443不同函数增长的差异

第四章指数函数与对数函数443不同函数增长的差异学习目标UEIMUBIAO1了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型2了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义3能根据具体问题选择合适函数模型内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点三种常见函数模型的增长差异性质

函数y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性__________________________________图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随x的增大匀速上升增长速度y＝ax的增长

y＝kx的增长，y＝kx的增长

y＝logax的增长增长后果会存在一个x0，当x>x0时，有___________单调递增单调递增单调递增快于快于a>>loga思考在区间0，＋∞上，当a>1，n>0时，是否总有loga<n<a成立？答案不是，但总存在0，使得当a>1，n>0，>0时，loga<n<a成立每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值不为0，则y是的一次函数＝log2增长的速度越来越慢，使得当>m时，>1004由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意∈R恒有a>2a>1

思考辨析判断正误SIAOBIANIPANDUANHENGWU×√×√2题型探究PARTTWO例11下列函数中，增长速度最快的是Ay＝2020 By＝2020Cy＝log2020 Dy＝2020一、几个函数模型增长差异的比较解析比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快√2四个变量y1，y2，y3，y4随变量变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于呈指数型函数变化的变量是________y2解析以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象图略，可知变量y2关于呈指数型函数变化反思感悟常见的函数模型及增长特点1线性函数模型线性函数模型y＝＋b>0的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变2指数函数模型指数函数模型y＝aa>1的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”3对数函数模型对数函数模型y＝logaa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓可称为“对数增长”跟踪训练1下列函数中，增长速度越来越慢的是Ay＝6 By＝log6Cy＝2 Dy＝6解析D中一次函数的增长速度不变，A，C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意√例2某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，＝f＝a2＋b＋ca，b，c均为待定系数，∈N*或函数y＝g＝pq＋rp，q，r均为待定系数，∈N*，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？二、函数模型的选择问题所以y＝f＝－52＋35＋70 ①同理y＝g＝－80×＋140 ②再将＝4分别代入①式与②式得f4＝－5×42＋35×4＋70＝130t，g4＝－80×054＋140＝135t与f4相比，g4在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g＝pq＋r作为模拟函数较好反思感悟建立函数模型应遵循的三个原则1简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型2可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论3反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题跟踪训练2某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为02万公顷、04万公顷和076万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数的函数关系式大致可以是√解析对于A，＝1,2时，符合题意，＝3时，y＝06，与076相差016；对于B，＝1时，y＝03；＝2时，y＝08；＝3时，y＝15，相差较大，不符合题意；对于C，＝1,2时，符合题意，＝3时，y＝08，与076相差004，与A比较，更符合题意；对于D，＝1时，y＝02；＝2时，y＝045；＝3时，y≈06<07，相差较大，不符合题意三、指数函数、对数函数与幂函数模型的比较例3函数f＝2和g＝1，y1，B2，y2，且1<21请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；解C1对应的函数为g＝3，C2对应的函数为f＝22结合函数图象，判断f6，g6，f2020，g2020的大小解因为f1>g1，f2<g2，f9<g9，f10>g10，所以1<1<2,9<2<10，所以1<6<2,2020>2，从图象上可以看出，当1<<2时，f<g，所以f6<g6当>2时，f>g，所以f2020>g2020又因为g2020>g6，所以f2020>g2020>g6>f6反思感悟指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法1根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断2根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数跟踪训练3甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fii＝1,2,3,4关于时间≥0的函数关系式分别为f1＝2－1，f2＝2，f3＝，f4＝log2＋1有以下结论：①当>1时，甲走在最前面；②当>1时，乙走在最前面；③当0<<1时，丁走在最前面，当>1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲其中，正确结论的序号为___________③④⑤解析四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确3随堂演练PARTTHREE1下列函数中，在0，＋∞上增长速度最快的是Ay＝2 By＝log2Cy＝2Dy＝212345√则，y的函数关系与下列哪类函数最接近？其中a，b为待定系数Ay＝a＋b By＝a＋bCy＝a2＋b Dy＝a＋123452在一次数学试验中，采集到如下一组数据：√x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02解析在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋b地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2v1<v2，则下图中能正确反映甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系的是12345√12345解析把＝1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好4现测得，y的两组对应值分别为1,2，2,5，现有两个待选模型：甲：y＝2＋1，乙：y＝3－1，若又测得，y的一组对应值为3,102，则应选用________作为函数模型甲12345解析根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3000×，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把＝7代入，即可求得y＝3000×1067≈45005随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入约为_______元精确到个位附：1066≈142,1067≈150,1068≈1594500课堂小结ETANGIAOJIE1知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型2方法归纳：转化法3常见误区：不理解三种函数增长的差异4课时对点练PARTFOUR1多选当a>1时，下列结论正确的有＝a，当a越大时，其函数值增长越快＝a，当a越小时，其函数值增长越快＝loga，当a越大时，其函数值增长越快＝loga，当a越小时，其函数值增长越快基础巩固12345678910111213141516√解析结合指数函数及对数函数的图象可知AD正确√则关于分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为Ay1，y2，y3 By2，y1，y3Cy3，y2，y1 Dy1，y3，y21，y2，y3随着变量的变化情况如下表：123456789111213141516√10x1357911y1525456585105y2529245218919685177149y356.106.616.957.27.4解析通过指数型函数、对数型函数、直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，y1随的变化符合此规律12345678911121314151610123456789111213141516√103小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是12345678911121314151610解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B4如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水流量一定，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是123456789111213141516√10解析开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B图象相吻合5渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t分满足的函数关系式为ht＝m·at若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度已知lg2≈03，结果取整数A33分钟 B40分钟C43分钟 D50分钟√1234567891112131415161012345678911121314151610解得a＝

