2023年南京大学计算机拔尖班二次选拔考试数学试题及答案解析

2~v尸<32~v尸<3亍第二题(20分)2023年南京大学计算机拔尖班二次选拔考试数学试题设/是定义域为非零实数、值域为实数的函数，对于x,y,zelR,当xyz=l时，有[fwf-=x(x+y+z)(/(x)+f(y)+/(z)).求满足上述条件的所有函数f，第三题(20分)若定义域和值域均为，=｛1,2,/｝的函数/满足：当工壬*时，/(对。/3),则称，为S的“排列函数”,(x,/(x),/(/(xxgS)记为/的一个“轨道”，把f的所有不同的轨道个数记为«/).(例如，如果〃=3J:StS定义为/(1)=2,/(2)=1,/(3)=3,则S的所有不同轨道有和设S3,〃>3,/;,•••/为s的&个排列函数，记/W=Z(^(-(AW)))，证明：心)+心)++<4)海一1)+符)第一题(20分)在黑板上写有2023个1,下面进行2022次如下操作：每次操作擦掉黑板上的任意两个数。和力，并写下(a+h)或者min｛疽+胪｝,最后只剩下一个数，把这个数的最大可能值记为尸.求证：2023年南京大学计算机拔尖班二次选拔考试数学试题解答第一题：本题是2022年加*大奥林匹克数学竞寰试题.(1)2023年南京大学计算机拔尖班二次选拔考试数学试题解答第一题：本题是2022年加*大奥林匹克数学竞寰试题.(1)假设黑板上有n个1时，执行n—1次上述操作后，剩下的数的最大值为.则本题取r=Q2023•我们来给出{如}的递推式•可以先列举几个：=25.an=26,a】2=81,Qi3=82,au=100,ais=101,aig=256.(2)观索:对于一般的n个1的情形，因为最后一次操作是对黑板上的剩下两个数进行操作，而黑板上剩下两个数必定分别由一开始的i个1和n-2个1执行若干次操作得到.再考虑最大值的情形，那么我们有an=i=la«-!max{a：-|-ani,min{af=max<max,nr(叫+。妇)7，j=l,2m,ax,n1min*{a,i,}J>n=2k,n=-r1..r22If2Ql+^n—1=1+G-n—1•maxmin{a?,a2}t=i,m2,ax,niminsaf,a„■}=<(|,3T7C一一(卜EIT7C一一(卜EI_£+(h;)H(u+lI+£+-+H)I(T-+US+H)»•、攵洲；Hs K胃T-I+5+«。nps、甘m.++upag-wlcxgTn^悠曜务、•*mkeM占-矗目藏-太rss5—78)HI(I—Eh(*lmEHsh-YTTP+t~vl='或vl—Ish-YTTP+t~vl='或vl—Ig ++8、卜-«eI(IIE』一最费小回甘+RzH+IU湘CsI)IH+・e卜E+s+xmaxexmaxem==I+UTII11/乙/U=l,2,..,nL—IJ但是等号不可能成立(『是正整数，3T•不是)，所以上界证明完毕.(4)为了证明下界,我们只需找一个操作方法使得它的最终数大于2亨.我们这样操作：首先2023=337x6+1,我们把每6个1用题中的操作变成9,得到337个9和1个1.然后把256个9不断用,zmin(a2,&2}H的操作得到128个9?、64个9，、32^92\16^92*.8个9^、4个92\2个92'、]个9".剩下的数很小，在估计时可以放掉.因此a2O23>92H=32fl=尸=Q2023<3~,an+i=max<max(七+如+it),q?“i，<3'.统上，用归纳法证明完毕.特别地，[f(x)]2-/(!/)/(—)=x(x+y+—)(/(x)+f(y)+/(—)),xyxyxy[f(y)]2-/(£),(土)=+，+—)(/(^)+f(y)+/(—)))Q2023>2.得」⑴=0.~5121og23>512x-=768>——=674.33本题证明完成.第二题：解：⑴令亿=g=z=1,可得5丽-何-§)](间+六。)+，丽-何-§)](间+六。)+，(£))=。②取x=b,因为/(b)-(62-I)/0,所以必有/(Q)+/(-V)=0.bab在(2)的第f式子中，让z=qMab心姬=qq+8+=)[/(a)+/(4)+/W.aba。Lab代入/(b)=0,/(a)+/(4)=0.且根据q4-6+^->3,得/(q)=0,但这与ab