2023届高考数学二轮复习专题15数列构造求解析式必刷100题教师版

本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854专注收集同步资源期待你的加入与分享专题15数列构造求解析式必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．数列中，，，则（）A．32 B．62 C．63 D．64【答案】C【分析】把化成，故可得为等比数列，从而得到的值.【详解】数列中，，故，因为，故，故，所以，所以为等比数列，公比为，首项为.所以即，故，故选C.2．在数列中，，且，则的通项为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】依题意可得，即可得到是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；【详解】解：∵，∴，由，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即．故选：A3．设数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是（）A．4 B．4C．4 D．4【答案】D【分析】首先证得{nan－(n－1)an－1}为常数列，得到，进而证得数列是以1为首项，5为公差的等差数列，从而求出通项公式，进而求出结果.【详解】因为2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，所以nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan故数列{nan－(n－1)an－1}为常数列，且，所以，即，因此数列是以1为首项，5为公差的等差数列，所以，因此所以a20＝.故选：D．4．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则通项an可能是（）A．5－3n B．3·2n－1－1C．5－3n2 D．5·2n－1－3【答案】D【分析】用构造法求通项.【详解】设，则，因为an＋1＝2an＋3，所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列，，所以故选：D5．已知数列满足：，则数列的通项公式为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】对两边取倒数后，可以判断是首项为1，公差为的等差数列，即可求得.【详解】由数列满足：，两边取倒数得：，即，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以，所以故选:D6．已知数列中，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，由等差数列的性质及通项可得，即可得解.【详解】令，则，，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以.故选：D.7．已知数列的前项和为，，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得出数列是等比数列，然后可利用数列的奇数项仍然为等比数列，求得和．【详解】因为，所以，又，所以，所以是等比数列，公比为4，首项为3，则数列也是等比数列，公比为，首项为3．所以．故选：A．8．已知数列满足：，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知关系求得数列是等比数列，由等比数列通项公式可得结论．【详解】由题意，由得，即，所以数列是等比数列，仅比为4，首项为4，所以．故选：C．9．已知数列满足递推关系，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由递推式可得数列为等差数列，根据等差数列的通项公式即可得结果.【详解】因为，所以，，即数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以，所以，故选：D.10．已知数列满足：，，，则数列的通项公式为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取倒数，可得是以为首项，为公比的等比数列，由此可得结论.【详解】∵∴，∴，∵∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴.故选：B.11．数列满足，且，若，则的最小值为A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】依题意，得，可判断出数列{2nan}为公差是1的等差数列，进一步可求得21a1=2，即其首项为2，从而可得an=，继而可得答案．【详解】∵，即，∴数列{2nan}为公差是1的等差数列，又a1=1，∴21a1=2，即其首项为2，∴2nan=2+（n﹣1）×1=n+1，∴an=．∴a1=1，a2=，a3=，a4=＞，a5==＜=，∴若，则n的最小值为5，故选C．12．已知数列满足，，则满足不等式的（为正整数）的值为（）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】先求得的通项公式，然后解不等式求得的值.【详解】依题意，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，由得，即，即，，而在上递减，所以由可知.故选：D13．在数列中，，，若，则的最小值是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根据递推关系可得数列是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得，即求.