高考数学选择题的解法教案

专题一、选择题的解法考点回顾近几年来高考数学试题中选择题稳定在12题，分值60，约占总分的40%。高考选择题注重多个知识点的小型综合，渗逶各种数学思想和方法，体现基础知识求深度的考基础考能力的导向，使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型。同时完成选择题所用的时间和精力对其后的填空题和解答题具有极大的心理影响，因此能否在短时间内在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大,它具有它独特的结构特点和考查功能。1．数学选择题的特点选择题的基本特点是：（1）概念性强,知识覆盖面广，题型灵活多变，经常出现一些数学背景新颖的创新题这些创新题目注重基础性，增强综合性，体现时代气息；；（2）量化突出,选择题不要求书写解题过程，不设中间分，因此一步失误，就会造成错选，导致全题无分。（3）充满思辨性,绝大多数选择题题目属于低中档题因为主要的数学思想和教学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度（如思维层次，解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等），所以使之成为具备较佳区分度的基本题型之—。（4）形数兼备；（5）解法多样化；（6）评卷公平,在注重考查基础知识、技能、方法的同时，加大了对能力考查的力度，考潜能，考应用，体现着高考数学命题改革的导向作用。2.数学选择题的考查功能（1）能在较大的知识范围内，实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查。每道选择题所考查的知识点一般为2--5个，以3--4个居多，故选择题组共考查可达到近50个之多，而考生解答只需15分钟左右。相当于解一个中等难度的解答题，但一道解答题无论如何也难以实现对三四十个考点考查。（2）能够比较确切地测试考生对概念、原理、性质、法则、定理和公式的理解和掌握程度。（3）在一定程度上，能有效考查逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力。3.解选择题的原则根据选择题的题干和选择支两方面提供的信息，作出正确的选择，一般要求迅速和准确为原则。选择题得分率的高低及解题速度的快慢直接影响着每位考生的情绪和全卷的成绩因此，准确、快速是解选择题的策略准确是解高考选择题的先决条件，这要求考生要仔细审题，认真分析，合理选择解题方法，正确推演或判断，谨防疏漏，确保准确；快速是结合高考数学单项选择题的结构，题目本身提供的条件、特征或信息，以及不要求书写解题过程的特点，灵活选用简单、合理的解法或特殊化法，避免繁琐的运算、作图或推理，避免“小题大做”，给解答题（特别是中高档题）留下充裕的时间，争取得高分具体说来，就是要突出解题方向的探索、解题思路的分析、解题方法的选择以及解题思维过程的展示和解题回顾反思等环节；熟练掌握各种基本题型的一般解法，在此基础上逐步掌握解选择题的解题思路、常用方法、规律及相关技巧；注重提高口算、心算和笔算的能力，做到“基本概念理解透彻，基本联系脉络清晰，基本方法熟练掌握，基本技能准确无误”，达到“既然会解，就要解对”的地步，而且需要思维清晰、敏捷、通畅，解法合理、简捷为此，研究和探索选择题的解题思路、常用方法与技巧就显得非常必要和重要。一般地，解答选择题的策略是以直接思路肯定为主，间接思路否定为辅，准确、快捷、精巧是解选择题的基本要求；要在巧字上做文章，配合使用多种解题方法，尽量避免“小题大做”。第一，熟练掌握各种基本题型的一般解法。第二，结合高考单项选择题的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特点，灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧。第三，挖掘题目“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。经典例题剖析1、直接法：直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.例1．若sinx>cosx，则x的取值范围是（）（A）{x|2k－＜x＜2k＋，kZ}（B）{x|2k＋＜x＜2k＋，kZ}（C）{x|k－＜x＜k＋，kZ}（D）{x|k＋＜x＜k＋，kZ}解：（直接法）由sinx>cosx得cosx－sinx＜0，即cos2x＜0，所以：＋2kπ＜2x＜＋2kπ，选D.另解：数形结合法：由已知得|sinx|>|cosx|，画出y=|sinx|和y=|cosx|的图象，从图象中可知选D.例2．设f(x)是(－∞，∞)是的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f等于（）（A）（B）－（C）（D）－解：由f(x＋2)＝－f(x)得f＝－f＝f＝－f＝f(－，由f(x)是奇函数，得f(－＝－f＝－，所以选B.也可由f(x＋2)＝－f(x)，得到周期T＝4，所以f＝f(－＝－f＝－.例3．七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是（）（A）1440（B）3600（C）4320（D）4800解一：（用排除法）七人并排站成一行，总的排法有种，其中甲、乙两人相邻的排法有2×种.因此，甲、乙两人必需不相邻的排法种数有：－2×＝3600，对照后应选B；解二：（用插空法）×＝3600.直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解.直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题目的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的基础上，否则一味求快则会快中出错.2、特例法：用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.例4．