培优课程-三角形的初步认识

第第页三角形第1讲三角形(一)【教学目标】理解三角形的有关概念及三角形的分类，初步体会分类思想.会画任意三角形的高线、中线和角平分线.掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”的性质，会据此判断能否构成三角形.掌握三角形内角和定理和外角性质，能够准确计算角度.三角形的相关概念【知识梳理】三角形的相关概念(1)三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.(2)三角形的内角与外角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角.三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.(3)三角形的表示：如图，线段AB、BC、CA是三角形边.点A、B、C是三角形的顶点.∠A、∠B、∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.顶点是A、B、C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”.△ABC的三边有时也用a、b、c来表示.顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.三角形的分类按角分：按边分：三角形中的三种重要线段(1)三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图：AD是△ABC的角平分线，则：∠BAD=∠CAD，且D在BC上.(2)三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.如图：CE是△ABC的中线，则E为AB边的中点.(3)三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.如图，AF是△ABC的高，则AF⊥BC于F.三角形具有稳定性【精讲精练】如图，试回答下列问题：(1)图中有_____个三角形，它们分别是________________________；(2)以线段AD为边的三角形是__________________________；(3)线段CE所在的三角形是________，CE边所对的角是________；(4)若BC=CD=DE，△ABC，△ACD，△ADE这三个三角形的面积之比等于_____：_____：_____.【答案】(1)6，△ABC，，，，，；(2)，，；(3)，∠CAE；(4)1:1:1(三个三角形底边相等，高一样，则三个三角形面积相等).下列说法中正确的有().(1)等边三角形是等腰三角形(2)三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形(3)三角形按边分类可分为等边三角形和不等边三角形(4)三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B.试通过画图来判定，下列说法正确的是()A.一个直角三角形一定不是等腰三角形B.一个等腰三角形一定不是锐角三角形C.一个钝角三角形一定不是等腰三角形D.一个等边三角形一定不是钝角三角形【答案】D.分别画出下列三角形的角平分线、中线和高，可以总结出什么规律？总结：三角形的三条中线交于一点，这一点在___________，这一点叫作_______；三角形的三条角平分线交于一点，这一点在__________，这一点叫作_________；三角形的三条高线所在直线交于一点，这一点在_____________________，这一点叫作_________.【答案】三角形内部，重心；三角形内部；内心；内部、边上或者外部，垂心.(1)如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，CF⊥AD于H.下列判断正确的有_____________.①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线.【答案】③④.(2)下列说法正确的是()A.三角形的角平分线、中线和高都是线段B.直角三角形只有一条高线C.三角形的中线可能在三角形的外部D.三角形的高的交点在三角形内部【答案】(1)C；(2)A.木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条(即图中的AB和CD)，这样做的根据是()A.矩形的对称性B.矩形的四个角都是直角C.三角形的稳定性D.两点之间线段最短【答案】C.在建筑工地我们经常可看见如图所示的木条EF固定长方形门框ABCD的情形，这种做法的根据是()A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线C.长方形的四个角都是直角D.三角形的稳定性【答案】D如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD为BC边上的中线，DF为△ABD中AB边上的中线.已知AB=8cm，AC=5cm，△ABC的面积为，则(1)△ABD与△ACD的周长之差是_________；(2)△ABD的面积是_________；(3)△ADF的面积是_________.【答案】(1)3cm；(2)；(3).如图，在△ABC中，CF、BE分别是AB、AC边上的中线，若AE=2，AF=3，且△ABC的周长为15，则BC的长为________.