第二章向量组和向量空间

第二章向量组和向量空间教学安排说明章节题目：§2.1n维向量及其线性运算；§2.2向量组的线性相关性；§2.3向量组的秩学时分配：共6学时。§2.1n维向量及其线性运算2学时§2.2向量组的线性相关性2学时§2.3向量组的秩2学时本章教学目的与要求：：目的：使学生掌握向量的线性运算及线性相关性的判定，为下一章理解线性方程组解的结构打基础。要求：1、理解n维向量的概念和运算。2、深刻理解向量的线性组合、向量组线性相关与线性无关的概念（本章的难点）。3、深刻理解向量组的极大无关组和向量组秩的概念。会求向量组的秩和极大无关组（本章的难点）。4、掌握向量组线性相关性的判定课堂教学方案课程名称：§2.1n维向量及其线性运算授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握向量的定义及其线性运算满足的规律，掌握向量内积、夹角、正交等概念教学重点、难点：重点是向量内积、夹角、正交等概念教学内容§2.1n维向量及其线性运算一、n维向量的概念定义1所谓一个n维向量就是由n个数组成的有序数组(1)(a,a，…，a)(1)12na称为向量⑴的第i分量•通常用小写希腊字母a,B7，…来代表向量.i向量通常是写成一行：a二(a,a，…，a).有时也可以写成一列:12n

n为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同.分量全为零的向量(0,0,…,0)称为零向量，记为0全体n维实向量的集合记作Rn例1线性方程组ax+axax+ax+111122ax+ax+211222+ax1nn+ax2nn二b,1二b,2+ax•••'mn,a,b)表示ini中的每一个方程都可以用一个n+1维向量（a,a,b)表示inii1i2例2、例3见教材二、向量的线性运算如果n维向量a=(a,a,…，a),卩=(b,b,…,b)12n12n的对应分量都相等，即a=b(i=1,2,…,n).ii就称这两个向量是相等的，记作a=B.1.向量的加法定义2已知向量^=(a,a,…,a),卩=(b,b,…,b)，向量12n12nY=(a+b,a+b,…，a+b)1122nn称为向量a=(a,a,…，a)，卩=(b,b,…,b)TOC\o"1-5"\h\z12n12n的和，记为Y=a+B数乘向量定义3设k为数，向量(ka,ka,…,ka)称为向量a=(a,a,…,a)与数k的数12n12n量乘积，记为ka向量(-a，-a,…,-a)称为向量a=(a,a,…,a)的负向量，记为-a.12n12n向量的减法已知向量a=(a,a,…,a)，卩=(b,b,…,b)，定义向量12n12nkka主0.(l3)称为向量Y=a+(_1)P=(a—b1,a—b,,a—b)122nn2n的减法，记为Y=a-卩4.向量的转置称(a称(a,a,,a)为向量a12n厂a、1a2的转置，记作"或aT(2)结合律：a+(2)结合律：a+(p+y)=(a+p)+y.(3)...w丿n显然向量的运算满足以下运算规律交换律：(4)(4)a+0=a.(5)k(a+p)=ka+kp,(6)(k+l)a=ka+la,(7)k(la)=(kl)a,(8)1a=a.(9)(6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出：0a=0,(10)(_l)a=—a,(11)k0=0.(l2)如果k丰0,a丰0，那么补充例题例1．计算(i)-(2,0，-1)+(-1，-1，2)1+—（0，1，-1）；3-，2）2(ii)5（0，1，-1)-3（1，+（1，-3，1）．3例2．证明：如果a（2，1，3）+b（0,1,2）+c（1，-1，4）=（0，0，0），那么a=b=c=0．三、向量的内积定义4在Rn中，设向量"=（a,a,a）卩,'=b（b,b,称）实数12n12nab+ab++ab为向量a,卩的内积，记作{a,卩］…1122nn向量的内积具有以下性质：1）［a,卩］=［卩,a］；2）站,卩］=k{a,卩］;3）［a+卩，丫］={a,y］+{P,y］；4）［a,a］＞0,当且仅有幺=0时［a,a］=0定义5非负实数J［a,a］称为向量a的长度，记作||a||显然向量的长度满足非负性、齐次性和三角形法则。向量的长度一般是正数只有零向量的长度才是零。长度为1的向量叫做单位向量长度为1的向量叫做单位向量•如果,a丰0，向量a就是个单位向量.用向量a的长度去除向量a，得到一个与a成比例的单位向量，通常称为把a单位化.两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量a与p成比例就是说有一数k

命题1设向量a,卩wRn,则有［a,p^＜,且等号成立当且仅当两向量对应分量成比例定义6非零向量a,P的夹角＜a,卩＞规定为<a,<a,p>=[a,p]定义7如果向量a,p的内积为零，即(a,p)二0，那么a,p称为正交或互相垂直，记为a丄p.两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为-.2只有零向量才与自己正交.课后作业P561；2；3