【详解】因为，所以，即，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.则，即.因为，所以，所以，所以.故选：C14．已知数列满足，且，则的第项为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】在等式两边取倒数，可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，进而可求得.【详解】当且，在等式两边取倒数得，，且，所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，因此，.故选：A.15．数列中，若，，则该数列的通项（）A． B． C． D．【答案】A【分析】据递推关系式可得，利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】因为，所以，即数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，故，故选：A16．已知数列满足，且，，则数列前6项的和为（）.A．115 B．118 C．120 D．128【答案】C【分析】由题干条件求得，得到，构造等比数列可得数列的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得数列前6项的和.【详解】，则，可得，可化为，有，得，则数列前6项的和为.故选：C第II卷（非选择题）二、填空题17．已知数列满足，则__________．【答案】【分析】先判断出是首项为2，公比为3的等比数列，即可得到，从而求出.【详解】因为，所以，由，所以为首项为2，公比为3的等比数列，所以，所以.故答案为：18．已知数列的各项均为正数，且，则数列的通项公式______．【答案】【分析】因式分解可得，结合，即得解【详解】由，得．又，所以数列的通项公式．故答案为：19．已知数列满足，且，则数列的通项公式______．【答案】【分析】利用条件构造数列，可得数列为等差数列即求.【详解】∵，∴，即．又，，∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，∴，∴数列的通项公式．故答案为：.20．若正项数列满足，则数列的通项公式是_______．【答案】【分析】根据给定条件将原等式变形成，再利用构造成基本数列的方法求解即得.【详解】在正项数列中，，则有，于是得，而，因此得：数列是公比为2的等比数列，则有，即，所以数列的通项公式是.故答案为：21．若数列满足，，，且，则______．【答案】15【分析】根据题意整理可得，所以为常数列，令即可得解.【详解】由可得，两边同除可得，故数列为常数列，所以，所以，解得.故答案为：1522．数列的前项和为，已知，，则___．【答案】【分析】由给定条件借助消去，求出即可得解.【详解】因，，而，则，于是得，又，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，从而有，即，，时，，而满足上式，所以，.故答案为：23．在数列中，，，，则________.【答案】460【分析】由已知可得，即数列是以为首项，为公比的等比数列，由此可求出的通项公式，得出所求.【详解】，，即,所以，则数列是以为首项，为公比的等比数列，，，.故答案为：460.三、解答题24．已知数列满足，.（1）若数列满足，求证：是等比数列；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由递推公式可得，即，即可得证；（2）由（1）可得，再利用分组求和法及等比数列求和公式计算可得；（1）解：因为，所以，又，，所以，即，，所以是以为首项，为公比的等比数列；（2）解：由（1）可得，即，所以所以25．已知数列的前项和为，且，数列满足，．求数列，的通项公式；【答案】，【分析】利用求通项公式，构造是等比数列，求通项公式即可；【详解】解：数列的前项和为，且，当时，．当时，，显然也适合上式．所以；因为数列满足，．所以，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列．故，所以.26．已知数列中，，．求数列的通项公式；【答案】【分析】首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出的通项公式；【详解】解：因为，所以令，则，解得，对两边同时除以，得，又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，所以；27．已知列满足，且，．（1）设，证明：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据题设递推式得，根据等差数列的定义，结论得证.（2）由（1）直接写出通项公式即可.【详解】（1）由题设知：，且，∴是首项、公差均为1的等差数列，又，则数列为等差数列，得证.（2）由（1）知：.28．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）已知，，设___________，求数列的通项公式.在①，②，③，这3个条件中，任选一个解答上述问题.注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分.【答案】（1）；（2）见解析.【分析】（1）根据等差数列的性质可求，从而可求的通项.（2）根据题设中的递推关系可得，从而可得为常数列，据此可求的通项，从而可求相应的的通项公式.【详解】（1）因为为等差数列，故，故，而，故即，所以等差数列的公差为1，所以.（2）因此，故，所以，所以为常数列，所以，所以，若选①，则；若选②，则；若选③，则.29．设数列满足，且，.（1）求，的值；（2）已知数列的通项公式是：，，中的一个，判断的通项公式，并求数列的前项和.