【答案】5如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积等于().A.B.1C.D.【答案】B.【拓展思考】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你设计出两种以上的划分方案供选择(可画图说明).【答案】三角形中线的用途，等底同高则面积相等.做房屋的屋架是运用了三角形的().A.有三条边的特性B.易变形特性C.稳定不变形的特性D.矩形门框斜拉条【答案】C.三角形的三边关系【知识梳理】引入：小明和弟弟每天从家里出发去同一所学校上学，弟弟直接沿直线走到学校，小明先买早餐再拐个弯走到学校，他们所走路线正好构成一个三角形.小明每次都比弟弟走的路线长，你知道这是为什么吗？三角形三边的关系：在同一个三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.已知△ABC的三边为a，b，c()，由两点之间线段最短和不等式的性质，那么会有：或.注：实际上，我们只要保证两条较小边之和大于最大边或者最大边与最小边之差小于第三边即可.【精讲精练】下列长度的线段是否一定能组成三角形？①3，6，10；②3，5，8；③4，9，11；=4\*GB3④a，2a，3a；()=5\*GB3⑤3a，5a，8a(a>0)=6\*GB3⑥3a，a，2a+1()；=7\*GB3⑦x+1，x+2，x+3；=8\*GB3⑧三边之比为3:5:6；=9\*GB3⑨，，(a≠0)；能组成三角形的有________________(填序号).【答案】③=6\*GB3⑥=8\*GB3⑧=9\*GB3⑨.(1)若三角形的三边长为3，4，x，则偶数x的值有_________.(2)已知三角形的两边为8、10，则周长l的范围为_________.(3)一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是3和2011，则三角形的第三边是_________.(4)已知a、b、c为三角形的三边长，化简_________.【答案】(1)2，4，6；(2)；(3)设第三边边长为a，且，又周长为偶数，故a=2010或2012.(4)∵三角形任意两边之和大于第三边∴，，∴原式.(1)一个三角形的三边长分别为2，22，，那么a的取值范围是__________.(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，化简的结果为__________.【答案】(1)或；(2)0.周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？【答案】设三角形的三边长为、、，且，则有故，；又，，即当时，有5组解：，；，；，；，；，；当时，有组解：，；，；，；，；当时，有2组解：，；，；当时，有1组解：，；故周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个.不等边三角形ABC的两条高长度为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长.【答案】设第三边c边上高为h，三角形面积为S，高为4，12的两边为a，b，则有，，，.据三角形三边关系定理及推论，得，.为整数，所以或5.又三角形为不等边三角形，.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和21两部分，则这个等腰三角形的底边的长为多少？【答案】5.设腰长为a，底边长为b，此题可分为两类讨论，或，第一类不符合，所以舍去；第二类解为，故为5.四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=9，AD=a，求a的取值范围.【答案】.整数a，b，c为三角形的三边且，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形个数？三角形的角的关系【知识梳理】引入：小红把一个三角形的三个角完整的剪了下来，恰好能将它们整齐地拼在一条直线上，她又在纸上任意画了一个三角形，剪下来的三个角依然能拼齐一个平角，这是为什么呢？三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.内角和的证明：在△ABC中，如图，求证：.证明：过点A作，如图∴，∵∴三角形的外角性质：(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图，，以此类推.(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图，，以此类推.221AD3EBCF三角形的角的推论①推论1:直角三角形的两个锐角互余.②推论2:三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角③推论3:三角形的外角和等于.【精讲精练】三角形的内角(1)在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:5，则∠A=______，∠B=______，∠C=______.(2)在△ABC中，若∠A+∠C=2∠B，则∠B=______.【答案】(1)；(2).在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A:∠B:∠C=1:2:3:5，③∠A=90

