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文档简介

专题06全等三角形辅助线的妙用典例解析【知识点1:已知中点——倍长中线】1.(2021·湖北黄陂月考)如图,中,,边上的中线,则的取值范围是()A. B.C. D.【答案】C.【解析】解:如图,延长AD至点E,使AD=DE,连接BE∵AD=4,∴AE=8∵AD是△ABC中线∴BD=CD∵∠ADC=∠BDE∴△ADC≌△BDE∴AC=BE在△ABE中,AE-AB<BE<AB+BE即2<BE<14即2<AC<14故答案为:C.2.(2021·湖北武昌月考)(1)如图1,已知中,AD是中线,求证:;(2)如图2,在中,D,E是BC的三等分点,求证:;(3)如图3,在中,D,E在边BC上,且.求证:.【答案】见解析.【解析】解:(1)延长AD至P点,使得AD=PD,连接CP,∵AD是△ABC的中线,∴D为BC的中点,BD=CD,在△ABD与△PCD中,∴△ABD≌△PCD(SAS),∴AB=CP,在△APC中,由三边关系可得AC+PC>AP,∴AB+AC>2AD;(2)延长AD至H,使AD=DH,连接BH;延长AE至P,使AE=PE,连接CP由(1)可知,△BDH≌△ADE,△ADE≌△PCE∴AE=BH,AD=PC,在△ABH和△ACP中,AB+BH>2AD,AC+PC>2AE∴AB+BH+AC+PC>2AD+2AE∴AB+AC>AD+AE.(3)如图所示,取DE中点M,连接AM并延长至N点,使得AM=NM,连接NE,CE,∵M为DE中点,∴DM=EM,∵BD=CE,∴BM=CM,在△ABM和△NCM中,∴△ABM≌△NCM(SAS),同理可证△ADM≌△NEM,∴AB=NC,AD=NE,此时,延长AE,交CN于T点,∵AC+CN=AC+CT+NT,AC+CT>AT,∴AC+CN>AT+NT,又∵AT+NT=AE+ET+NT,ET+NT>NE,∴AT+NT>AE+NE,∴AC+CN>AT+NT>AE+NE,∵AB=NC,AD=NE,∴.【知识点2:求证中点——构造八字全等】3.如图所示:△ABC是等边三角形,D、E分别是AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交BC于点M.求证:MD=ME.【答案】见解析.【解析】解:如图,过D作DF∥AC交BC于F∵△ABC是等边三角形∴∠B=60°,AB=AC=BC∵DF∥AC∴∠DFB=60°,∠FDM=∠E∴△BDF是等边三角形,即BD=DF=BF∵BD=CE∴CE=DF又∠DMF=∠CME∴△DMF≌△EMC∴DM=ME.【知识点3:遇角平分线】4.如图,已知在四边形ABCD中,BD是的平分线,.求证:.【答案】见解析.【解析】解:方法1:截长法在BC上截取BE,使BE=AB,连接DE,∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABC=∠DBC.在和中,∴△ABD≌△EBD,∴,AD=DE.∵AD=CD,∴DE=CE,∴∠C=∠DEC.∵,∴.方法2:补短延长BA到点E,使BE=BC.∵BD是的平分线,∴在和中,∵,∴,∴,.∵,∴,∴.∵,∴∠BAD+∠C=180°.方法3:作垂线段过D作DE⊥BC于点E,DF⊥BA交BA的延长线于点F∵BD是∠ABC的平分线,∴DE=DF在Rt△ADF和Rt△CDE中,,∴Rt△ADF≌Rt△CDE,∴∠C=∠DAF.∵∠FAD+∠BAD=180°,∴∠BAD+∠C=180°.5.(2020·安徽淮南期中)利用角平分线构造“全等模型”解决问题,事半动倍.(1)尺规作图:作的平分线.(模型构造)(2)填空:①如图.在中,,是的角平分线,则______.(填“”、“”或“”)方法一:巧翻折,造全等在上截取,连接,则.②如图,在四边形中,,,和的平分线,交于点.若,则点到的距离是______.方法二:构距离,造全等过点作,垂足为点,则.(模型应用)(3)如图,在中,,,是的两条角平分线,且,交于点.①请直接写出______;②试猜想与之间的数量关系,并说明理由.【答案】(1)见解析;(2)①>;②6;(3)①120°;②PE=PF,见解析.【解析】解:(1)如图所示(2)①∵AB<AC∴∠B>∠C;故答案为:>;②6;(3)①∵∠A=60°∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°∵BE,CF是△ABC的两条角平分线∴∠CBE+∠BCF==60°∴∠BPC=180°-∠CBE+∠BCF=120°;②PE=PF,理由如下:在BC上截取BD=BF,连接PD,则△BFP≌△BDP,∴PF=PD,∠BPF=∠BPD,由①知:∠BPC=120°∴∠BPE=60°,∠BPD=∠CPD=60°∵∠CPE=∠BPE=60°∴∠CPD=∠CPE∵CF是三角形ABC平分线∴∠DCP=∠ECP∵PC=PC∴△CDP≌△CEP∴PE=PD∴PE=PF.6.(2021·广东雷州月考)如图,点是的中点,,,平分,下列结论:①;②;③;④.其中正确的是()A.①②④ B.①②③④ C.②③④ D.①③【答案】A.【解析】解:过E作EF⊥AD于F,如图,

