线性二次型最优控制

#/107.2应用Matlab求解二次型最优控制在Matlab中，函数［K,P,E］二lqr(A,B,Q,R)(7-11)给出了相应二次型最用控制问题的解。函数输出变量中的K是最优反馈增益矩阵，P是Riccati方程(7-7)的对称正定解矩阵，E是最优闭环系统的极点。例7-2(P例7.2.2)对系统X1902例7-2(P例7.2.2)对系统X1902IX3丿'01000135-27-9x)1X2

人X3丿状态反馈控制器u(t)二-Kx(t)，使系统性能指标J=Is0u，XTIx+u2=QR=1设计一个最优dt最小(Q为3阶单位矩阵)。解：系统为能控标准型，存在状态反馈控制器，执行以下m-文件A二［010;001;-35-27-9］；B二［0;0;1］；Q二［100;010;001］；R二［1］；［K,P,E］二lqr(A,B,Q,R)可得K二0.01430.11070.0676P=4.26252.49570.01432.49572.81500.11070.01430.11070.0676E=-5.0958-1.9859+1.7110i-1.9859-1.7110i因此，系统的最优状态反馈控制器为u二-［0.01430.11070.0676］x检验最优闭环系统对初始状态x=［100］t的响应，执行以下m-文件0

A二[010;001;-35-27-9]；B二[0；0；1];K二[0.01430.11070.0676]sys=ss(A-B*K,eye(3),eye(3),eye(3))；t=0:0.01:8x=initial(sys,[1;0;0],t)x1二[100]*x'；x2二[010]*x'；x3二[001]*x'；subplot(2,2,1)；plot(t,x1)；gridxlabel('t(sec)')；ylabel('x1')subplot(2,2,2)；plot(t,x2)；gridxlabel('t(sec)')；ylabel('x2')subplot(2,2,3)；plot(t,x3)；gridxlabel('t(sec)')；ylabel('x3')得到如图响应曲线t(SCG)0246E例7-3（嚅例723得到如图响应曲线t(SCG)0246E例7-3（嚅例723）1系统x=02X3丿I001-31x+2人X3丿u,y=(10)x,其中x=(xxx)T=(yyy)T，设r为参考输入，控制信号123u=k(r-x)-(kx+kx)=kr-Kx(如图所示)。为了获得快速响应，加权系数1122331〔10000]q.>>R，性能指标为Ji®xT010x+0.01u2dtii0I001JR=Q求r=0条件下系统的最优状态反馈控制器u(t)二-Kx(t)，使系统性能指标最小,并检验最优闭环系统在r=1(t)的输出相应。解：系统为能控标准型，存在状态反馈控制器，当r=0，执行以下m-文件A二［010;001;0-2-3］；B二［0；0；1］；Q二［10000;010;001］；R二［0.01］；［K,P,E］二lqr(A,B,Q,R)可得K二100.000053.120011.6711u二-［10053.1211.6711］x最优闭环系统的状态方程为x=Ax+Bu=Ax+B(-Kx+kr)=(A-BK)x+Bkr11输出方程为y二Cx二［100］x执行以下m-文件检验r二1(t)的输出响应A二［010;001;0-2-3］；B二［0;0;1］；C二［100］；D二［0］；K二—［100.000053.120011.6711］；k1=K(1)；k2=K(2)；k3=K(3)；%闭环系统状态空间模型参数AA二A-B*K；BB二B*k1；CC=C；DD二D；t=0:0.01:5［y，x，t］=step(AA,BB,CC,DD,1,t)；plot(t,y)gridxlabel('t(sec)')；ylabel('outputy=x1')7.3离散时间系统的线性二次型最优控制考虑离散自治系统x(k+1)二Ax冋(7-12)1系统的性能指标为J二—兰xt(k)Qx(k)(7-13)Ik^01类似于连续系统参数优化，根据Lyapunov稳定性理论，对给定的对称正定矩阵Q,由(7-12)的稳定性，可得离散时间Lyapunov方程

7-14)AtPA-P+Q二7-14)存在一个正定对称解矩阵p，因此V(x(k))=xt(k)Px(k)(7-15)是系统(7-12)的一个Lyapunov函数。它沿系统(7-12)任意轨迹的差分AV(x(k))二V(x(k+1))—V(x(k))二xt(k+1)Px(k+1)—xt(k)Px(k)=xt(k)AtPAx(k)—xt(k)Px(k)=xt(k)[AtPA—P]x(k)利用(7-14)可得V(x(k+1))—V(x(k))=—xt(k)Qx(k)(7-16)(7-16)两边兰并利用系统的渐近稳定性可得k=o八2另xT(k)Qx(k)二2另[V(x(k))-V(x(k+1))]k=0k=0—(7⑸>[xt(k)Px(k)—xt(k+1)Px(k+1)](中间相抵消)2k=0J=-xT(0)Px(0)(7-17)这表明，只要能从(7-14)求得正定对称矩阵P，代入(7-17)就可以求得性能指标J,而无须求无穷级数(7-13)。例7-4(P]95例7-4(P]95例7.3.1)系统x(k+1)=1)x(k)，-1丿⑴x(0)=10丿—0.25<a<0，确定参数a，使JxT(k)Qx(k)，Q=I最小。2k=0解：系统极点是s=^,-1+a，因为-0.25<a<0，系统的两个极点在单位圆内,1,2系统是渐近稳定的，系统性能指标为J=-xT(0)Px(0)2由离散时间的Lyapunov方程解出对称正定的P(1*ap11p12p11P](1*ap11p12p11P]12p22IP12P22丿(1+100)=01丿可得2ap+a2p+1=01222

p+(a-2)p-ap=0111222p-2p+1=01112三个方程解三个未知数2+a2a—1a(2+a)a(2+a)a—13a(2+a)a(2+a力对-0.25<a<0范围内的参数值，P>0，因此系统的性能指标为J=-XT(0)Px(0)J=-XT(0)Px(0)=-(1220)p11Ip12p12p22m1=一p2112+a2

—2a(2+a)dJ=3dJ=3—(a—1)2dta2(2+a)2对于—0.25<a<0，>0,表明J单调上升，于是J在a=—0.25时达到最小值。dtmin2+min2+0.2520.5(2-0.25)=2.3571以下进一步讨论离散系统的线性二次型最优控制问题。x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)(7-18)二次型性能指标为J=丄无[xt(k)Qx(k)+ut(k)Ru(k)](7-19)2k=0Q、R均为对称正定矩阵。希望设计一个线性状态反馈控制器使(7-19)最小u(k)=—Kx(k)(7-20)类似可以得到，若(7-18)能控，则线性二次型最优控制问题有解，且最优控制器为：u(器为：u(k)=-(R+BtPB)-1BTPAx(k)7-21)其中P满足离散时间的Riccati方程：AtPA-AtPB(R+BtPB)-1BtPA-P+Q=0(7-22)例7-5(P例7.3.2)系统x(k+1)=x(k)+u(k)，求最优状态反馈控制器，使性196能指标J=-艺［x2(k)+u2(k)］最小。k=0解：系统A=1，B=1，且Q=1，R=1Riccati方程为：一p(1+p)-1p+1=0fp2-p-1=0该方程的解为：p=—(1+<5)，由于P是正定的，故取p=—(1+J5)^2^2最优状态反馈控制器为：u(k)=一(1+p)-ipx(k)=-1-—(1+同Xu(k)=一(1+p)-ipx(k)=-最优闭环系统为：