题型剖析：让参数方程学习向思维深处漫溯

题型剖析：让参数方程学习向思维深处漫溯宁夏固原市回民中学姚宗亮756000作者简介：姚宗亮（1964-），男，汉族，宁夏固原人，本科，中学高级教师，特级教师，从事高中数学教育教学与试题研究命制工作。[摘要]参数方程是高考选修部分考查的重点内容，对这部分知识的考查常与其它知识结合在一起，具有一定的综合性。试题难度中档偏上，题型以填空题和解答题为主。本文主要从填空题、解答题、证明题、探索性问题四个方面就有关参数试题的题型的解题思路进行论述。[关键词]参数方程填空题解答题证明题探索性问题参数方程是解析几何的重要知识点，也是解决一些数学难题的得力工具，其解题思路一般要转化为直角坐标方程求解。涉及到的题型多样，题目难度在各个层次都有体现。解题的核心思想是灵活转化。但是参数方程的参数思想常渗透到高考综合题的解答过程中，参数的选择与应用则是解题的关键。下面举例分析，希望能起到抛砖引玉的作用。一、基本题型——填空题与参数方程有关的填空题考查的知识点比较单一，解析式表述简单，计算量较小。由于解题不需要写出过程，直接写出答案，因此可以采用一些特殊的技巧进行答题。解答时要做到“快、稳、全、活、细”。例1方程表示的曲线是。分析：判断参数方程所表示的曲线类型题，需要先将参数方程通过一定的方法化为普通方程，然后再去判断其属于何种类型的曲线。解析：t与互为倒数，参数方程的两边分别平方，再相减，可得即有，又注意到，可见与以上参数方程等价的普通方程为。题给方程表示为焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支。点评：将参数方程向普通方程的转化是消去参数解题的一种很重要的方法，其中需要警惕的是变量范围是否取到统一。二、主流题型——解答题有关参数方程解答题的求解，审题是关键。解答题涉及的知识点比较多，考查的解题方法和运算技巧也涉及多个方面，因此审题时需要从多个角度进行分析题意，准确识别题目中隐含的信息和题干的特征，以期达到正确理解题意，快速解答。例2设是椭圆上的一个动点，讨论表达式是否有最值？如果有最值，试求出的最大值或最小值。分析：正确解决本题需要关注变量的几何意义，若设，则方程表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不同的直线），显然既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消参后的一元二次方程的判别式问题。解析：令，对于既满足，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得，由，解得：，所以的最大值为，最小值为。点评：本题还可以通过三角函数换元求解，则可以优化解题途径，简化解题过程。即，因此可通过转化为的一元函数。以上二个思路都叫“参数法”。三、综合题型——证明题与参数方程有关的证明题是学习的重点和难点，其渗透的知识点比较多，与不等式、圆锥曲线、圆的方程、直线方程联系密切，题型多变，难度比较大。但是只要掌握了具体的方法和策略，则一切困难将不再是困难了。图1例3如图1，双曲线的一条准线与实轴交于点，过点引一条直线与双曲线交于两点。又过一焦点引一条垂直于的直线，与双曲线交于、两点。图1求证：。分析：因直线过定点，又与垂直，考虑设出直线的参数方程，联立双曲线方程求解。证明：不妨设，直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为。由对称性，可取，则直线的参数方程为（为参数）代入双曲线方程，得，即。又直线的方程为（为参数），把它代入双曲线方程，得，即。点评：在直角坐标系中，要想表示两线段长度之积比较困难的与烦琐，而应用直线的参数方程处理起来却很轻松，这是因为可以表示线段的长度，而用韦达定理表示比较简单。四、创新题型——开放题型与参数有关的开放题在解题方法上多样且题型多变。在日常考查的试题中多为条件开放型（探求已知结论成立的条件）、结论开放型（在已知条件下探求所得的结论）等。在解题时，要根据题给条件的特征，采取有效的策略进行探究。图2例4如图2，椭圆方程为，点，过点的直线与椭圆交于、两点，问上是否存在点，使得？如果存在，能否求出其轨迹方程？图2分析：假设满足条件的点存在，代入进行判断。解析：假设满足条件的点存在，设，，，则且。再设，因为，得及由①×③＋2×②×④，得。所以满足条件的点存在，且点的轨迹方程为（在椭圆内的部分）。点评：参数方程与圆锥曲线融为一体是参数方程的又一命题方式。巧设参数，可以简化运算。其题目特点是：用参数方程可解，不用参数方程也可解，区别体现在“简与繁”上。参数方程的应用可以对融合解析几何知识起到至关重要的作用，提供了在常规解题方法之外的有效补充。参数的学习能够培养探究数学问题的兴趣与能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。参考文献：[1]丁宇韬.高考数学中圆锥曲线试题解法探究[J].数学教学通讯,2022(03):70-71