高考数学文一轮复习题第二章函数导数及其应用有解析2-102

05限时规范特训A级基础达标1．若曲线f(x)＝eq\r(x)，g(x)＝xα在点P(1,1)处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，则实数α的值为()A．－2 B．2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，g′(x)＝αxα－1，所以在点P处的斜率分别为k1＝eq\f(1,2)，k2＝α，因为l1⊥l2，所以k1k2＝eq\f(α,2)＝－1，所以α＝－2，选A.答案：A2．[2014·深圳中学实战考试]函数y＝eq\f(x3,3)－x2＋1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角记为α，则α的最小值是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,6)C.eq\f(5π,6) D.eq\f(3π,4)解析：由于y′＝x2－2x，当0<x<2时，－1≤y′<0，据导数的几何意义得－1≤tanα<0，当tanα＝－1时，α取得最小值，即αmin＝eq\f(3π,4).答案：D3．[2014·太原模拟]设曲线y＝sinx上任一点(x，y)处的切线斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图象可以为()解析：由题意可知g(x)＝cosx，y＝x2cosx，该函数是偶函数，且当x＝0时，函数值为0，故只能是选项C中的图象．答案：C4．[2014·山东烟台模拟]设曲线y＝eq\f(x＋1,x－1)在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a＝()A．2 B．－2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：函数的导函数为y′＝eq\f(－2,x－12)，所以函数在(3,2)处的切线斜率为k＝－eq\f(1,2)，直线ax＋y＋3＝0的斜率为－a，所以－a·(－eq\f(1,2))＝－1，解得a＝－2，选B.答案：B5．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)<eq\f(1,3)，则f(x)<eq\f(x,3)＋eq\f(2,3)的解集为()A．{x|－1<x<1} B．{x|x<－1}C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x>1}解析：设F(x)＝f(x)－eq\f(x,3)－eq\f(2,3)，则F(1)＝f(1)－eq\f(1,3)－eq\f(2,3)＝0，对任意x∈R，F′(x)＝f′(x)－eq\f(1,3)<0，即函数F(x)在R上单调递减，则F(x)<0的解集为(1，＋∞)，即f(x)<eq\f(x,3)＋eq\f(2,3)的解集为(1，＋∞)，选D.答案：D6．[2014·临川模考]定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，已知f(x＋1)是偶函数，(x－1)f′(x)<0.若x1<x2，且x1＋x2>2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)>f(x2) D．不确定解析：由题可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，由x1<x2且x1＋x2>2，可知x2>1，x2>2－x1.若2－x1>1，则f(x2)<f(2－x1)＝f(x1)；若2－x1<1，即x1>1，此时x1<x2可得f(x1)>f(x2)；若x1＝1，根据函数性质，当x＝1时函数取得最大值，也有f(x1)>f(x2)．故选C.答案：C7.[2014·福州摸考]如图，函数g(x)＝f(x)＋eq\f(1,5)x2的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.解析：g(5)＝f(5)＋5＝－5＋8＝3，所以f(5)＝－2.又g′(x)＝f′(x)＋eq\f(2,5)x，所以g′(5)＝f′(5)＋eq\f(2,5)×5＝－1，解得f′(5)＝－3，f(5)＋f′(5)＝－5.答案：－58．[2014·南通调研]曲线f(x)＝eq\f(f′1,e)ex－f(0)x＋eq\f(1,2)x2在点(1，f(1))处的切线方程为________．解析：f′(x)＝eq\f(f′1,e)ex－f(0)＋x⇒f′(1)＝eq\f(f′1,e)e1－f(0)＋1⇒f(0)＝1.在函数f(x)＝eq\f(f′1,e)ex－f(0)x＋eq\f(1,2)x2中，令x＝0，则得f′(1)＝e.所以f(1)＝e－eq\f(1,2)，所以f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋f(1)＝ex－eq\f(1,2)，即y＝ex－eq\f(1,2).答案：y＝ex－eq\f(1,2)9．已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,4)sinx－eq\f(\r(3),4)cosx的图象在点A(x0，y0)处的切线斜率为1，则tanx0＝________.解析：函数的导数f′(x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)cosx＋eq\f(\r(3),4)sinx，由f′(x0)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,4)cosx0＋eq\f(\r(3),4)sinx0＝1得，－eq\f(1,2)cosx0＋eq\f(\r(3),2)sinx0＝1，即sin(x0－eq\f(π,6))＝1，所以x0－eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即x0＝2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z，所以tanx0＝tan(2kπ＋eq\f(2π,3))＝taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3).