已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射解等于反射角），设P4坐标为（的取值范围是（）（A） （B） （C） （D）解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tan=，由题设条件知，1＜x4＜2，则tan≠，排除A、B、D，故选C.另解：（直接法）注意入射角等于反射角，……，所以选C.例5．如果n是正偶数，则C＋C＋…＋C＋C＝（）（A）2（B）2（C）2（D）(n－1)2解：（特值法）当n＝2时，代入得C＋C＝2，排除答案A、C；当n＝4时，代入得C＋C＋C＝8，排除答案D.所以选B.另解：（直接法）由二项展开式系数的性质有C＋C＋…＋C＋C＝2，选B.例6．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）（A）130（B）170（C）210（D）260解：（特例法）取m＝1，依题意＝30，＋＝100，则＝70，又{an}是等差数列，进而a3＝110，故S3＝210，选（C）.当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30％左右.3、筛选法:从题设条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.例7．已知y＝log(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是（）（A）(0，1)（B）(1，2)（C）(0，2)（D）[2，+∞解：∵2－ax是在[0，1]上是减函数，所以a>1，排除答案A、C；若a＝2，由2－ax>0得x＜1，这与x∈[0，1]不符合，排除答案D.所以选B.例8．过抛物线y＝4x的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P和Q，那么线段PQ中点的轨迹方程是（）（A）y＝2x－1（B）y＝2x－2（C）y＝－2x＋1（D）y＝－2x＋2解：（筛选法）由已知可知轨迹曲线的顶点为(1，0)，开口向右，由此排除答案A、C、D，所以选B；另解：（直接法）设过焦点的直线y＝k(x－1)，则，消y得：kx－2(k＋2)x＋k＝0，中点坐标有，消k得y＝2x－2，选B.筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围那找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占40％.4、代入法：将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案.例9．函数y=sin(－2x)＋sin2x的最小正周期是（）（A）（B）（C）2（D）4解：（代入法）f(x＋)＝sin[－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)，而f(x＋π)＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x).所以应选B；另解：（直接法）y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin(2x＋)，T＝π，选B.例10．函数y＝sin（2x＋）的图象的一条对称轴的方程是（）（A）x＝－（B）x＝－（C）x＝（D）x＝解：（代入法）把选择支逐次代入，当x＝－时，y＝－1，可见x＝－是对称轴，又因为统一前提规定“只有一项是符合要求的”，故选A.另解：（直接法）∵函数y＝sin（2x＋）的图象的对称轴方程为2x＋＝kπ＋，即x＝－π，当k＝1时，x＝－，选A.代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题。若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。5、图解法：据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断.习惯上也叫数形结合法.例11．在内，使成立的的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）解：（图解法）在同一直角坐标系中分别作出y＝sinx与y＝cosx的图象，便可观察选C.另解：（直接法）由得sin（x－）＞0，即2kπ＜x－＜2kπ＋π，取k＝0即知选C.例12．在圆x＋y＝4上与直线4x＋3y－12=0距离最小的点的坐标是（）（A）（，）（B）(，－)（C）(－，)（D）(－，－)解：（图解法）在同一直角坐标系中作出圆x＋y＝4和直线4x＋3y－12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选A.直接法先求得过原点的垂线，再与已知直线相交而得.例13．设函数，若，则的取值范围是（）（A）（，1）（B）（，）（C）（，）（0，）（D）（，）（1，）解：（图解法）在同一直角坐标系中，作出函数的图象和直线，它们相交于（－1，1）和（1，1）两点，由，得或.严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，而是一种数形结合的解题策略.但它在解有关选择题时非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择.如：例14．函数y=|x2—1|+1的图象与函数y=2x的图象交点的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4本题如果图象画得不准确，很容易误选（B）；答案为（C）。数形结合，借助几何图形的直观性，迅速作正确的判断是高考考查的重点之一；历年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占50％左右.6、割补法“能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题长度.例15．一个四面体的所有棱长都为，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（）（A）3 （B）4 （C）3 （D）6解：如图，将正四面体ABCD补形成正方体，则正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一点.