【答案】（1），；（2），.【分析】（1）由递推公式得，结合已知是首项为3，公比为3的等比数列，写出的通项公式，进而求，的值；（2）由（1）得，再应用分组求和及等差、等比前n项和公式求.【详解】（1）∵，即且，∴是首项为3，公比为3的等比数列，即，∴，则，.（2）设，由（1）知，又.∴，.30．已知数列满足，，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）构造，结合已知条件可知是首项为2，公差为4的等差数列，写出通项公式，再应用累加法有，即可求的通项公式；（2）由（1）知：，易知在上恒成立，且数列单调递增，即可求其最小值.【详解】（1）令，则，而，∴是首项为2，公差为4的等差数列，即，∴，又，∴.（2）由题设，，，∴，当且仅当时等号成立，故且在上单调递增，又，∴当时，的最小值.任务二:中立模式(中档)1-50题一、单选题1．已知数列满足，记数列前项和为，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，利用累加法可求得，求得的范围，从而可得的范围，从而可得出答案.【详解】解：由可得，化简得，累加求和得，化简得，因为，所以，即，．，，所以，即．故选：B.2．已知数列满足，，设，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将递推关系式整理为，可知数列为等差数列，借助等差数列通项公式可整理求得，从而得到的通项公式；根据数列的单调性可采用分离变量法得到，结合导数的知识可求得，由此可得结果.【详解】由得：．，即，是公差为的等差数列．，，，．是递减数列，，，即，即．只需，令，，在上单调递增，在上单调递减．又，，当时，，即，，即实数的取值范围是．故选：B．3．已知在数列中，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；【详解】解:因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．故选：A4．设数列满足，若，且数列的前项和为，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据的递推关系求出的通项公式，代入的表达式中，求出的通项，即可求解的前项和【详解】由可得,∵,∴,则可得数列为常数列，即,∴∴,∴.故选:D5．数列满足，，若，且数列的前项和为，则（）A．64 B．80 C． D．【答案】C【分析】由已知可得，即数列是等差数列，由此求出，分别令可求出.【详解】数列满足，，则，可得数列是首项为1、公差为1的等差数列，即有，即为，则，则.故选：C.6．已知数列满足，且，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，从而得数列以为首项，2为公比的等比数列，根据，可化为，从而即可求得答案.【详解】由可得，若，则，与题中条件矛盾，故，所以，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以，故选：A．7．已知数列满足，，若，当时，的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将已知递推关系式变形可得，由此可知数列为等差数列，由等差数列通项公式可取得，进而得到；由可上下相消求得，结合解不等式可求得的最小值.【详解】由得：，，，即，数列是以为首项，为公差的等差数列，，则，，由得：，又，且，的最小值为.故选：C.8．数列各项均是正数，，，函数在点处的切线过点，则下列命题正确的个数是（）．①；②数列是等比数列；③数列是等比数列；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义得到，整理得到，利用构造法求出数列的通项，即可判断；【详解】解：由得，所以，∴（*），①，，，，∴，正确；②由（*）知，∴首项，，∴是等比数列，正确；③，首项，不符合等比数列的定义，错误；④由②对可知：，两边同除得，令，∴，．∴，，即数列是恒为0的常数列．∴，故错误．故选：B．9．已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【分析】由数列递推式得到是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入，当时，，且求得实数的取值范围.【详解】解：由得，则由，得，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，由，得，因为数列是单调递增数列，所以时，，，即，所以，又∵，，由，得，得，综上：实数的取值范围是.故选：C.10．已知数列满足，.若，则数列的通项公式（）A． B． C． D．【答案】C【分析】变形为可知数列是首项为2，公比为2的等比数列，求出后代入到可得结果.【详解】由，得，所以，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以.故选：C.11．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】转化条件为，结合等差数列的性质可得，即可得解.【详解】因为，所以，又，所以，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，即，所以，，，当时，，所以中最小的一项是.故选：B.12．已知数列，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得的值.【详解】由可得，，根据递推公式可得出，，，进而可知，对任意的，，在等式两边取对数可得，令，则，可得，则，所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，，即.