-∠B，④∠A=∠B-∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有________________.【答案】①②③④在△ABC中，若∠A:∠B=5:7，且∠C比∠A大10

，那么∠C的度数为________.【答案】可设，则.在△ABC中，，即解得，∴.在△ABC中，∠A-∠B=35

，∠C=55

，则∠B=________.【答案】如图，直线a//b，则∠A=______.【答案】39°.如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE=________.【答案】.如图，在△ABC中，D是AB上的一点，E是AC上的一点，BE，CD相交于点F，∠A=70°，∠ACD=20°，∠ABE=28°则∠CFE的度数为_________.【答案】.如图，点D是△ABC内一点，∠D=110

，∠1=∠2，则∠ACB=________.【答案】.如图，在△ABC中，∠ACB和∠ABC的角平分线交于点O，若∠BOC=130

，连接AO，则∠BAO的度数是________.【答案】.【精讲精练】三角形的外角(1)如图，在△ABC中，∠A=80

，点D是BC边的延长线上一点，∠ACD=150

，则∠B=________.(2)已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数().A.B.C.D.【答案】(1)；(2)C.(1)如图，一个60

角的三角形纸片，剪去这个60

角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为()A.B.C.D.(2)如图，△ABC中，D为BC上点，∠=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120

，则∠DAC的度数_________.(3)若一个三角形的三个外角的度数之比为3:4:2，那么这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】(1)A；(2)100°；(3)C.如图，在△ABC中，∠A=70

，∠ABC=48

，BD⊥AC于D，CE是∠ACB的平分线，BD与CE交于点F，求∠CBD、∠EFD的度数.【答案】∵(三角形内角和定理)，∴.∵，∴.∴(直角三角形的两个锐角互余).∴.∵CE是的平分线，∴，∴(三角形外角性质).如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的角平分线，AD、CE交于F点，当∠BAC=80

∠B=40

时，求∠ACB，∠AEC，∠AFE的度数.【答案】、、.如图，∠A=60

，∠B=70

，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠2=80

，则∠1的度数为()A.B.C.D.无法确定【答案】A如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线.(1)若∠B=30

，∠C=50

，求∠DAE的度数.(2)试问∠DAE与∠C-∠B有怎样的数量关系？说明理由.【答案】(1)10°；(2).【拓展思考】如图，已知AF平分∠BAC，过F作FD⊥BC，若∠B比∠C大20

，则求∠F的度数.【答案】设，则，∵平分，∴∵，∴，∵，∴.∵，∴.【课后作业】已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，它的周长是().A.17B.22C.17或22D.13【答案】B.下列说法错误的是()A.三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分B.三角形的三条中线，角平分线都交于一点C.直角三角形的三条高交于三角形的一个顶点D.钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部【答案】A已知三角形中两边长为2和7，(1)若第三边长为奇数，则这个三角形的周长为_________；(2)若这个三角形的周长为奇数，则第三边长为_________.【答案】(1)16；(2)6或8.已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_______.【答案】或.如果三角形的两边长分别为3和6，第三边长是奇数，则第三边长可以是()A.3B.4C.5D.9【答案】C如图，AD⊥BC于点D，GC⊥BC于点C，CF⊥AB于点F，下列关于高的说法中错误的是()A.△ABC中，AD是BC边上的高B.△GBC中，CF是BG边上的高C.△ABC中，GC是BC边上的高D.△GBC中，GC是BC边上的高【答案】C三角形的三边长分别为3，1-2a，8，则a的取值范围是()A.B.C.或D.【答案】B如图，∠1=27

，∠2=95

，∠3=38

，求∠4的大小.【答案】.如图，△ABC中，∠A=40

，∠B=72

，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=_____度.【答案】由已知可得：.，.∴，.(1)在△ABC中，内角度数比值为5:3:2，求这个三角形的形状为_________(2)在△ABC中，外角度数比值为4:4:1，求这个三角形的形状为_________(3)一个凸多边形的内角和为1980°，则这个多边形的边数_________.第2讲三角形(二)【教学目标】理解多边形的定义，会用相关公式求内角、外角度数，对角线条数及边数.熟练掌握三角形的相关概念，能够利用三角形的外角性质和内角和解决角度计算问题.理解模型的相关推导，牢记模型的推导结论，能够活学活用相关模型.多边形【知识梳理】多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形，其中，各个角相等，各条边相等的多边形叫做正多边形.对角线：多边形中，不相邻的两点的连线，叫对角线.一般的，从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，一共有条.多边形的内角和一般的，从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，它们将n边形分为(n-2)个三角形，n边形的内角和等于.多边形的外角和：360度正多边形正多边形的每一条边都相等，每一个内角的度数都相等，每一个外角的度数也都相等，每个内角的度数为，每个外角的度数为.【精讲精练】(1)若一个多边形共有十四条对角线，则它是________边形.(2)一个多边形的对角线的条数等于边数的5倍，则这个多边形是________边形.【答案】(1)七；(2)十三.(1)一个多边形共有9条对角线，那么这个多边形的边数是_________.(2)已知一个多边形的边数是过它的一个顶点的对角线数的2倍，则这个多边形是______边形.【答案】(1)6；(2)六.(1)九边形的内角和等于___________.(2)若一个多边形的内角和等于1080