答案：－eq\r(3)10．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．解：(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，∴xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－2＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.11．[2014·银川模拟]已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－alnx(a∈R)．(1)若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．解：(1)因为f′(x)＝x－eq\f(a,x)(x>0)，又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，斜率为1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－aln2＝2＋b，,2－\f(a,2)＝1，))解得a＝2，b＝－2ln2.(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，则f′(x)＝x－eq\f(a,x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立．所以a≤1.检验当a＝1时满足题意．故a的取值范围是(－∞，1]．12．设函数f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝eq\f(7,4)x－3，当x＝2时，y＝eq\f(1,2).又f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq\f(3,x).(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋eq\f(3,x2)知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋eq\f(3,x\o\al(2,0)))·(x－x0)，即y－(x0－eq\f(3,x0))＝(1＋eq\f(3,x\o\al(2,0)))(x－x0)．令x＝0得，y＝－eq\f(6,x0)，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－eq\f(6,x0))．令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为eq\f(1,2)|－eq\f(6,x0)||2x0|＝6.曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.B级知能提升1．[2014·安庆一中4月检测]经过原点且与曲线y＝eq\f(x＋9,x＋5)相切的方程是()A．x＋y＝0或eq\f(x,25)＋y＝0 B．x－y＝0或eq\f(x,25)＋y＝0C．x＋y＝0或eq\f(x,25)－y＝0 D．x－y＝0或eq\f(x,25)－y＝0解析：设切点(x0，y0)，则切线的斜率为k＝eq\f(y0,x0)，另一方面，y′＝(eq\f(x＋9,x＋5))′＝eq\f(－4,x＋52)，故y′(x0)＝k，即eq\f(－4,x0＋52)＝eq\f(y0,x0)＝eq\f(x0＋9,x0x0＋5)⇒xeq\o\al(2,0)＋18x0＋45＝0，得x0(1)＝－3，x0(2)＝－15，对应有y0(1)＝eq\f(－3＋9,－3＋5)＝3，y0(2)＝eq\f(－15＋9,－15＋5)＝eq\f(3,5)，因此得两个切点A(－3,3)或B(－15，eq\f(3,5))，从而得y′A＝－1，y′B＝－eq\f(1,25).由于切线过原点，故得切线lA：y＝－x或lB：y＝－eq\f(x,25).答案：A2．[2014·南京三模]记定义在R上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x0∈[a，b]，使得f(b)－f(a)＝f′(x0)(b－a)成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f(x)＝x3－3x在区间[－2,2]上“中值点”的个数为________．解析：设函数f(x)的“中值点”为x0，则f′(x0)＝eq\f(f2－f－2,4)＝eq\f(2－－2,4)＝1，即3xeq\o\al(2,0)－3＝1，解得x0＝±eq\f(2,\r(3))＝±eq\f(2\r(3),3)∈[－2,2]，故函数y＝x3－3x在区间[－2,2]上“中值点”的个数是2.答案：23．已知函数y＝f(x)的导函数为f′(x)＝5＋cosx，且f(0)＝0，如果f(1－x)＋f(1－x2)<0，则实数x的取值范围是________．解析：由题意知f(x)＝5x＋sinx＋c，由f(0)＝0，得c＝0.∴f(x)为奇函数．f(1－x)<f(x2－1)，又f(x)为增函数，1－x<x2－1，∴x2＋x－2>0，∴x<－2或x>1.答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)4．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.∴f′(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直线l的方程为y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得，xeq\o\al(3,0)＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线