故选：B.13．已知数列的前项和为，，且满足，若，，，则的最小值为（）A． B． C． D．0【答案】A【分析】转化条件为，由等差数列的定义及通项公式可得，求得满足的项后即可得解.【详解】因为，所以，又，所以数列是以为首项，公差为2的等差数列，所以，所以，令，解得，所以，其余各项均大于0，所以.故选：A.14．数列满足，那么的值为（）．A．4 B．12 C．18 D．32【答案】D【分析】首先根据题中所给的数列的递推公式，得到，从而得到数列是以为首项，以为公差的等差数列，进而写出的通项公式，将代入求得结果.【详解】由可得，即，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，所以，所以，故选：D.15．已知数列满足，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意可得即数列是以为首项，以2为公比的等比数列，从而得到，再用错位相减法求和，即可得解；【详解】解：由，所以，得.所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以.设的前项和为，则，两边同乘2，得，两个式子相减得，所以，所以.故选：A16．若数列的首项，且满足，则的值为（）A．1980 B．2000 C．2020 D．2021【答案】A【分析】由条件可得，从而数列是首项为21，公差为1的等差数列，由，可得，得出的通项公式，进一步得出答案.【详解】∵，∴，∴，所以数列是首项为21，公差为1的等差数列，∴，∴.，故选：A.17．设数列的前项和为，且，（），则的最小值为A． B． C． D．【答案】B【分析】利用数列的通项与前项和的关系,将转换为的递推公式,继而构造数列求出,再得到关于的表达式,进而根据函数的性质可得的增减性求解即可.【详解】由题,当时,,整理得,即数列是以1为首项,2为公差的等差数列.所以,故.所以,令函数,则.故数列是一个递增数列,当时,有最小值.故选：B18．已知数列的首项，则（）A．7268 B．5068 C．6398 D．4028【答案】C【分析】由得，所以构造数列为等差数列，算出，求出.【详解】易知，因为，所以，即，是以3为公差，以2为首项的等差数列.所以，即.故选：C19．已知在数列中，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】递推关系式乘以，再减去3，构造等比数列求通项公式.【详解】因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以，解得.故选：A.20．如果数列满足，，且，则这个数列的第10项等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设条件知，所以，由此能够得到为等差数列，从而得到第10项的值．【详解】解：，，，，即为等差数列．，，，为以为首项，为公差的等差数列．，．故选：．第II卷（非选择题）二、填空题21．已知数列满足，且，则的通项公式_______________________.【答案】【分析】由已知条件可得，从而有是以为首项，为公差的等差数列，进而可得，最后利用累加法及等差数列的前n项和公式即可求解.【详解】解：由,得，则，由得，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，，所以，当时，也适合上式，所以，故答案为：.22．设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）．若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为___________．【答案】2023【分析】根据递推公式，可知从第2项起是等差数列，可得，再根据累加法，可得，由此可得当时，，又，由此即可求出.【详解】当时，，，，，从第2项起是等差数列.又，，，，，当时，，（），当时，.又，.故答案为：202323．已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式___________.【答案】【分析】根据已知条件构造，可得是公比为的等比数列，即，再由累加法以及分组求和即可求解.【详解】因为，所以，因此，因为，，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，所以当时，，，，，，以上各式累加可得：，因为，所以；又符合上式，所以.故答案为：.24．设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）．若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为___________．【答案】2023【分析】根据递推公式，可知从第2项起是等差数列，可得，再根据累加法，可得，由此可得当时，，又，由此即可求出.【详解】当时，，，，，从第2项起是等差数列.又，，，，，当时，，（），当时，.又，.故答案为：2023.25．已知数列中，，设，求数列的通项公式________．【答案】【分析】首先判断是等比数列，并求得其通项公式，从而求得数列的通项公式.【详解】依题意，则，两边取倒数并化简得，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.故答案为：26．已知数列满足，，则数列的通项公式为______.【答案】【分析】将已知递推关系式变形为，令，采用倒数法可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得后，整理可得所求通项公式.【详解】由得：，设，则有，即，又，数列是以，为公差的等差数列，，，即，.故答案为：.27．若数列满足，，则数列的通项公式________.