甘肃省中学八级数学下册《分式线性映射》课件-北师大版

甘肃省中学八级数学下册《分式线性映射》课件-北师大版第一页，共30页。6.2.1分式线性映射的定义及几何意义由函数

所确定的映射称为分式线性映射，也称变换。不是恒等映射的分式线性映射至多只有2个不动点。返回第一页2第二页，共30页。分式线性在扩充上加如下补充定义：

若在处，定义分式线性的逆映射：学.科.网也是分式线性映射。分式线性映射是由下列3种特殊映射复合而成：第二页3第三页，共30页。，是一个平移映射。(1)如下图所示：图（二）第三页4第四页，共30页。(2)是一个旋转与伸缩映射。若设那么即z先转一个角度

再将

伸长(或缩短)见图：

倍，得到的。图（三）第四页5第五页，共30页。(3),是一个反演映射，见下图：图（四）第五页6第六页，共30页。由定理2，可见映射

6.2.2保角性对应的，且具有保角性。因此，有如下定理：是一一定理1分式线性映射在扩充复平面是一一对应返回的，且具保角性。

第六页7第七页，共30页。将圆周映射成圆周，这是因为分式线性由平移、如将直线看做半径为的圆，则分式线性映射定理2分式线性映射将扩充复平面映射成扩充复平面上的圆周，具有保圆性。

6.2.3保圆性

上的圆周伸缩及反演等3种映射复合而成，可以验证这3种映射都是将圆周映射成为圆周的，所以有：第七页8第八页，共30页。6.2.4保对称性分式线性映射还有所谓保持对称点不变的性质，我们知道对称点的一个很重要特性，即

是关于圆周

是经过

的一对对称点的充要条件的任何圆周与

正交。见下图:

返回图（五）即保对称性。第八页9第九页，共30页。综上所述，再由分式线性映射的保角性，有：

定理1设点

是关于圆周C一对对称点，

那么在分式线性映射下，它们的像点与

也是关于C的像曲线

的一对对称点.第九页10第十页，共30页。6.2.5保交比性若

至少了3点是不相同的，称

为扩充复平面中的4个点，为这4点的交比。返回第十页11第十一页，共30页。可以证明：在分式线性映射下，有：即交比在分式线性下是不变的，这就是所谓保交比性。

定理4在分式线性映射下，4点的交比不变。

第十一页12第十二页，共30页。6.2.6唯一确定分式线性映射的条件

定理5设分式线性映射将扩充复平面上3个相异点指定映射为

写成则此分式线性映射就被唯一确定，并且可以返回第十二页13第十三页，共30页。证：由定理4，只须指定3对对应点：

再由保交比性

就可得到(6.2.4).设有两个分式线性映射

同时将

分别映射为则分式线性映射有3个不动点第十三页14第十四页，共30页。因此它是恒等映射。即，故推论

设

是一分式线性映射，且可表示为

，则此分式线性映射第十四页15第十五页，共30页。特别地，若,则有例1在平面上给出中心分别在与，半径为(如下图所示)，在映射的两圆弧所围的区域平面上的什么区域？下映射成第十五页16第十六页，共30页。图（六）第十六页17第十七页，共30页。解：两圆弧的交点为i与-i,且相互正交，交点I与-i分别映射为W平面上的无穷远点和原点。因此所给区域经映射后映射成以原点为顶点的角形域，张角为

要确定角形区域的位置，只要定出它边上异于顶点的任何一点就行。取所给圆弧C1与正实轴的交点第十七页18第十八页，共30页。它对应的点是：这一点在第三象限的分角线上,由保角性知C2映射为第二象限的分角角形区域如图(六)所示。从而映射成的第十八页19第十九页，共30页。例2求把上半平面映射成单位圆的分式线性映射。解：由于上半平面总有一点实轴要映射成单位圆，而与是关于实轴的一对对称点，所以根据定理5的推论知，这个分式线性映射有如下形式：的圆心w=0.第十九页20第二十页，共30页。注意到实轴上的点Z对应着上式两边取模得:此时因此|k|=1,即，这里是任意实数。上的点。第二十页21第二十一页，共30页。故所求分式线性映射为：

由此可见，把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不是唯一的，而是有无穷多个。特别地取则上式变为第二十一页22第二十二页，共30页。应用中取，则其反函数把映为例3求将上半面

映射成单位圆且满足条件

的分式线性映射。解：由条件，知所求的映射将上半平面中的点映射成单位圆的圆心,所以由(6.2.7)得：第二十二页23第二十三页，共30页。因为从而所求的映射为：第二十三页24第二十四页，共30页。例4求将单位圆

映射成单位圆

的所有分式线性映射。解：设分式线性映射把映射为，则把映射为∞，由(6.2.5)式，这种分式线性映射有形式：第二十四页25第二十五页，共30页。当时，，因此故所求的分式线性映射为：例5求将上半平面

映射成圆

且满足条件

,的分式线性映射。

第二十五页26第二十六页，共30页。解：容易看出，映射将映射成，这