因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径R＝.故S球＝3.直接法（略）我们在初中学习平面几何时，经常用到“割补法”，在立体几何推导锥体的体积公式时又一次用到了“割补法”，这些蕴涵在课本上的方法当然是各类考试的重点内容.因此，当我们遇到不规则的几何图形或几何体时，自然要想到“割补法”.7、极限法:从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变.应用极限思想解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难度，优化解题过程.例16．不等式组的解集是（）（A）（0，2）（B）（0，）（C）（0，）（D）（0，3）解：不等式的“极限”即方程，则只需验证x=2，，和3哪个为方程的根，逐一代入，选C.例17．在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）（A）（π，π）（B）（π，π）（C）（0，）（D）（π，π）解：当正n棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时，则底面正多边形便为极限状态，此时棱锥相邻两侧面所成二面角α→π，且小于π；当棱锥高无限大时，正n棱柱便又是另一极限状态，此时α→π，且大于π，故选（A）.用极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，迅速找到答案。8、估值法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次.例18．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）（A）（B）5（C）6（D）解：由已知条件可知，EF∥平面ABCD，则F到平面ABCD的距离为2，∴VF－ABCD＝·32·2＝6，而该多面体的体积必大于6，故选（D）.例19．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）

（A）π（B）π（C）4π（D）π解∵球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r＝，则S球＝4πR2≥4πr2＝π＞5π，故选（D）.估算，省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷.其应用广泛，它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法.二、练习20.直接法：设集合和都是自然数集合，映射把集合中的元素映射到集合中的元素，则在映射下，象20的原象是（）解析：解：由映射概念可知可得.答案：故选.点评：由因导果，对照结论。按指令要求，通过推理或演算直接得出符合题意的结论，再与选择支对照而作出判断的解题思路称为直接法.直接法是经常采用的一种重要方法.21. 特例法:，则（）解析：由不妨取，则答案：故选.点评：把特殊值代入原题或考虑特殊情况、特殊位置，从而作出判断的方法称为特例法.（也称特殊值法）注：本题也可尝试利用基本不等式进行变换.22.极限法：四面体的四个的面积分别是，记最大的面积为S，则的取值范围是（）ABCD解析：显然当四个面的面积都相等时取值为4，当最大面积的面所对的顶点无限接近这个面时，取值为2。答案：A点评：极限法其实是特例法的一种，其中的一种情况是取。23.排除法：“关于n的不等式对一切大于1的正整数n成立”的一个充分不必要条件是（）A0<a<B1<a<C1<a<D1<a<3解析：由于可排除A；若D正确则B也正确，若B正确则C也正确。答案：C点评：排除法，是从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，逐个淘汰与题设矛盾的选择支，从而筛选出正确答案。特别是题设中含有“充分不必要条件或必要不充分条件”这们的关键词时。24.数形结合法：已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么（）A、B、C、D、4解析：用三角形法则，构成三角形，再用余弦定理计算可得答案：C点评：利用函数图像或常用结论的几何意义，将数的问题（如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等）与某些图形结合起来，利用几何图形的直观性，再辅以简单计算，确定真支，这种解法贯切了数形结合思想．每年高考均有很多选择题（也有填空题、解答题）可用数形结合思想解决，既简捷又迅速25.代入检验法（验证法）:已知二次函数，若在区间[0，1]内至少存在一个实数c，使，则实数p的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（0，1）解析：取p=1代入检验。显然在[0，1]内有解.答案：C点评：将选择支中给出的答案（尤其关注分界点），代入题干逐一检验，从而确定正确答案的方法为验证法。26.特征判断法:已知，等于（）A．B．C．D．5解析：因，可知m为定值，可排除A、B；又，排除C答案：D点评：常抓结构特征、数值特征、位置特征等27..估算法：若方程的解为x0，则x0属于以下区间（）A、B、C、D、解析：取函数，当时，均有，而当时，有答案：C点评：估算法是一种粗略的算法，即把复杂的问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法．28．逆向思维法：若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（） 三棱锥四棱锥五棱锥六棱锥解：假如是六棱锥，则这个六棱锥的底面外接圆半径、底面边长、侧棱长都相等，这是不可能的。答案：D.点评：当问题从正面考虑比较困难时，采用逆向思维的方法来作出判断的方法称为逆向思维法.强化训练29.|2x－1|+5x≥2的解集是（）A.[1/2,+)B.[3/7,+)C.[1/3,+)D.(－,1/2)答案：B30.方程lg(x+4)=10x的根的情况是()(A)仅有一根(B)有一正一负根(C)有两负根(D)无实根答案：B31.当恒成立，则的一个可能取值是（）