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文档简介

北京第一零第五中学高三数学文月考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知△ABC中,D、E、F分别是AB,AC,BC的中点,则(

)A. B.C. D.参考答案:A【分析】利用平行四边形法则求解即可.【详解】依题意,,故故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用,属于基础题.2.设是奇函数,则的解集为

A.(-1,0) B.(0,1)

C.(-,0)

D.(-,0)∪(1,+)参考答案:答案:A3.已知函数,若过点且与曲线相切的切线方程为,则实数的值是(

)

A.

B.

C.6

D.9参考答案:D设切点为,则

①,∵,又切线l过A、M两点,∴则

②联立①、②可解得,从而实数的值为故选D.

4.已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x﹣y+4=0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为()A. B. C. D.参考答案:D【考点】抛物线的简单性质.【专题】计算题.【分析】如图点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1,过焦点F作直线x﹣y+4=0的垂线,此时d1+d2最小,根据抛物线方程求得F,进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值.【解答】解:如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1.过焦点F作直线x﹣y+4=0的垂线,此时d1+d2=|PF|+d2﹣1最小,∵F(1,0),则|PF|+d2==,则d1+d2的最小值为.故选D.【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质,两点距离公式的应用.解此列题设和先画出图象,进而利用数形结合的思想解决问题.5.参考答案:A6.圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+1=0(a>0,b>0)对称,则+的最小值为()A.3+2 B.9 C.16 D.18参考答案:D【考点】直线与圆的位置关系.【分析】圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+1=0(a>0,b>0)对称,说明直线经过圆心,推出a+b=,代入+,利用基本不等式,确定最小值,推出选项.【解答】解:由圆的对称性可得,直线ax﹣2by+1=0必过圆心(﹣2,1),所以a+b=.所以+=2(+)(a+b)=2(5++)≥2(5+4)=18,当且仅当=,即2a=b时取等号,故选D.7.已知函数,若,则(

)A.<<B.<<C.<<D.<<参考答案:CC8.函数f(x)=cosx(﹣π≤x≤π,且x≠0)的图象可能是()A. B. C. D.参考答案:A【考点】函数的图象.【分析】先判断函数的奇偶性,再判断函数的变化趋势.【解答】解:∵f(﹣x)=cos(﹣x)=﹣cosx=﹣f(x),∴函数f(x)为奇函数,则图象关于原点对称,故排C,D,当x→0+时,f(x)→﹣∞,(或者当x=时,f()=×<0)故选:A【点评】本题考查了函数图象的识别,关键是判断函数的奇偶性和函数值得变化趋势,属于基础题.9.已知函数f(x)=|lgx|,若a≠b,且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是()A.(1,+∞)

B.1,+∞)C.(2,+∞)

D.2,+∞)参考答案:C10.在等比数列{an}中,·且前n项和,则项数n等于

()A.4

B.5

C.6

D.7参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

计算(lg-lg25)÷100-=________.参考答案:-2012.设x,y满足约束条件,则的取值范围是.参考答案:【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(﹣4,﹣3),联立,解得B(1,2),化为y=﹣,由图可知,当直线y=﹣分别过A、B时,z有最小值和最大值分别为﹣5、.∴的取值范围是:.故答案为:.13.设函数f(x)=若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围.参考答案:或a≥2【考点】函数的零点与方程根的关系.【专题】函数的性质及应用.【分析】②分别设h(x)=2x﹣a,g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a),分两种情况讨论,即可求出a的范围.【解答】解:设h(x)=2x﹣a,g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a),若在x<1时,h(x)=2x﹣a与x轴有一个交点,所以a>0,并且当x=1时,h(1)=2﹣a>0,所以0<a<2,而函数g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有一个交点,所以2a≥1,且a<1,所以≤a<1,若函数h(x)=2x﹣a在x<1时,与x轴没有交点,则函数g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有两个交点,当a≤0时,h(x)与x轴无交点,g(x)无交点,所以不满足题意(舍去),当h(1)=2﹣a≤0时,即a≥2时,g(x)的两个交点满足x1=a,x2=2a,都是满足题意的,综上所述a的取值范围是≤a<1,或a≥2故答案为:或a≥2.【点评】本题考查了分段函数的问题,以及函数的零点问题,培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力,属于中档题.14.如图,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过点C作圆的切线l,过点A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段AE的长为

.参考答案:4

略15.已知,为锐角,,,则▲

,▲

.参考答案:,16.设P是函数y=x+(x>0)的图象上任意一点,过点P分别向直线y=x和y轴作垂线,垂足分别为A、B,则的值是.参考答案:﹣1考点:平面向量数量积的运算.专题:平面向量及应用.分析:设P(x0,)(x0>0),可得|PA|,|PB|,由O、A、P、B四点共圆,可得∠APB=,由数量积定义可求.解答:解:设P(x0,)(x0>0),则点P到直线y=x和y轴的距离分别为|PA|==,|PB|=x0.∵O、A、P、B四点共圆,所以∠APB=π﹣∠AOB=∴==﹣1故答案为:﹣1点评:本题考查平面向量数量积的运算,涉及点到直线的距离公式和四点共圆的性质,属中档题.17.已知,若恒成立,则实数的取值范围是

.参考答案:.试题分析:因为,所以由基本不等式知,,当且仅当即等号成立.问题恒成立转化为,即,由一元二次不等式解法知,.考点:一元二次不等式及其解法;均值不等式的应用.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.18.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,PD⊥平面ABCD,E、F分别是PB、AD的中点,PD=2.(1)求证:BC⊥PC;(2)求证:EF//平面PDC;(3)求三棱锥B—AEF的体积。