，则这个多边形的边数是________.【答案】(1)；(2)，解得.(1)一个多边形如果增加一条边，那么它的内角和增加_____度；如果减少一条边，那么它的内角和减少______度.(2)一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数是_________.【答案】(1)180；180；(2)9或10或11.(1)n边形内角和为，增加一条边为比原来增加180°，同理可知减少一条边后内角和为，减少了180°.(2)，解得n=10，即多边形截去一个角后，变成了十边形.(1)一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180

，这个多边形的边数是_________.(2)一凸n边形最小的内角为95

，其它内角依次增加10

，则n=_________.(3)在凸多边形中，小于108

的角最多可以有()A.3个B.4个C.5个D.6个【答案】(1)七.(2)这个凸n边形的内角由小到大依次为，它的外角依次为而这六个外角之和为∴n=6.(3)设凸边形中，小于108

的角有x个.当多边形的一个内角小于108

，则它的外角大于72

，而任意多边形的外角和等于72

，故有72x<360解得x<5，故小于108

的角可以有4个，故选B(1)一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为_______.(2)一个多边形的内角和大于1100°，小于1400度，则这个多边形的边数是_______.【答案】(1)；(2)9.如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的值.【答案】360°.八个角的和等于MNPQ的外角和360度.如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的值.【答案】连接、∵三角形内角和等于，∴，∵，∴，同理∴.三角形的相关模型【知识梳理】【精讲精练】--折叠型如图，将△ABC纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内一点上，若∠1=30°，∠2=36°，则_________.【答案】.如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2=120°，则∠A的度数是________.【答案】.∵折叠，∴.∵，.∴.∴.∵，∴.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点处，且平分∠ABC，平分∠ACB，若，则∠1+∠2的度数为().A.B.C.D.【答案】A.∵，∴.∵平分，平分，∴，∴，∴.如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶点向内折叠之后(3个顶点不重合)，那么图中∠1+∠∠2+∠3+∠4+∠+5+∠6的度数和是___________.【答案】..如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC=110°，D为AC边的中点.现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F.若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF=__________°.【答案】.【精讲精练】--8字模型如图，∠B=∠C，则().A.B.C.D.不确定【答案】A.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为________．【答案】.如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．(1)试探求：∠F与∠B、∠D之间的关系？(2)若∠B：∠D：∠F=2：4：x．求x的值．如图所示，点E和D分别在△ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，试探索∠F与∠B，∠D的关系：．【答案】在与中，∴同理与中，∴∵，∴即，也可连接，而后利用等量代换求证．【精讲精练】--燕尾型如图，∠A=30

，∠B=73

，∠C=37

求∠ADC的度数．【答案】．如图所示∠D=150

，∠B=50

，∠C=40

，则∠A=________．【答案】．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=_________．【答案】220°．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为()A．15°B．20°C．25°D．30°如图，∠A+∠BCD=140

，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，∠BOD=______.【答案】.如图，延长四边形ABCD对边AD，BC交于F，DC，AB交于E．若∠AED、∠AFB的平分线交于O，求证：【答案】∵∠AED，∠AFB的平分线交于点O，∴，，∴，∴．如图所示，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，试探索∠DBE与∠DAE和∠DCE的关系：．【答案】连接，∵在中，∴∵在中，又∵，∴∴在中，∵∴，即：如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____________.【答案】.如图，AB//CD，∠A=30

，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________.【答案】.如图，点D，E，F为△ABC三边上的一点，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=________.【答案】.【精讲精练】--双角平分线型如图，在△ABC中，∠ACB和∠ABC的角平分线交于点O，若∠BOC=130

，连接AO，则∠BAO的度数是________.【答案】.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．如右图所示，BD是∠ABC的角平分线，CD是△ABC的外角平分线，BD、CD交于点D，试探索∠A与∠D之间的关系：．【答案】∵∵，∴∵∴，即如图，在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于D，∠D=40

