泰勒公式及其应用

精品.数学学院数学与应用数学专业2009级杨立摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项式函精品.精品.若f(x)在x=x点有直到n阶连续导数，那么就有：0f(x)=f(x)+f'(x)(xx)+f"(x)0(xx)2+0002!0其中R(x)=oxx)(n)是余项，这就是f(x)在x=x点的带佩亚诺余项的泰勒公n000性函数代替改为用多项式代替，当x=x时用多项式代替这个函数所产生的误差000f(x)=f(0)+f'(0)x+f"(0)x2+...+f(n)(0)xn+R(x)2!n!n这种佩亚诺项的泰勒公式也被称为麦克劳林公式。.fxxabn续导数，并且f(n+1)(x)在区间(a,b)内fx=f(x)+f'(x)(x一x)+f"(x)0(x一x)2+0002!0f(x)在x=x点的带拉格朗日余项的泰勒公式[2]。0ab③运用这种泰勒公式逼近f(x)时，可以确定其大致的误差范围，但其误差就会越小，这种泰勒公式适合处理f(x)在区间上的问题，特别是在不等式的证a000000编x)0其中误差a是在(编x)0)即(x)x)的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往001020n0精品 精品f(f(x)f(n)(x)来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)P(x)的具体表达式。P(x)=f(x),P(x)=f(x),P(x)=f(x),,P(n)(x)=f(n)(x).00000000 012n 0000 P(x)=A,A=P(x)0110P(x)=2!A,A=P(x)00222!P(n)(x)=n!A,A=P(n)(x)0.0nnn!至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x)+f(x)(xx)+0(xx2)++0(xx)n.0002!0n!0接下来就要求误差的具体表达式了。 设R(x)=f(x)P(x)，于是有：nR(x)=f(x)P(x)=0.n000n0n0n0 00R()R().2100nn+1n+1n综上可得，余项R(x)=f(n+1)(飞)。n(n+1)!(x-x)n+10nn差的范围，关键就在于对f(n+1)(c)值的估计。如果存在M>0，有f(n+1)(c)共M，x=[x-n,x+n]，那么我们就可以估计00nnR(x)共Mx-xn+1x=[xnn1求j1e-x2dx的近似值，精确到10-5。0精品.2!n!将两边逐项积分，有 00002!0n!00002!0n!32!5 042216132993602!3!9!精品.f(b)f(a)fab(ba)1f(c)(ba)3224fbfafab(ba)1k(ba)30224设g(x)f(x)f(a)fax(xa)1k(xa)30224f()fafa(a)k(a)2022282f()fafa(a)1f(c)a20,ca,b22222k(a)21fca21f()(a)28228.证明由于函数f(x)在闭区间[_1,1]上具有三阶连续导数，因此可以写出f(x)的二阶泰勒公式：126f2112例5求limex2+cosx_2的极限.x)0x4分析：当x分析：当x)0时为求w0精品精品xx.xx2!故2!4!44x)044x)07=0 (x) (x)1=2精品.则 xn f,(0)f(n)(0)2!n!f,(0)f(n)(0)2!n!03