课堂教学方案课程名称：§2.2向量组的线性相关性授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握向量组的线性相关、无关的定义，掌握有关定理及推论教学重点、难点：重点是判别向量组的线性相关性；难点是定理的证明教学内容§2.2向量组的线性相关性一、向量组的线性组合向量卩向量卩称为向量组a,a,12,a的一个线性组合，如果有数mk,k,,k，使12m卩=ka+ka++ka,1122mm其中k,k,,k叫做这个线性组合的系数•・当向量卩是向量组a,a,,a的12m12m一个线性组合时,•也说卩可以经向量组a,a,,a线性表出.…12m例4设e'=(1,0,0),e'=(0,1,0),e'=(0,0,1)；卩'=(3,—2,1)，贝卩123卩=3e‘一2e'+e'123再如，任一个n维向量a=(a,a，…,a)都是下面向量组的一个线性组合.12n£=(1,0,•••,0),1£=(0,1,•••,0),2£=(0,0,•••,1)n向量££,…,£称为n维单位向量.12n零向量是任意向量组的线性组合.例5设卩是向量组a,a,,a之中的一个向量，证明卩是向量组a,a,,a12m12m的一个线性组合…・・・例6证明卩是向量组a,a,,a的一个线性组合，则卩也是向量组12ta,a,,a,a,a的一个线性组合。12tt+1m例7判断卩'二(4,3,-1,11)是否是a'-(1,2,-1,5),a'-(2,-1,1,1)的线性组合？12例8判断卩/-(4,3,0,11)是否是a'-(1,2,-1,5),a'-(2,-1,1,1)的线性组合？12命题2如果卩可由向量组a,a,,a线性表出，而a,a,,a中每一个向TOC\o"1-5"\h\z12m12m量可以经向量组Y,Y,,Y线性表出，•那么卩可由Y,Y,,Y线性表出.12s12s二、线性相关……定义10设向量组a,a,…心(m$2),如果其中存在一个向量是其余m-112m个向量的线性组合，则称向量组a,a，…a线性相关12m定理1向量组a,a,…a(m$2)线性相关的充分必要条件是存在不全为零12m的数k,k,,k，使12m°°°ka+ka++ka=01122mm如果当且仅当k,k,,k=0时上式成立，则称向量组a,a,…a线性无关。12m12m定义10’设向量组a・；a，…a(m$2),如果存在不全为零的数k,k,,k,12m12m使•…ka+ka++ka-01122mm那么称向量组a,a，…a(m$2)线性相•关，否则称线性无关。12m从定义可以看出，单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的・向量组a,a线性相关就表示12a=ka或者a=ka（这两个式子不一定能同时成立）•在p为实数域，并且是三1221维时，就表示向量a与a共线•三个向量a,a,a线性相关的几何意义就是它们12123共面.并且如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量.不难看出，由n维单位向量8,8,,£组成的向量组是线性无关的.12n例9判断a、（2,—1,3）,a'=（4,—2,5）,a'=（2,—1,4）是否线性相关？123例10a，=（1,0,0）,a，=（0,1,0）,a，=（0,0,1）是否线性相关？123命题3若向量a1,a2,,am的部分组a1,a2,,as"5）线性相关°m线性相关。反之，a「a2，Qm线性无关方巴°2，巴线性无关。证：因为HZ,,as线性相关，则存在不全为零的k1,k2,,牛，使+ka+0a+…+0a=0sss+1m则a1,a2,,am线性相关。命题4记a=ja1ja=ja1jarj丿arjar+1j,(j=1,…，m)若a1,a2,,am线性无关=即卩2,,卩m线性无关。反之，若即卩2''卩m线性相关二巴,^,,am线性相关。即如果向量组线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的n+1维的向量组也线性无关.ii证：1°记A=©严2,瓷B尸卩(卩，2，显然r(A)<r(B),因为a!，a2，，ttm线性无关，知r(A)=m，因而r(B-m.2。…因为B只有m列，所以r(B)Vm.由1°和2°知r(B)=m，知即停'卩m线性无关。…定理2设向量组巴"?，化线性无关，巴。?，°m'卩线性相关=卩可由HZ，"表示，且表示法唯一。…证:•记A=巴巴，，臥)，B=Q严2，°m，卩)，显然r(A)Vr(B).1°因为巴°2，°：线性无关，知r(A)=m2°因为ai,S，…°m，卩线性相关，知r(B)<m+1因此r(因此r(B)=m•知Ax=(a,a,，知，，a)X=b有解且唯一。=P可由表示，且表示法唯一。口补充知识：定理：设P=a,a,,a12a,a，…，a定理：设P=a,a,,a12a,a，…，a12，向量厂aj