【答案】【分析】由，可得，设，即，先求出的通项公式，进而得到答案.【详解】由，可得，设则，则所以是以1为首项，3为公比的等比数列.则，则，所以故答案为：28．已知数列中，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是_________.【答案】2【分析】将已知等式化为，根据数列是首项为3公差为1的等差数列，可求得通项公式，将不等式化为恒成立，求出的最大值即可得解.【详解】因为时，，所以，而，所以数列是首项为3公差为1的等差数列，故，从而.又因为恒成立，即恒成立，所以.由得，得，所以，所以，即实数的最小值是2.故答案为：229．在数列中，，且，则______.(用含的式子表示)【答案】【分析】将条件变形为，即数列是首项为，公比为3的等比数列，然后可算出答案.【详解】因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以所以.故答案为：30．若数列满足，且，则________.【答案】【分析】由题意结合数列的递推公式，逐步运算即可得解.【详解】因为，所以，数列是等比数列，首项为，公比为，则通项，可得：，则.故答案为：.31．在数列中，，，是数列的前项和，则为___________.【答案】【分析】将化为，再由等比数列的定义和通项公式､求和公式，可得所求和.【详解】解：由，，可得，即，所以数列是以为首项､2为公差的等差数列，所以，由，.故答案为：.32．若数列满足，，则使得成立的最小正整数的值是______.【答案】【分析】根据递推关系式可证得数列为等比数列，根据等比数列通项公式求得，代入不等式，结合可求得结果.【详解】，，，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，由得：，即，，且，满足题意的最小正整数.故答案为：.33．已知数列满足，，则________.【答案】【分析】转化原式为，可得是以1为首项，1为公差的等差数列，即得解【详解】依题意，，故，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故，则.故答案为：34．已知数列{an}满足（n∈N*），且a2=6，则{an}的通项公式为_____.【答案】【分析】由题意令n=1可得a1，当时，转化条件可得，进而可得，即可得解.【详解】因为数列{an}满足（n∈N*），所以，①当n=1时，即a1=1，②当时，由可得，∴数列从第二项开始是常数列，又，∴，∴，又满足上式，∴.故答案为：.35．设数列满足，，，，则______.【答案】【分析】由题意可得，，化简整理得，令，可得，由此可得，从而可求出答案．【详解】解：∵，，∴当时，，即，∴，∴，令，则，且，∴，又，∴，即，∴，故答案为：．36．已知数列满足，，若，则数列的首项的取值范围为___________.【答案】【分析】利用构造法求得，由可得出，可得，进而可求得的取值范围.【详解】，.若，得，可知，此时，，数列是递减数列，不合乎题意；若，得，则数列是以为公比的等比数列，所以，，则，，且，即，整理得，，则，易知数列是单调递减数列，则，解得.因此，数列的首项的取值范围为.故答案为：.37．数列满足，（，），则______.【答案】【分析】利用项和转换，得到，故是以为首项，为公差的等差数列，可得，再借助，即得解.【详解】由于，即故是以为首项，为公差的等差数列由于故答案为：38．已知数列满足，，则通项公式_______.【答案】【分析】先取倒数可得,即,由等比数列的定义可得时,,即,再检验时是否符合即可【详解】由题,因为,所以,所以,当时,,所以,所以当时,,则,即,当时,,符合,所以,故答案为:39．数列满足：，，，令，数列的前项和为，则__________．【答案】【详解】由递推关系整理可得：，则：，据此可得：以上各式相加可得：，再次累加求通项可得：，当时该式也满足题意，综上可得：，则：40．数列满足,记,则数列的前项和________．【答案】【详解】试题分析：由得，且，所以数列构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以，从而得到，则，所以,,两式相减，得所以.三、解答题41．已知在数列中，，且.（1）求，，并证明数列是等比数列；（2）求的通项公式；（3）求的值.【答案】（1）-4，-15，证明见解析（2）（3）【分析】（1）代值计算出，，根据递推公式可得据，即可证明；（2）由（1）可知是以-2为首项，以3为公比的等比数列，即可求出通项公式；（3）分组求和，即可求出答案.（1）解：因为，且所以，，∵，∴，∵，∴，且，∴数列是等比数列，（2）解：由（1）可知是以为首项，以3为公比的等比数列，即，即；（3）解：.42．已知Sn＝4－an－，求an与Sn.【答案】an＝n·，n∈N*；Sn＝4－.【分析】由题得Sn＝4－an－，Sn－1＝4－an－1－，n≥2，两式相减化简即得an与Sn.【详解】∵Sn＝4－an－，∴Sn－1＝4－an－1－，n≥2，当n≥2时，Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－.∴an＝an－1＋∴，∴2nan－2n－1an－1＝2，∴{2nan}是等差数列，d＝2，首项为2a1.∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1，∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n.∴an＝n·，n∈N*，∴Sn＝4－an－＝4－n·－＝4－.43．设各项均为正数的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．（1）求数列的公差；（2）数列满足，且，求数列的通项公式．