．则∠A等于()A．B．C．D．【答案】依题意有，，根据三角形内角和定理的推论，有，，所以：，，．如右图所示，BD是△ABC的外角平分线，CD也是△ABC的外角平分线，BD、CD交于点D，试探索∠A与∠D之间的关系：_________.【答案】∵，∴∴∵，∴∵在中，∴，即如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD//BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90

-∠ABD；④BD平分；⑤．其中正确的结论有_______________．【答案】①②③⑤．【课后作业】在Rt△ABC中，∠C=90

，将∠C沿DE向三角形内折叠，使得点C落在△ABC内部，如图，则∠1+∠2().A.B.C.D.【答案】C.如图，∠1=28

，∠2=96

，∠3=39

则∠4=________.【答案】.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.【答案】.如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.【答案】540°.连结，五边形内角和=540°.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35

，∠ACE=60

，则∠A=______.【答案】.如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=40

∠EAD=16

，则∠C的度数是_______.【答案】.已知一个多边形的内角和是900

，则这个多边形是_________边形.【答案】七.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找一找这个规律，你发现的规律是().A.B.C.D.【答案】C.证明：∵折叠，∴.∵，∴.∵，∴.∴，即∵，∴.∴.如右图所示，在△ABC中，CD、BE是外角平分线，BD、CE是内角平分线，BE、CE交于E，BD、CD交于D，试探索∠D与∠E的关系：．【答案】在和中，∵同理∴∵，∴已知△ABC，判断以下三个结论是否正确，并加以证明．(1)如图a，若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则；(2)如图b，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则；(3)如图c，若P点是∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则．【答案】(1)∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴，，∴；(2)∵点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，∴，，∴；(3)∵点P是∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，∴，，∴．第3讲三角形的边综合【教学目标】熟练掌握三角形三边关系，会利用三边关系解决问题.理解并掌握线段不等关系的证明.掌握与中点相关的线段和角度的计算.【知识梳理】三角形两边之和大于第三边；两边只差小于第三边.【精讲精练】--三角形的整数边及其相关计算长为10，7，6，4的四根木条，选其中三根首尾相接组成三角形，选法有()A.4种B.3种C.2种D.1种【答案】Ba、b、c为三角形的三边长，化简，若此三角形周长为11，求上面式子的值.【答案】11.∵三角形任意两边之和大于第三边∴，，∴原式.已知△ABC有两边长为a，b，其中a<b，则其周长l一定满足().A.B.C.D.【答案】A.已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为().A.8B.7C.6D.4【答案】6.设a-b=5，由已知可得a+b+c为奇数，所以c为偶数，且c>a-b，所以c的最小值为6.【精讲精练】--线段不等关系证明在△ABC中，AD是BC边上的中线，问成立吗？为什么？【答案】成立.由题意，，在中，，在中，，由，得，即：.如图，P是△ABC内一点，请想一个办法说明AB+AC>PB+PC.【答案】延长交于.∵在中，，①在中，，②由①、②，∴.即.如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O.求证：(1)；(2).【答案】(1)在中，，在中，，两不等式相加得，∴即AB+CD<AC+DB.(2)应用上题的结论：，，∴.【精讲精练】--与中线(中点)相关的计算在△ABC中，D是BC上的点，且BD:DC=2:1，，那么__________.【答案】36.如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则________.【答案】.已知△ABC，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:2:3的三个三角形.【答案】可以把三角形先两等份，再把其中一个再两等份，所以联想到作三角形的中线.方法1：取BC的中点E，然后在BE上取点D，使，则AD，AE把△ABC分成面积之比为1：2：3的三个三角形(如左图).方法2：在BC边上截取，连结AD，然后取AB的中点P，连结BP，CP，则△PAC，△PAB，△PBC的面积之比为1:2:3(如右图).【课后作业】一个三角形的两边分别是5和11，若第三边是整数，则这个三角形的最小周长是________.【答案】23.a、b、c为三角形的三边长，化简.【答案】.如图矩形ABCD中，AB=8，CB=4，E是CD的中点，，则四边形DBFE的面积为__________.【答案】10.如图，△ABC中，D是AB上一点.求证：(1)；(2).【答案】(1)在△ACD中，，在△BCD中，，由，得，即：；(2)在△ACD中，，在△BCD中，，由，得，即：.在如图1至图3中，△ABC的面积为a.(1)如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA.若△ACD的面积为，则_______(用含a的代数式表示)；(2)如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE.若△DEC的面积为，则__________(用含a的代数式表示)，并写出理由；(3)在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD=FE，得到△DEF(如图3).若阴影部分的面积为，则__________(用含a的代数式表示).发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF(如图3)，此时，我们称△ABC向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的______倍.应用：去年在面积为的△ABC空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH(如图4).求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少___________？【答案】(1)由CD=BC，可知AC就是△ABD的中线，中线AC将△ABD的分成两个三角形△ABC、△ACD，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以；(2)若连接DA，则DA就是△ECD的中线，中线DA将△ECD分成△CDA，△EDA，它们的面积相等；所以；(3)根据以上分析，可知△BFE，△CED，△EAF面积都为2a；所以；发现：由题意可知扩展一次后的△DEF的面积是；即扩展一次后的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍.应用：由以上分析可知扩展一次后，扩展二次后，扩展三次后，拓展区域的面积：.第4讲三角形的角度综合【教学目标】掌握三角形内角和、外角相关角度关系，会利用角度模型求角度.熟练掌握与角平分线相关角度关系计算，灵活运用辅参法简化几何过程.了解折叠在题目中的作用，会做相关折叠类导角题目.【知识梳理】三角形导角模型内角和相关外角相关8字模型(蝴蝶型)金字塔模型燕尾模型(飞镖模型)A字模型注意：燕尾模型结论的常用证明方法：三角形双角平分线模型(要求会证明过程)(1)内内型：(2)内外型：(3)外外型：条件P点是和的角平分线的交点.P点是和外角的角平分线的交点P点是和的角平分线的交点.结论示意图证明∵BP、CP是∠ABC和∠ACB的角平分线∴设∠ABP=∠PBC=x，∠ACP=∠PCB=y，在△ABC中，∠A+2x+2y=180°①在△PBC中，∠P+x+y=180°②由②×2-①得：，即.∵BP、CP是∠ABC和∠ACE的角平分线∴设∠ABP=∠PBC=x，∠ACP=∠PCE=y，在△ABC中，∠A+2x=2y①在△PBC中，∠P+x=y②由②×2-①得：，即.∵BP、CP是∠CBF和∠BCE的角平分线，∴设∠PBF=∠PBC=x，∠PCB=∠PCE=y，在△ABC中，∠A+(180

