现代数字信号处理(chap3确定性最小二乘)(修订版)

主讲教师:何松华教授联系方式:(0731)82687718

现代数字信号处理/确定性最小二乘滤波器第三章确定性最小二乘滤波器本章的教学内容正那么方程滤波器的渐近性最小二乘逆滤波器白化滤波器前言一、LP、HP、BP、BS滤波器设计(本科)设计特点：在频域上给出容限图，期望能逼近理想滤波器。滤波器设计与输入信号的特性关系不密切。以低通滤波器为例前言二、最正确滤波器的概念期望输出实际输出设计特点：在时域上，我们希望实际输出尽量逼近期望输出。与输入和输出信号的波形特性密切相关。输入和输出既可是随机信号，也可是确定信号。逼近准那么：最小均方误差、最小二乘h(k)g(k)y(k)f(k)以信道均衡为例?前言确定性最小二乘滤波器直接对样本数据{g(k)}进行处理,无须知道g(k)的统计特性,只对该样本现实最正确统计性最小二乘滤波器(最小均方误差)需要知道g(k)的二阶统计特性,对具有该二阶统计特性的随机信号的所有样本现实,从平均意义上最正确第4章前言滤波\预测\平滑的概念期望输出实际输出预测滤波器(k)y(k)f(j+k)j>0期望输出实际输出平滑滤波器(k)y(k)f(j+k)j<0gg第一节正那么方程一、最正确滤波的引出假设输入信号g为单位脉冲信号u(k)通过线性系统G(z)产生问题的解决似乎很容易,真有这么简单吗?第一节正那么方程在因果、稳定的要求下，H(z)无法物理实现的原因：

最优准那么：LMS准那么、最小二乘的零点不一定在单位圆内,如果不是最小相位的，那么就不是稳定的；对应的可能是一个因果稳定的IIR滤波器，而所设计的要求是一个有限阶的FIR滤波器。如果不是因果的(平滑滤波)，那么不是因果的物理可实现的解决方案：设计因果、稳定或FIR的最正确线性滤波第一节正那么方程二、正那么方程误差序列因果输入序列期望输出n阶FIR滤波器(不限定)表示平方可积(和)序列帕斯瓦尔定理误差总能量第一节正那么方程最小二乘准那么(LS:Least-Square)要求h(n)因果、FIR积分的乘积变成二维积分，采用两个积分变量第一节正那么方程与h无关的常数项：期望输出信号的能量

线性项的系数：输入与输出的互相关函数

输入序列是因果的卷积定义？第一节正那么方程二次项的系数输入信号自相关

积分变量置换积分变量置换参见前面求和表达式第一节正那么方程Toeplitz矩阵(n+1)(n+1)维的输入自相关矩阵，第i行第j列元素值为r(|i-j|)n+1维滤波矢量令n+1维输入输出互相关矢量n阶滤波器第一节正那么方程上式用矢量、矩阵形式表示为练习:反过来验证第一节正那么方程标量V对矢量h求偏导零矢量当R为对称矩阵时下面介绍另外一种相对复杂的推导方法(展开法)第一节正那么方程估计误差序列与输入序列(l=0)及其平移序列正交参见r()、q()的定义及性质第一节正那么方程最小二乘滤波器的正那么方程第一节正那么方程三、误差分析即：期望输出能量一定大于最小二乘滤波器实际输出能量。类似于勾股定理。误差能量等于期望输出信号能量-实际输出信号能量练习:根据定义以及可别离的二维求和性质第一节正那么方程相对误差能量：期望输出f与实际输出y

完全一致期望输出f与实际输出y完全不一致输入与期望输出完全不相关。第一节正那么方程输入序列长度为2情况下的举例，大于2时，引入超平面子空间概念期望输出与输入不相关期望输出与输入完全相关为输入的线性组合，必在输入信号构成的子空间内窄带干扰信号y(k)有长的相关长度，自相关在范围上有较大的值；干扰数目、频率等参数未知。例：窄带干扰(NBI)消除s(k)、y(k)和v(k)相互之间不相关；热噪声v(k)是白色的；有用信号s(k)是宽带的，因此有短的相关长度，即