∵AB⊥BC,AE平分∠BAD,∴BE=EF,AE=AE,

∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)

∴AB=AF,∠AEF=∠AEB;

∵点E是BC的中点,

∴EC=EF=BE,∴③错误;

∵EC=EF,ED=ED,∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL),

∴DC=DF,∠FDE=∠CDE,∴②正确;

∴AD=AF+FD=AB+DC,∴④正确;

∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°,∴①正确,综上:①②④正确,故答案为:A.7.(2021·黑龙江香坊期末)如图,四边形ABCD中,E是DC的中点,连接AE,AE平分∠DAB,∠D=∠C=90°,AD=4BC=8,则线段AB的长为__________.【答案】10.【解析】解:如图,延长AE、BC交于点F,∵E是DC的中点,∴DE=CE,在△ADE和△FEC中,∴△ADE≌△FEC(ASA),∴CF=AD=8,∠DAE=∠F,∵AD=4BC=8∴BC=2∴BF=BC+CF=2+8=10∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠BAE,∴∠F=∠BAE,∴AB=BF,∴BF=AB=10,故答案为:10.【知识点4:证两线段和是第三条线段】8.(2021·辽宁台安月考)如图,四边形中,,,,M、N分别为AB、AD上的动点,且.求证:.【答案】见解析.【解析】证明:延长AB至点E,使得BE=DN,连接CE,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,∠ABC+∠CBE=180°∴∠CBE=∠CDN,在△CBE和△CDN中,,∴△CBE≌△CDN,∴∠BCE=∠DCN,CN=CE∵∠BCD=150°,∠MCN=75°∴∠MCE=∠MCB+∠BCE=∠MCB+∠DCN=75°∴∠MCN=∠MCE∵MC=MC,CN=CE∴△ECM≌△NCM∴MN=ME=BM+BE=BM+DN.9.(2021·南通市月考)(1)如图①,在四边形中,,,,分别是边,上的点,且.请直接写出线段,,之间的数量关系:__________;(2)如图②,在四边形中,,,,分别是边,上的点,且,(1)中的结论是否仍然成立?请写出证明过程;(3)在四边形中,,,,分别是边,所在直线上的点,且.请画出图形(除图②外),并直接写出线段,,之间的数量关系.【答案】(1)EF=BE+FD;(2)成立,理由见解析;(3)图形见解析,EF=BE-DF.【解析】解:(1)延长EB至G,使BG=DF,连接AG,∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°,AB=AD,∴△ABG≌△ADF,∴AG=AF,∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF∴∠GAE=∠EAF,∵AE=AE∴△GAE≌△FAE∴EF=EG,∴EF=BE+DF(2)(1)中的结论仍成立,证明:延长CB至M,使BM=DF,可证,△ABM≌△ADF,△AME≌△AFE∴EF=ME,即EF=BE+BM.(3)EF=BE-DF,在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG,可证:△ABG≌△ADF,△AEG≌△AEF∴EG=EF由EG=BE-BG知,EF=BE-DF.10.(2021·陕西西安月考)在四边形中,,、分别是、上的点,并且,试探究图中、、之间的数量关系.(问题提出)(1)如图1,.小王同学探究的方法是:延长到点,使.连接,先证明,再证明,由此可得出结论(问题探究)(2)如图2,若,上述结论是否仍然成立?请说明理由.(问题解决)(3)如图3,若,点在的延长线上,点在的延长线上,仍然满足,请写出与的数量关系,并给出证明过程.【答案】(1)∠BAE+∠FAD=∠EAF;(2)仍成立,理由见解析;(3)∠EAF=180°-∠DAB.证明见解析.【解析】解:(1)∠BAE+∠FAD=∠EAF.理由:如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,∵AB=AD,∠B=∠ADG=90°,DG=BE,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SSS),∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF.故答案为:∠BAE+∠FAD=∠EAF;(2)仍成立,理由:如图2,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,∴∠B=∠ADG,又∵AB=AD,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SSS),∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF;(3)∠EAF=180°-∠DAB.证明:如图3,在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠

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