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据，，成等比数列可得，利用表示出和，解方程组可求得，结合可得结果；（2）由（1）可得，整理得，可知数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到结果.（1）（1）设等差数列的公差为，，，成等比数列，，即，又，解得：或；当时，，与矛盾，，即等差数列的公差；（2）由（1）得：，，即，，又，解得：，数列是以为首项，为公比的等比数列，，整理可得：.44．已知数列中，，.（1）求证：数列是等比数列；（2）数列满足的，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）将递推公式两边取倒数，即可得到，从而得到，即可得证；（2）由（1）可得，从而得到，再利用错位相减法求和即可得到，即可得到，对一切恒成立，再对分奇偶讨论，即可求出的取值范围；（1）解：由，得∴，所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列.（2）解：由（1）得，即.所以.两式相减得:，∴因为不等式对一切恒成立，所以，对一切恒成立，因为单调递增若为偶数，则，对一切恒成立，∴；若为奇数，则，对一切恒成立，∴，∴综上：.45．数列，的每一项都是正数，，，且，，成等差数列，，，成等比数列．（1）求数列，的值．（2）求数列，的通项公式．（3）记，记的前n项和为，证明对于正整数n都有成立．【答案】（1）24；36；（2），；（3）证明见解析.【分析】(1)由条件取特殊值求，；(2)由条件证明数列为等差数列，由此可求数列，的通项公式；(3)利用裂项相消法求，由此证明.【详解】解：（1）由得，又得，（2）∵，，成等差数列，∴①，又∵，，成等比数列，∴，②当时，③由②③代入①得，，∴是以为首项的等差数列，∴则，时，，经验证也符合，∴．（3）由（2）知，则成立．46．已知数列满足，其中.（1）求证是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，若对任意的恒成立，求p的最小值.【答案】（1）证明见解析，；（2）最小值为1.【分析】（1）根据，可得，从而可得，即可得出结论，再根据等差数列的通项即可求得数列的通项公式；（2），即，设，利用作差法证明数列单调递减，从而可得出答案.【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴是以1为首项，1为公差的等差数列.，∴.（2）解：∵，∴，即对任意的恒成立，而，设，∴，，∴，∴数列单调递减，∴当时，，∴.∴p的最小值为1.47．已知数列的前n项和为，满足.（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【分析】（1）由，化简得到，得出，利用等差数列的定义，得到数列表示首项为，公差为的等差数列，进而求得.（2）由题意，化简得到，结合裂项法，即可求解.【详解】（1）因为，可得，即，可得，即，又由，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，所以，所以.（2）由，则数列的前n项和：，即.48．已知数列{an}满足a1＝，Sn是{an}的前n项和，点(2Sn＋an，Sn＋1)在的图象上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若cn＝n，Tn为cn的前n项和，n∈N*，求Tn.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题意得到，进而证得数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而可以求出结果；（2）错位相减法求出数列的和即可.【详解】（1）∵点(2Sn＋an，Sn＋1)在的图象上，∴，∴.∵，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴，即,（2）∵,∴，①∴，②①－②得，∴.49．已知数列{an}满足a1a2…an＝1an．（1）求证数列{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设Tn＝a1a2……an，bn＝an2Tn2，证明：b1+b2+…+bn＜．【答案】（1）证明见解析，an＝；（2）证明见解析.【分析】（1）由题设得，进而构造与的关系式，利用等差数列的定义证明结论，然后求a1，即可得an；（2）由（1）求得Tn与bn，再利用放缩法与裂项相消法证明结论．【详解】（1）∵a1a2…an＝1an①，则a1a2…an+1＝1an+1②，∴两式相除得：，整理得，∴，则，∴，又n＝1时有a1＝1a1，解得：，∴，∴数列{}是以为首项，为公差的等差数列，∴，即.（2）由（1）得：Tn＝a1a2…an＝，∴bn＝，∴b1+b2+…+bn＜，得证．50．已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）设，若恒成立，求实数的取值范围；（3）设是数列的前项和，证明．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．【分析】（1）先化简递推公式，由等比数列的定义判断出，数列是公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式求出；（2）由（1）和条件求出，利用作差法判断出数列的单调性，可求出的最大值，再求实数的取值范围；（3）由（1）化简，利用裂项相消法求出，利用函数的单调性判断出的单调性，结合的取值范围求出的范围，即可证明结论．【详解】解：（1）由已知，可得，所以．所以数列是为首项，公比为的等比数列．则，所以．（2）由（1）知，所以，所以，．，所以，所以则当，，即，当，，即，是最大项且，．（3），又令，显然在时单调递减，所以，故而．任务三:邪恶模式(困难)1-20题一、单选题1．