aja丿j线性表示的充要条件是：(j=12以a,a,12，卩为列向量的矩阵有相同的秩。定理：向量组a,a,12，a，其中na=2jj=1,2,,n)，则向量卩可由向量组,a为列向量的矩阵与以n,n，a丿mj课后作业：课后作业：P611，2,3,4则a,a,,a线性相关的充要条件是：以a,a,,a为列向量的矩阵的秩小于向12n12nTOC\o"1-5"\h\z量的个数n。…定理：m个n维向量组成的向量组ai,a2，，am，当n<m时=ai，a2，，am线性相关。……证：记A„xm=（（V巴），因为n5O心“枷）-"，则吧’线性相关。.……=0=0有非零向量组a1,a2,,^线性相关°齐次线性方程组兀$1+X2a2++二匕解。或者说齐次线性方程组兀$1+解。或者说齐次线性方程组兀$1+X2a+2+Xnan=0只有零解Sa1,a2,,an线性无关。推论设n个向量a=（ai1j,a2j,,anj推论设n个向量a=（ai1j,a2j,,anj)(j=1,2,,n)，向量组a,a,12,a线性n相关的充要条件是：a11a21a12a22.…a1na2nan1an2ann注：这里把a1,a2,,an应理解为列向量。补充例题…例1向量组a=(1,—2,0,3),a=(2,5,—1,0),a=(3,4丄2)是否线性相关.123例2判断向量a=(1,—2,3),a=(2,1,0),a=(1,—7,9)是否线性相关。123例3证明：若向量组a,a,a线性无关，则向量组2a+a,a+5a,4a+3a也123122331线性无关.课堂教学方案课程名称：§2.3向量组的秩授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：理解向量组的秩的概念，掌握有关定理及推论教学重点、难点：极大无关组的判定教学内容定义11：设两个向量组a,a,,a(1)卩,卩,…,卩(2)12t12s如果向量组(1)中的每个a都可以由向量组(2)线性表示，那么称向量组ia,a,,a可由卩，卩，…,卩线性表示。如果向量组(2)中的每个向量卩也可以12t12si由向量组(1)线性表示，那么向量组(1)与(2)称为等价。例如：a=(1,2,3)，a=(1,0,2)与向量组卩=(3,4,8)，卩=(2,2,5)，卩=(0,2,1)12123等价。因为a=卩一卩，a=2卩一卩；112221向量组的等价关系具有如下性质：反身性：每一个向量组都与它自身等价；对称性：如果向量组(1)与向量组(2)等价，那么向量组(2)也与向量组(1)等价；传递性：如果向量组(1)与向量组(2)等价，而向量组(2)又与向量组Y,Y,Y等价，那么向量组(1)与向量Y,Y,Y也等价。12m12m定义・12n维向量组a,a,a的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果12s这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.例11n个n维单位向量就是Rn的一个极大无关组.例12R3的向量组a=(1,0,0),a=(0,1,0),a=(1,1,0)，在这里｛a,a｝线性TOC\o"1-5"\h\z12312无关，而a=a+a，所以｛a,a｝是一个极大线性无关组•另一方面,｛a,a｝,3121213｛a,a｝也都是向量组｛a,a,a｝的极大线性无关组.23123上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组一般不是唯一的.定理3：设a,a,,a与卩,卩,,卩是两个向量组•如果向量组卩,卩,,卩可12m12s12s以经a,a,,a线性表出，且s>m•，•那么向量组卩，卩，，卩必线性相关：…TOC\o"1-5"\h\z12m12s推论r如果向量组卩,卩,,卩可以经向量组a,a,,a线性表出，且12s12m卩,卩,,卩线性无关，那么s<m•/…12s推论2任意n+1个n维向量必线性相关推论3两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量：一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量：因此，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质：因此有定义13向量组a,a,,a的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量12s组的秩：一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同：每一向量组都与它的极大线性无关组等价：由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价：所以，等价的向量组必有相同的秩：含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组：全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组：规定这样的向量组的秩为零：例13，矩阵TOC\o"1-5"\h\z'1131、02-14A-0005、0000丿的行向量组是a=(1,1,3,1),a=(0,2,—1,4),a=(0,0,0,5),a=(0,0,0,0)1234它的秩是3.它的列向量组是P=(1,0,0,0)',P=(1,2,0,0)',P=(3,-1,0,0)',p=(1,4,5,0)'1234它的秩也是3.定义14矩阵A的列向量组成的向量组的秩称为矩阵A的列秩；矩阵A的行向量组成的向量组的秩称为矩阵A的行秩。定理：A的列秩与行秩相等。(因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩.)补充例题例1(1)设a,a,a线性无关，证明a,a+a,a+a+a也线性无关；对TOC\o"1-5"\h\z123112123n个线性无关向量组a,a，…,a，以上命题是否成立？12n(2)当a,a,a线性无关，证明p=a+a,p=a+a,p=a+a也线性无123112223313关，当a,a，…,a线性无关时，a+a,a+a，…,a+a,a+a是否也线性无12n1223n-1nn1关？解：令叩广x2P2+x3P3=0，代入整理得：(x+x)a+(x+x)a+(x+x)a=0TOC\o"1-5"\h\z131122233•因为巴，a2,a3线性无关，则应有x+x=013<X+X=012X+X=0/,、I23(*)r101「r101「A=110>01-1=B[o11J[001Jr(A)二r(B)二3，所以(*)式只有零解，由定理5推论