专题03不等关系

专题03不等关系№专题03不等关系№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题03不等关系命题解读命题预测复习建议不等式是每年高考都要考察的内容，数学就是研究各种变量间的关系的，因此可以说就是研究相等与不等的，不等式的考察主要有不等式的性质、解法和证明应用等，常常与函数、数列、导数等相结合。在解答题中是必考的，在集合和函数的定义域、单调性、极值、最值等方面都有，因此应用比较广泛。预计2024年的高考不等式的考察还是必须的，对于题目的难易度来说，易、中、难都有，主要是以数学运算和逻辑推理为主。集合复习策略：1.理解不等关系以及不等式的性质，高考对不等式的考察还是比较稳定的；2.掌握不等式的应用，高考主要是考察不等式的各种应用；3.掌握与不等式考察有关的知识点。→➊考点精析←一、比较大小1．两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法a二、不等式性质1.对称性:a>b⇔b<a(双向性)2.传递性:a>b，b>c⇒a>c(单向性)3.可加性:a>b⇔a+c>b+c(双向性)；a>b，c>d⇒a+c>b+d(单向性)4.可乘性:a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd(单向性)5.乘方法则:a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)(单向性)6.开方法则:a>b>0⇒na>n三、常见的结论(1)a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).→➋真题精讲←1.（2020年新高考全国Ⅰ）已知a>0，b>0，且a+b=1，则A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选ABD.2.（2019天津高考理科）已知，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，，故，所以.故选A3.（2020江苏省期末）若实数，满足，则下列选项正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据实数，满足，取，，则可排除．因为函数在定义域上单调递增，因为，所以，即故选C．4.（2020浙江省杭州第二中学高三其他）若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，所以.对于，取，不成立；对于取，不成立；对于取，不成立.故选B.→➌模拟精练←1．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）下列推理正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若a，，则【答案】BC【解析】A选项，不妨设，满足，但，A错误；B选项，因为，所以不等式两边同时乘以得：，不等式两边同时乘以得：，从而，B正确；C选项，因为，所以，不等式两边同除以得：，C正确；D选项，因为a，，故当或时，无意义，D错误.故选：BC2．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A，因为，所以，故A错误；对于B，因为，所以，所以，即，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.故选：BD.3．（2023·山东青岛·统考三模）已知实数a，b，满足a＞b＞0，，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】对于选项A：根据题意结合基本不等式分析判断；对于选项B：利用作差法分析判断；对于选项C：分析可得，结合指数函数单调性分析判断；对于选项D：结合幂函数单调性分析判断.【详解】对于选项A：因为，即，解得或，所以或，故A错误；对于选项B：，因为a＞b＞0，则，即，且，所以，即，故B正确；对于选项C：因为a＞b＞0，且，可得同号，则有：若同正，可得，则，可得；若同负，可得，则，可得；综上所述：，又因为在定义域内单调递减，所以，故C正确；对于选项D：因为a＞b＞0，则，可得在内单调递增，可得，且，所以，故D正确；故选：BCD.4．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知实数，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】A选项中，因为，所以，故A选项正确；B选项中，因为函数在上单调递减且，所以，故B选项错误：C选项中，因为，则，故C选项错误；D选项中，若，，满足，但，故D选项错误．故选：A．5．（2023春·广东·高三统考开学考试）若正实数满足,且,则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为,为单调递增函数,故,由于,故,或，当时,,则，此时；,故;,即,所以;当时,,则,此时,,故;,即,所以;故ABC均错误;对于D选项,,两边取自然对数,,因为不管,还是,均有,所以,故只需证即可.设(且),则,令(且),则,当时,,当时,,所以,所以在且上恒成立,故(且)单调递减,因为,所以,结论得证,所以D正确.故选:D.6．（2023·江苏·统考二模）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解.【详解】因为，所以，所以，所以，令，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，令，则，所以函数在上递增，所以，即，即，所以，即，综上，.故选：A.【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用中间量来比较的大小是解决本题的关键.7．（2023·广东茂名·统考一模）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【解析】原式变形为，构造函数，则，∵，当时，，则，即；当时，，则，即；故在上单调递减，在上单调递增，对于A：取，则∵在上单调递增，故，即满足题意，但，A错误；对于B：若，则有：当，即时，则，即；当，即时，由在时单调递增，且，故，则；综上所述：，B正确；对于C：若，则有：当，即时，显然成立；当，即时，令，∵，当且仅当，即时等号成立，∴当时，所以，即，由可得，即又∵由在时单调递增，且，∴，即；综上所述：，C正确；对于D：取，，则，∵在上单调递减，故，∴故，满足题意，但，D错误.故选：BC.8．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据结论恒成立可只考虑的情况，假设切点坐标，则只需考虑，，其中的情况，可将表示为；构造函数，，利用导数可求得的单调性，从而对进行放缩即可求得所求范围.【详解】对于任意，，，的范围恒定，只需考虑的情况，设对应的切点为，，，设对应的切点为，，，，，，只需考虑，，其中的情况，则，，其中，；又，，，；令，则，在上单调递增，又，，又，，；令，则，令，则，在上单调递增，，即，在上单调递减，，，；综上所述：.故选：C.9．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【分析】构建函数根据题意分析可得，对A、D：取特值分析判断；对B、C：根据的单调性，分类讨论分析判断.【详解】原式变形为，构造函数，则，∵，当时，，则，即；当时，，则，即；故在上单调递减，在上单调递增，对于A：取，则∵在上单调递增，故，即满足题意，但，A错误；对于B：若，则有：当，即时，则，即；当，即时，由在时单调递增，且，故，则；综上所述：，B正确；对于C：若，则有：当，即时，显然成立；当，即时，令，∵，当且仅当，即时等号成立，∴当时，所以，即，由可得，即又∵由在时单调递增，且，∴，即；综上所述：，C正确；对于D：取，，则，∵在上单调递减，故，∴故，满足题意，但，D错误.故选：BC.【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：（1）积型：，①构造形式为：，构建函数；②构造形式为：，构建函数；③构造形式为：，构建函数.（2）商型：，①构造形式为：，构建函数；②构造形式为：，构建函数；③构造形式为：，构建函数.10．（2023·广东肇庆·统考二模）已知正数满足等式，则下列不等式中可能成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因为，，，所以，所以，构造，所以，当，即时，分析即可，所以在上单调递减，所以，所以，所以，所以，由，所以，构造，，则，所以在上单调递增，所以由得，所以，故此时，D选项错误；当时，，此时，所以可能成立，故C选项可能正确，由，即，构造，所以，设，当时，，所以在单调递减，在上单调递增，且，所以当时，即，所以，构造，则，所以在上单调递增，所以，故A可能正确，B项错误；故选：AC→➍专题训练←一、用不等式表示不等关系1.铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（

