陕西省2024届高三上学期第一次联考理科数学试题

高三联考数学（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ类（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数，导数。第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设命题，，则（）A.命题p是真命题，：，B.命题p是真命题，：，C.命题p是假命题，：，D.命题p是假命题，：，3.函数的最小值是（）A. B. C. D.4.若，，，则（）A. B. C. D.5.已知函数，其导函数的图象如图所示，则（）A.有2个极值点 B.在处取得极小值C.有极大值，没有极小值 D.在上单调递减6.已知甲的年龄大于乙的年龄，则“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件7.车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱.根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式.若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍，且3级果的市场销售单价为60元/千克，则6级果的市场销售单价最接近（）（参考数据：，，，）（）A.130元/千克 B.160元/千克 C.170元/千克 D.180元/千克8.已知函数，且，则（）A. B. C.1 D.49.已知命题p：，；命题q：若，则，.下列命题是真命题的是（）A. B. C. D.10.已知函数的定义域是，其导函数为，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.11.已知，，则（）A. B.C. D.12.定义在上的函数的导函数为，且.若，，，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数的定义域为，则函数的定义域是______.14.某校有62名同学参加数学、物理、化学竞赛，若同时参加数学、物理竞赛的同学有21名.同时参加数学、化学竞赛的同学有16名，同时参加物理、化学竞赛的同学有18名.且没有同学同时参加数学、物理、化学竞赛，则该校只参加一项竞赛的同学有______名.15.若命题“，”是真命题，则a的取值范围是______.16.已知函数的定义域为，，且，则______.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求a的取值范围.18.（12分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求的解析式；（2）求不等式的解集.19.（12分）已知函数.（1）求的图象在处的切线方程；（2）讨论函数的零点个数.20.（12分）某企业计划对甲、乙两个项目共投资200万元，且每个项目至少投资10万元.依据前期市场调研可知，甲项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式；乙项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式.设对甲项目投资x万元，两个项目的总收益为（单位：万元），且当对甲项目投资30万元时，甲项目的收益为180万元，乙项目的收益为120万元.（1）求的解析式.（2）试问如何安排甲、乙这两个项目的投资金额，才能使总收益最大?并求出的最大值.21.（12分）已知函数.（1）求的定义域；（2）证明：在区间上存在最大值的充要条件是.22（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.高三联考数学参考答案（理科）1.B由题意可得，则.2.C因为，所以命题p是假命题.：，.3.D由题意可得.由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故.4.B，，，因为，所以.5.C由图可知在上单调递增，在上单调递减，则有一个极大值，没有极小值，故A，B，D错误，C正确.6.B设甲、乙、丙的年龄分别为x，y，z，根据已知条件得.若丙的年龄大于乙的年龄，则，则，因为，所以未必成立.若乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍，则，则，即，所以丙的年龄大于乙的年龄.故“丙的年龄大于乙的年龄”是“乙和丙的年龄之和大于甲的年龄的两倍”的必要不充分条件.7.C由题意可知，解得，由，可得（元/千克），最接近170元/千克.8.A设，则，故是奇函数，从而，即，即.9.B设，则.由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减，从而在上的最小值为，故命题p是假命题.由，，得，则命题q是假命题，故是真命题.10.D设，则.因为，所以，则是上的增函数.不等式等价于，即，则解得.11.C由题意可得，，则，且，即.因为，所以，则A错误.因为，所以，即，则B错误..因为，所以，即，则C正确.因为，所以，即，则D错误.12.B设函数，则，所以在上单调递减.因为，所以，，则，即，因为，所以，所以，因为的符号不确定，所以未必成立.因为，所以.由，得，即.13.由题意可得解得，即函数的定义域是.14.7如图，设该校只参加一项竞赛的同学有x名，则，解得.15.由，得.当时，.当时，，则.因为“，”是真命题，所以.因为，所以.16.2023令，则，.17.解：由题意可得.……2分（1）当时，，……3分则.……5分（2）当时，，解得.……7分∴当时，解得……9分综上，a的取值范围是.……10分18.解：（1）当时，，则.……1分因为是定义在上的奇函数，所以.……3分当时，，……4分故……5分（2）当时，不等式等价于，即，即，解得；……8分当时，不等式等价于，即，解得.……11分故不等式的解集为.……12分19.解：（1）由题意可得，……1分则.……2分因为，……3分所以所求切线方程为，即.……4分（2）由题意可得.由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减.……5分当时，，当时，，且，.……6分当，即时，有且仅有1个零点；……7分当，即时，有2个零点；……8分当即时，有3个零点；……9分当，即时，有2个零点；……10分当，即时，有且仅有1个零点.……11分综上，当或时，有且仅有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点.……12分20.解：（1）由题意可得，解得.……2分当对甲项目投资30万元时，对乙项目投资170万元，则，解得.……4分设对甲项目的投资金额为x万元，则对乙项目的投资金额为万元，则解得.……5分故.……7分（2）设，.……8分当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，则.……10分故，即对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元，才能使总收益取得最大值453.6万元.……12分21.（1）解：由……1分得，……2分所以的定义域为.……3分（2）证明：，……5分因为，所以.……6分当时，单调递增；当时，单调递减.……7分先证明充分性.若，则，……8分所以在区间上存在最大值，且最大值为或，所以充分性成立.……9分再证明必要性.若在区间上存在最大值，则在区间上可能先增后减，还可能单调递减，……10分则或，又，所以，所以必要性成立.……11分综上，在区间上存在最大值的充要条件是.……12分22.（1）解：由题意可得.……1分当时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增；……3分当时，由，得，由，得，则在上单调