(第18题图)参考答案:解证:(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形

∴BCDC又PD面ABCD,

BC面ABCD∴BCPD,

又PDDC=D∴BC面PDC

从而BCPC--------------------------4分(Ⅱ)取PC的中点G,连结EG,GD,则∴四边形EFGD是平行四边形。∴EF//GD,

又∴EF//平面PDC.…-------------------------8分(Ⅲ)取BD中点O,连接EO,则EO//PD,∵PD⊥平面ABCD,∴EO⊥底面ABCD,

-----------------------------------12分19.一缉私艇巡航至距领海边界线l(一条南北方向的直线)3.8海里的A处,发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击,已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍,假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.(1)若走私船沿正东方向逃离,试确定缉私艇的追击方向,使得用最短时间在领海内拦截成功;(参考数据:sin17°≈,≈5.7446)(2)问:无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇是否总能在领海内成功拦截?并说明理由.参考答案:【考点】解三角形的实际应用.【分析】(1)设缉私艇在C处与走私船相遇,则AC=3BC.△ABC中,由余弦定理、正弦定理即可求解;(2)建立坐标系,求出P的轨迹方程,即可解决.【解答】解:(1)设缉私艇在C处与走私船相遇,则AC=3BC.△ABC中,由正弦定理可得sin∠BAC==,∴∠BAC=17°,∴缉私艇应向北偏东47°方向追击,△ABC中,由余弦定理可得cos120°=,∴BC≈1.68615.B到边界线l的距离为3.8﹣4sin30°=1.8,∵1.68615<1.8,∴能最短时间在领海内拦截成功;(2)以A为原点,建立如图所示的坐标系,则B(2,2),设缉私艇在P(x,y)出与走私船相遇,则PA=3PB,即x2+y2=9[(x﹣2)2+(y﹣2)2],即(x﹣)2+(y﹣)2=,∴P的轨迹是以(,)为圆心,为半径的圆,∵圆心到边界线l:x=3.8的距离为1.55,大于圆的半径,∴无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇总能在领海内成功拦截.20.某中学设计一项综合学科的考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取三道题,按照题目要求独立完成全部实验操作,已知在6道备选题中,考生甲有4道题能正确完成,两道题不能正确完成;考生乙每道题正确完成的概率都是,且每道题正确完成与否互不影响。

(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列;

(2)分别求甲、乙两考生正确完成题数的数学期望.

参考答案:解析:(1)设考生甲、乙正确完成题数分别为,,则取值分别为1,2,3;取值分别为0,1,2,3。

考生甲正确完成题数的概率分布列为123P------4分

考生乙正确完成题数的概率分布列为0123P------8分(2)另解:实际上服从二项分布,

--------------12分21.已知函数f(x)=lnx﹣2ax,a∈R.(1)若函数y=f(x)存在与直线2x﹣y=0平行的切线,求实数a的取值范围;(2)已知a>1设g(x)=f(x)+,若g(x)有极大值点x1,求证:x1lnx1﹣ax12+1>0.参考答案:【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出函数的导数,问题转化为2+2a=在(0,+∞)上有解,求出a的范围即可;(2)求出函数的导数,通过讨论a的范围,问题转化为证明x1lnx1+1>a,令h(x)=﹣﹣x+xlnx+1,x∈(0,1),根据函数的单调性证明即可.【解答】(1)解:因为f′(x)=﹣2a,x>0,因为函数y=f(x)存在与直线2x﹣y=0平行的切线,所以f′(x)=2在(0,+∞上有解,即﹣2a=2在(0,+∞)上有解,也即2+2a=在(0,+∞)上有解,所以2+2a>0,得a>﹣1,故所求实数a的取值范围是(﹣1,+∞);(2)证明:因为g(x)=x2+lnx﹣2ax,因为g′(x)=,①当﹣1≤a≤1时,g(x)单调递增无极值点,不符合题意,②当a>1或a<﹣1时,令g′(x)=0,设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2,因为x1为函数g(x)的极大值点,所以0<x1<x2,又x1x2=1,x1+x2=2a>0,所以a>1,0<x1<1,所以g′(x1)=﹣2ax1+=0,则a=,要证明+>a,只需要证明x1lnx1+1>a,因为x1lnx1+1﹣a=x1lnx1﹣+1=﹣﹣x1+x1lnx1+1,0<x1<1,令h(x)=﹣﹣x+xlnx+1,x∈(0,1),所以h′(x)=﹣﹣+lnx,记p(x)=﹣﹣+lnx,x∈(0,1),则p′(x)=﹣3x+=,当0<x<时,p′(x)>0,当<x<1时,p′(x)<0,所以p(x)max=p()=﹣1+ln<0,所以h′(x)<0,所以h(x)在(0,1)上单调递减,所以h(x)>h(1)=0,原题得证.22.已知函数f(x)=aln(ex+1)-(a+1)x,g(x)=x2-(a-1)x-f(lnx),a∈R,且g(x)在x=1处取得极值.(1)求a的值;(2)若对0≤x≤3,不等式g(x)≤|m-1|成立,求m的取值范围;(3)已知?ABC的三个顶点A,B,C都在函数f(x)的图像上,且横坐标依次成等差数列,讨论?ABC是否为钝角三角形,是否为等腰三角形.并证明你的结论.参考答案:解:(1),,依题设,有,所以a=8.(2),由,得或函数增区间(0,1),减区间(1,3

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