第一节正那么方程超宽带雷达(探地、救灾)信号处理,如何根据观测信号x(k)得到回波信号s(k)的最正确估计,或如何消除干扰y(k)例如各种窄带的通信信号由于y(k)和x(k)是相关的，可以通过x(k)用最正确线性估计方法得到一个对NBI的估计：如果

那么第一节正那么方程线性预测器可以利用最小二乘滤波器来实现。滤波器期望输出为y(k)，输入为x(k)

问题：只有观测数据

x(k)，y(k)不可得。序列的卷积如何计算互相关?可计算自相关?思路：最正确滤波器的设计需要的是期望输出与输入之间的互相关函数{q(m)|m=0,1,…,n},而不是期望输出f(k);进一步的问题是:依然无法计算y(k)与x(k)的互相关思考：x(k)由s(k)、y(k)、v(k)三局部组成，s(k)的相关长度小于D，y(k)的相关长度大于D，v(k)相关长度为零，那么x(k)中的s(k)与x(k-D)中的s(k-D)、y(k-D)、v(k-D)三局部都不相关;同理,x(k)中的v(k)也与x(k-D)不相关,那么x(k)与x(k-D)的自相关就是期望输出y(k)与输入x(k-D)的互相关第一节正那么方程思路：以x(k-D)作为输入，以y(k)作为期望输出；那么y(k)与x(k-D)的互相关函数是可计算的[转化为x(k)的自相关]第一节正那么方程Z-D前向线性预测+-x(k)e(k)性质:证:第一节正那么方程m0时，与互不相关，那么与互不相关，同理，与互不相关，那么y(k)未知情况下依然可以通过x(k)及其延时序列x1(k)估计y(k)与输入序列的互相关函数第一节正那么方程设x(k)的实际长度范围为{x(k)|k=0,1,…,N-1}，滤波器的长度范围为{h(k)|k=0,1,…,n}(n<N-D)；计算构造如下矢量与矩阵第一节正那么方程那么有：去除窄带干扰后的信号为第一节正那么方程举例采样间隔0.5ns第一节正那么方程第一节正那么方程14个干扰频率课程上机实验4：确定性最小二乘滤波器的实现上述举例中，其他参数不变，干扰信号参数设置为A1=A2=…=A14=2;φ1=φ2=…=φ14=0

1=0.06,

2=0.10,

3=0.18,

4=0.21

5=0.30,

6=0.48,

7=0.52,

8=0.57

9=0.61,

10=0.64,

11=0.67,

12=0.70

13=0.78,

14=0.94采用Matlab语言编程(1)参照实验3的方法产生均值为0，根方差为0.1的正态白噪声第一节正那么方程数据点数从实验3的100000变成200(2)按设定的参数产生干扰信号数据第一节正那么方程针对Matlab的数组下标只能从1开始的调整(3)k0=96，产生信号数据第一节正那么方程画出以及的波形图(4)画出含有噪声以及干扰的合成信号x(k)的波形图(5)给定参数D=16，n=12,N=200；求FIR线性最小二乘滤波器{h(k)|k=1,2,…,n+1}数组下标从1开始,对应实际的h(0)到h(n)第一节正那么方程第一节正那么方程(6)利用线性最小二乘滤波器对观测数据{x(k)}进行滤波处理，得到窄带干扰信号序列的估计值序列(7)利用滤波器的输出数据序列对观测信号中的干扰信号进行对消处理；画出对消后信号的波形图；观察其与的相似性及差异性利用Matlab的矩阵运算函数第二节最小二乘滤波器的渐近性输入序列，因果，不一定最小相位期望输出序列，不一定因果因果IIR滤波器(n

)下面讨论最小二乘滤波器的阶n足够大或趋于的情况问题：n时，V(h)可以下降到多少？是否可下降到0？期望输出实际输出y(k)数据平滑应用第二节最小二乘滤波器的渐近性一、最优因果IIRLS滤波器的求解问题最小相位假设输入信号g(k)是因果、稳定的但非最小相位的，G(z)存在一个单位圆外的零点1/z0作等值变换矩阵求解?不行问题转化:序列所对应的全通函数序列的概念第二节滤波器的渐近性最小相位全通函数练习3.1：令z=ej