）A．a+b+c≤M B．a+b+c>M C．a+b+c≥M D．a+b+c<M【答案】A【分析】根据长、宽、高的和不超过Mcm可直接得到关系式.【详解】长、宽、高之和不超过Mcm，.故选：A.2.某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等关系求解即可.【详解】经过年之后，方案的投入为，故经过年之后，方案的投入不大于方案的投入，即故选：D3.某校在冬季长跑活动中，要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过元，已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为元、元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能小于．设获得一等奖的学生有人，获得二等奖的学生有人，则满足的不等关系为______．【答案】.【分析】根据已知可直接得到不等式组，化简即可得到结果.【详解】由题意得：，化简得：.故答案为：二、有已知条件判断所给不等式是否正确4.若，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则<【答案】C【分析】对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断【详解】对于A，若，则，所以A错误，对于B，若，则，所以B错误，对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，故选：C5.如果，那么下面不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式的性质依次判断即可.【详解】若，则，故A错误；若，，则，故B错误；若，则，故C正确；若，则，故D错误.故选：C.6.若a，b，c为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.【详解】A：当时，显然不成立；B：当时，显然没有意义；C：当时，显然不成立；D：根据不等式的性质，由能推出，故选：D三、由不等式的性质比较数（式）的大小7.（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABC【分析】对于A：利用同向不等式相加，即可证明；对于B、C：利用不等式的可乘性可以证明；对于D：取特殊值即可否定结论.【详解】对于A：因为，所以.因为，利用同向不等式相加，则有.故A正确；对于B：因为，所以，所以，对两边同乘以，则有.故B正确；对于C：因为，所以.因为，所以.对两边同乘以，有，所以.故C正确；对于D：取，满足，但是，所以不成立.故D错误.故选：ABC8.（多选）下列命题正确的是（

）A． B．，，使得ax＞2C．ab=0是的充要条件 D．a≥b＞－1，则【答案】AD【分析】举出一例判断存在命题是否正确，判断A，举反例判断BC，由不等式的性质判断D．【详解】对A，时，，A正确；对B，时，对任意，，不成立，B错；对C，时满足，但此时，C错；对D，，则，，则，D正确．故选：AD．四、作差法比较代数式的大小9.如果，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】举例判断A，B，D错误，再证明C正确.【详解】由已知可取，则，A错，，B错，，，D错，因为，所以所以，故，C对，故选：C.10.（多选）已知，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】直接推导否定选项AC，直接推导证明选项BD正确.【详解】选项A：由，可得.判断错误；选项B：由，可得，则，则.判断正确；选项C：由，可得，则，则.判断错误；选项D：由，可得，则.判断正确.故选：BD五、作商法比较代数式的大小11.（多选）对于实数，，，正确的命题是