，m＝0.05，故h(t)＝0.05×，令h(t)＝0.05×＝1，得

＝20，＝2与函数y＝ln在区间0，＋∞上增长较快的一个是______12345678911121314151610y＝2解析当增加时，比ln增长要快，∴2要比ln增长的要快＝3，g＝，当∈R时，f与g的大小关系为__________12345678911121314151610f>g解析在同一直角坐标系中画出函数f＝3，g＝的图象，如图所示，由于函数f＝3的图象在函数g＝图象的上方，则f>g123456789111213141516108生活经验告诉我们，当水注入容器设单位时间内进水量相同时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应_______；B对应________；C对应________；D对应________241312345678911121314151610解析A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与4对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与1对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与3对应，D容器慢，与2对应1234567891112131415169同一坐标系中，画出函数y＝＋5≥0和y＝2≥0的图象，并比较当≥0时，＋5与2的大小10解函数图象如图所示，根据函数y＝＋5与y＝2的图象增长差异得：当0≤<3时，＋5>2，当＝3时，＋5＝2，当>3时，＋5<21234567891112131415161010某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为514元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？12345678911121314151610解A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；通过以上分析，应购买B种债券综合运用123456789111213141516√10＝2－2的图象大致是解析分别画出y＝2，y＝2的图象，由图象可知图略，有3个交点，∴函数y＝2－2的图象与轴有3个交点，故排除B，C；当<－1时，y<0，故排除D12近几年由于北京房价的上涨，引起二手房市场交易火爆，房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2013年以180万的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2023年，这套房子的价格y万元与价格年膨胀率之间的函数关系式是______________12345678911121314151610解析1年后的价格为180＋180·＝1801＋万元，2年后的价格为1801＋＋1801＋·＝1801＋·1＋＝1801＋2万元，由此可推得10年后的价格为1801＋10万元y＝1801＋101234567891112131415161013若已知16<<20，利用图象可判断出和log2的大小关系为________>log2x解析作出f(x)＝

和g(x)＝log2x的图象，如图所示：由图象可知，在(0,4)内，

>log2x；x＝4或x＝16时，

＝log2x；在(4,16)内，

<log2x；在(16,20)