-2x)=2y①在△PBC中，∠P+x+y=180°②由②×2-①得：，即.【精讲精练】--三角形导角模型(1)如图1，∠A=70°，∠B=40°，∠C=20°，则∠BOC=__________.(2)如图2，∠3=20

，∠4=30

则∠1-∠2___________.图1图2【答案】(1)130°；(2)10°.(1)如图1，△ABC中，点D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A=30

，∠FCD=80

，则∠D的度数为___________.(2)如图2，∠1=105

，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______.(3)如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______.图1图2图3【答案】(1)；(2)；(3).(1)如图1，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______.(2)如图2，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______.图1图2【答案】(1)本题既可按“8字模型”来考虑，也可按照燕尾模型来做，也可以应用外角定理来解决，此题可以锻炼学生一题多解，熟练灵活的应用.=1\*GB3①如图1，连接，应用“8字模型”，.②如图2，应用燕尾模型，∵∵，∴③如图3，应用外角定理，∵又∵，∴图1图2图3(2)法一：∵∠A+∠B=∠5+∠6①∠C+∠D=∠4+∠6②∠E+∠F=∠4+∠5③=1\*GB3①+②+③=2(∠4+∠5+∠6)，∵.∴.法二：∵，①，②.③而，，，且.④∴①+②+③④得，法三：连接，∴(1)如图1，α=133

β=83

，则∠A+∠B+∠C+∠D=______.(2)如图2，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______.图1