数列满足，，，设，记表示不超过的最大整数．设，若不等式，对恒成立，则实数的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先通过构造等比数列求出数列的通项公式，并进而用累加法求出的通项公式及的通项公式.最后利用裂项相消法将化简后取整，整理的最小值后得解【详解】由题意得：，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，又，，…，，，由累加法，；，，，，，，，，对恒成立，，则实数的最大值为.故选：C.2．已知数列满足，且，则数列前36项和为（）A．174 B．672 C．1494 D．5904【答案】B【分析】由条件可得，由此求出数列的通项，进而求得数列的通项，再利用分组求和方法即可计算作答.【详解】在数列中，，当时，，于是得数列是常数列，则，即，因，，则，因此，，，显然数列是等差数列，于是得，所以数列前36项和为672.故选：B3．已知数列，满足.若，的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据可知数列为等比数列，将代入后将其变形可知数列为等差数列，即可解得；将，代入即可解出答案.【详解】因为.所以数列为以1为首项，2为公比的等比数列.所以.，,所以数列为以3为首项，为公差的等差数列.所以..故选：C.4．已知数列由首项及递推关系确定.若为有穷数列，则称a为“坏数”.将所有“坏数”从小到大排成数列，若，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由得，所以数列为等差数列,则，求出数列，当分母为0，得，即时，数列为有穷数列，得出，即，又，，根据单调性可得答案.【详解】由，得则，即所以数列为等差数列,则则，所以当时,，满足条件.当分母为0，得，即时，数列为有穷数列.当时,数列为有穷数列.则当分母为0时，无意义，此时数列为有穷数列，此时对应的值为所以，由，则，即设，则所以在上单调递增.所以设设，则所以在上单调递增.所以所以选项C正确故选：C5．为数列的前n项和，，对任意大于2的正整数，有恒成立，则使得成立的正整数的最小值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】先由题设条件求出，得到：，整理得：，从而有数列是以3为首项，2为公差的等差数列，求出，再利用累加法求出，然后利用裂项相消法整理可得，解出的最小值．【详解】解：依题意知：当时有，，，，，，即，，即，，又，，，数列是以3为首项，2为公差的等差数列，，故，，，，，由上面的式子累加可得：，，，．由可得：，整理得，且，解得：．所以的最小值为6．故选：B．6．数列中，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简得到，记，得到，是以为公差的等差数列，计算得到答案.【详解】由，故，记，则，两边取倒数，得，所以是以为公差的等差数列，又，所以，所以，故.故选：C.7．设数列的前项和为，且是6和的等差中项．若对任意的，都有，则的最小值为（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据等差中项的概念列出关系式，再利用与之间的关系，得到关于的递推关系式，求得的表达式，再计算的取值范围，再计算的取值范围解出题目.【详解】由是6和的等差中项，得，令得，又，得，则是首项为，公比为的等比数列,得．若为奇数，；若为偶数，．而是关于的单调递增函数，并且，，故最小值是，故此题选B．8．数列满足，，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件求出数列通项，再由数列为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计算作答.【详解】数列中，，，则有，而，因此，数列是公比为2的等比数列，，即，则，因数列为单调递增数列，即，，则，，令，则，，当时，，当时，，于是得是数列的最大值的项，即当n=3时，取得最大值，从而得，所以的取值范围为.故选：C9．数列满足，则下列说法错误的是（）A．存在数列使得对任意正整数p，q都满足B．存在数列使得对任意正整数p，q都满足C．存在数列使得对任意正整数p，q都满足D．存在数列使得对任意正整数p，q都满足【答案】C【分析】依题设找到数列满足的递推关系，或举反例否定.【详解】由，得，令，，则当时，数列满足题设，所以A正确；由，得，令，则当时，数列满足题设，所以B正确；由，令，得，，，，令，得，，，则，，从而，与矛盾，所以C错误；由，得，令，则当时，数列满足题设，所以D正确.故选：C10．已知，又函数是上的奇函数，则数列的通项公式为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由在R上为奇函数，知，令，则，得到.由此能够求出数列

的通项公式.【详解】解:在R上为奇函数，故，代入得:当时，.令，则，上式即为:.当为偶数时：.当为奇数时：.综上所述，.故选：C.第II卷（非选择题）二、填空题11．两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为___________.【答案】【分析】依题意可得，即，即可得到的特征方程为，求出方程的根，则设数列的通项公式为，根据、得到方程组，求出，即可得到的通项公式；【详解】解：因为，，所以，所以，即，所以的特征方程为，解得特征根或，所以可设数列的通项公式为，因为，，所以，所以，解得，所以，所以；故答案为：12．已知数列满足，则________【答案】【分析】等价变形，换元设，得，两边取对数，得是首项，公比的等比数列，求出可解.【详解】，，，设，则，，两边取对数，，，所以是首项，公比的等比数列，，，故答案为：13．设是函数的极值点，数列满足，若表示不超过的最大整数，则__________．【答