,z0=|z0|ejθ利用复数运算性质证明对于G(z)有多个单位圆外零点的情况，采用同样方法可以得到最小相位全通函数稳定因果第二节滤波器的渐近性全通函数G(z)的所有单位圆外的零点设全通函数对应的序列为因果的输入序列g(k)的情况下,d(k)也是的序列总能量分子分母的阶相同第二节滤波器的渐近性现实情况下，要求理想情况下相当于以d(k)为输入,f(k)为期望输出第二节滤波器的渐近性Rd、h0、qd为无穷阶的即有的解h0满足根据功率谱定义以及全通函数的性质即

Rd的第m行第l列元素值第二节滤波器的渐近性二、误差分析根据第一节(三)定义i<0时，d(i)=0第二节滤波器的渐近性变量置换：-mm全通函数性质第二节滤波器的渐近性非最小相位误差非因果误差(1)如果期望输出是因果的，那么

(2)如果输入序列是最小相位的，那么D(z)=1，d(k)=δ(k)

可别离的二维积分化成两个积分的乘积第二节滤波器的渐近性对于m1，k0，结论：(1)如果期望输出序列是因果的，输入序列是最小相位的，那么当最小二乘滤波器的阶n足够大时，滤波器的输出可以逼近期望输出，误差能量可以到达任意小。(2)如果期望输出序列是非因果的，输入序列是最小相位的，那么当最小二乘滤波器的阶n足够大时，滤波器的输出可以逼近期望输出序列的因果局部第三节最小二乘逆滤波器一、逆滤波器引出n阶FIR滤波器二、正那么方程输入序列为因果稳定的期望输出为单位脉冲函数第三节最小二乘逆滤波器第三节最小二乘逆滤波器三、渐近方程全通序列的性质第三节最小二乘逆滤波器例1因果非最小相位滤波器求逆试设计一个n阶的FIR滤波器，满足解：实数第三节最小二乘逆滤波器对于此特殊情况,不一定要通过矩阵求逆解方程组第0个方程第k个方程第n个方程第三节最小二乘逆滤波器通解差分方程有两个根根据?信号与系统?理论，差分方程的解通式考虑到所有方程满足第三节最小二乘逆滤波器解出系数c1、c2

练习3.2：将上式代入方程组中的第1,n个方程求得：第三节最小二乘逆滤波器渐近性：全通函数第三节最小二乘逆滤波器也可利用渐近性进行误差能量求解：根据Z变换性质例2解：(1)L=12第三节最小二乘逆滤波器试设计一个10阶的FIR滤波器，使得(1)L=12；(2)L=0练习3.3练习3.3续g(k)非最小相位序列10阶滤波器,只须计算0至10的q(m),虽然q(12)=1/4第三节最小二乘逆滤波器={-2.289×10-4,0,-5.722×10-5,0,-1.431×10-5,0,-3.576×10-6,0,-8.941×10-7,0,-2.236×10-7,0,1}(2)L=0练习3.3续解正那么方程组练习3.3续：计算两个有限长度序列的卷积k=12时最大误差很小第三节最小二乘逆滤波器={1/16,0,-0.234,0,-0.0586,0,-0.0146,0,-0.00366,0,-0.00092,0,-0.00023}h={1/4,0,6.25×10-2,0,-1.562×10-2,0,3.904×10-3,0,9.724×10-4,0,2.288×10-4}y(k)与(k)之间的误差很大两种情况的比较输入期望输出群时延为正，用因果滤波器实现时，误差较小练习3.3续第三节最小二乘逆滤波器例3输入:期望输出:求四阶解：输入期望输出群时延为负，且输入序列为非最小相位的，用因果滤波器[响应在输入之后]无法实现相位的补偿，误差较大显然，输入为最小相位的，输出为因果的；n足够大时，存在精确的解第四节确定性白化滤波器生成模型白化模型一、白化滤波器引出假设对H(z)=1/G(z)无任何限制，平稳随机信号通过该系统后一定能得到完全白化；假设H(z)为因果、稳定IIR系统，那么G(z)必须为最小相位才能得到完全白化；假设要求H(z)为n阶FIR系统，此时H(z)是G(z)的n阶最小二乘逆滤波器,不一定能完全白化。G(z)δ(n)nx不考虑物理可实现性1/G(z)nxδ(n)二、第一种解法——逆滤波器第四节确定性白化滤波器正那么方程三、第二种解法—白化滤波器[与逆滤波器本质上