八年级数学几何重难点知识及数学方法：专题06 全等三角形辅助线的妙用（解析版）

专题06全等三角形辅助线的妙用典例解析【知识点1：已知中点——倍长中线】1．（2021·湖北黄陂月考）如图，中，，边上的中线，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C.【解析】解：如图，延长AD至点E，使AD=DE，连接BE∵AD=4，∴AE=8∵AD是△ABC中线∴BD=CD∵∠ADC=∠BDE∴△ADC≌△BDE∴AC=BE在△ABE中，AE-AB<BE<AB+BE即2<BE<14即2<AC<14故答案为：C．2．（2021·湖北武昌月考）（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：；（2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：；（3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：．【答案】见解析.【解析】解：（1）延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，∵AD是△ABC的中线，∴D为BC的中点，BD=CD，在△ABD与△PCD中，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，∴AB+AC>2AD；（2）延长AD至H，使AD=DH，连接BH；延长AE至P，使AE=PE，连接CP由（1）可知，△BDH≌△ADE，△ADE≌△PCE∴AE=BH，AD=PC，在△ABH和△ACP中，AB+BH>2AD，AC+PC>2AE∴AB+BH+AC+PC>2AD+2AE∴AB+AC>AD+AE.（3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，∵M为DE中点，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，在△ABM和△NCM中，∴△ABM≌△NCM(SAS)，同理可证△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此时，延长AE，交CN于T点，∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，∵AB=NC，AD=NE，∴．【知识点2：求证中点——构造八字全等】3.如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD＝CE，连接DE交BC于点M．求证：MD＝ME．【答案】见解析.【解析】解：如图，过D作DF∥AC交BC于F∵△ABC是等边三角形∴∠B=60°，AB=AC=BC∵DF∥AC∴∠DFB=60°，∠FDM=∠E∴△BDF是等边三角形，即BD=DF=BF∵BD=CE∴CE=DF又∠DMF=∠CME∴△DMF≌△EMC∴DM=ME.【知识点3：遇角平分线】4．如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．求证：．【答案】见解析.【解析】解：方法1：截长法在BC上截取BE，使BE=AB，连接DE，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABC=∠DBC．在和中，∴△ABD≌△EBD，∴，AD=DE．∵AD=CD，∴DE=CE，∴∠C=∠DEC．∵，∴．方法2：补短延长BA到点E，使BE=BC．∵BD是的平分线，∴在和中，∵，∴，∴，．∵，∴，∴．∵，∴∠BAD+∠C=180°．方法3：作垂线段过D作DE⊥BC于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F∵BD是∠ABC的平分线，∴DE=DF在Rt△ADF和Rt△CDE中，，∴Rt△ADF≌Rt△CDE，∴∠C=∠DAF．∵∠FAD+∠BAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°．5．（2020·安徽淮南期中）利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半动倍．（1）尺规作图：作的平分线．（模型构造）（2）填空：①如图．在中，，是的角平分线，则______．（填“”、“”或“”）方法一：巧翻折，造全等在上截取，连接，则．②如图，在四边形中，，，和的平分线，交于点．若，则点到的距离是______．方法二：构距离，造全等过点作，垂足为点，则．（模型应用）（3）如图，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．①请直接写出______；②试猜想与之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①>；②6；（3）①120°；②PE=PF，见解析．【解析】解：（1）如图所示（2）①∵AB<AC∴∠B>∠C；故答案为：>；②6；（3）①∵∠A=60°∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°∵BE，CF是△ABC的两条角平分线∴∠CBE+∠BCF==60°∴∠BPC=180°-∠CBE+∠BCF=120°；②PE=PF，理由如下：在BC上截取BD=BF，连接PD，则△BFP≌△BDP，∴PF=PD，∠BPF=∠BPD，由①知：∠BPC=120°∴∠BPE=60°，∠BPD=∠CPD=60°∵∠CPE=∠BPE=60°∴∠CPD=∠CPE∵CF是三角形ABC平分线∴∠DCP=∠ECP∵PC=PC∴△CDP≌△CEP∴PE=PD∴PE=PF．6．（2021·广东雷州月考）如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③【答案】A.【解析】解：过E作EF⊥AD于F，如图，

∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴BE=EF，AE=AE，

∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)

∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；

∵点E是BC的中点，

∴EC＝EF＝BE，∴③错误；

∵EC＝EF，ED=ED，∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，

∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，∴②正确；

∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，∴④正确；

∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，∴①正确，综上：①②④正确，故答案为：A.7．（2021·黑龙江香坊期末）如图，四边形ABCD中，E是DC的中点，连接AE，AE平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC＝8，则线段AB的长为__________．【答案】10.【解析】解：如图，延长AE、BC交于点F，∵E是DC的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△FEC中，∴△ADE≌△FEC（ASA），∴CF＝AD＝8，∠DAE＝∠F，∵AD＝4BC＝8∴BC=2∴BF=BC+CF=2+8=10∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠F＝∠BAE，∴AB＝BF，∴BF＝AB＝10，故答案为：10．【知识点4：证两线段和是第三条线段】8．（2021·辽宁台安月考）如图，四边形中，，，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证：．【答案】见解析.【解析】证明：延长AB至点E，使得BE=DN，连接CE，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，∠ABC+∠CBE=180°∴∠CBE=∠CDN，在△CBE和△CDN中，，∴△CBE≌△CDN，∴∠BCE=∠DCN，CN=CE∵∠BCD=150°，∠MCN=75°∴∠MCE=∠MCB+∠BCE=∠MCB+∠DCN=75°∴∠MCN=∠MCE∵MC=MC，CN=CE∴△ECM≌△NCM∴MN=ME=BM+BE=BM+DN.9．（2021·南通市月考）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：__________；（2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系．【答案】（1）EF=BE+FD；（2）成立，理由见解析；（3）图形见解析，EF=BE－DF.【解析】解：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG，∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF∴∠GAE=∠EAF，∵AE=AE∴△GAE≌△FAE∴EF=EG，∴EF=BE+DF（2）（1）中的结论仍成立，证明：延长CB至M，使BM=DF，可证，△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE∴EF=ME，即EF=BE+BM．（3）EF=BE－DF，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，可证：△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF∴EG=EF由EG=BE－BG知，EF=BE－DF.10．（2021·陕西西安月考）在四边形中，，、分别是、上的点，并且，试探究图中、、之间的数量关系．（问题提出）（1）如图1，．小王同学探究的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，由此可得出结论（问题探究）（2）如图2，若，上述结论是否仍然成立？请说明理由．（问题解决）（3）如图3，若，点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．【答案】（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由见解析；（3）∠EAF=180°-∠DAB．证明见解析．【解析】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∵AB=AD，∠B=∠ADG=90°，DG=BE，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF=180°-∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