠A=45°，∴∠G=∠DEF，∴GB∥EF，∴∠FEB=∠GBA．∵∠GBA=∠GDA，∴∠FEB=∠GDA；（3）∵AE=BF，AE=2，∴BF=2．在Rt△EBF中，∠EBF=90°，∴根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2．∵EB=4，BF=2，∴EF==．∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，∴cos∠DEF=．∵EF=，∴DE=×=．∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，∴△GEB∽△AED，∴=，即GE•ED=AE•EB，∴•GE=8，即GE=，则GD=GE+ED=．∴．点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键．13．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=BD．（2）探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．【答案】（1）；（2）AD﹣DC=BD；（3）BD=AD=+1．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求出DC，AD，BD之间的数量关系（2）过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O，证明，得到，，根据为等腰直角三角形，得到，再根据，即可解出答案.（3）根据A、B、C、D四点共圆，得到当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大．在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证，由即可得出答案.【详解】解：（1）如图1中，由题意：，∴AE=CD，BE=BD，∴CD+AD=AD+AE=DE，∵是等腰直角三角形，∴DE=BD，∴DC+AD=BD，故答案为．（2）．证明：如图，过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O．∵，∴，∴．∵，，，∴，∴．又∵，∴，∴，，∴为等腰直角三角形，．∵，∴．（3）如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大．此时DG⊥AB，DB=DA，在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.14．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(，0)与点B(0，－)，点D在劣弧上，连结BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO.(1)求⊙M的半径；(2)求证：BD平分∠ABO；(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．【答案】（1）M的半径r＝；（2）证明见解析；（3）点E的坐标为(，)．【解析】试题分析：根据点A和点B的坐标得出OA和OB的长度，根据Rt△AOB的勾股定理得出AB的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE≌△HBE，从而得出BH=BA=2，从而求出OH的长度，即点E的纵坐标，根据Rt△AOB的三角函数得出∠ABO的度数，从而得出∠CBO的度数，然后根据Rt△HBE得出HE的长度，即点E的横坐标.试题解析：（1）∵点A为（，0），点B为（0，－）∴OA=OB=∴根据Rt△AOB的勾股定理可得：AB=2∴M的半径r=AB=.（2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD∵∠COD=∠CBO∴∠ABD=∠CBO∴BD平分∠ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE≌△HBE∴BH=BA=2∴OH=2－=在Rt△AOB中，∴∠ABO=60°∴∠CBO=30°在Rt△HBE中，HE=∴点E的坐标为（，）考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.15．如图，⊙O的直径AB＝8，C为圆周上一点，AC＝4，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．（1）求∠AEC的度数；（2）求证：