湖南省邵阳市第四中学2022年高三数学文期末试题含解析

湖南省邵阳市第四中学2022年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨).将数据按照[0,0.5)，…，[4,4.5]分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图.政府要试行居民用水定额管理，制定一个用水量标准a.使85%的居民用水量不超过a，按平价收水费，超出a的部分按议价收费，则以下比较适合做为标准a的是（

）A.2.5吨 B.3吨 C.3.5吨 D.4吨参考答案：B【分析】根据频率分布直方图中，长方形面积表示频率，找出将面积分割为和的数值，即为标准.【详解】根据频率分布直方图，结合题意可得：解得.故要满足的居民用水量不超过，则比较合适的取值为3吨.故选：B.【点睛】本题考查频率分布直方图中，频率的计算，属基础题.2.已知全集，集合＜2＜，＞，则A.＞

B.＞

C.＜＜

D.＜参考答案：D,，所以,所以，选D.3.对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是（）A．若m，n与α所成的角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m?α，n∥α，则m∥n参考答案：D略4.如图是f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象，下列说法错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期是B．函数g（x）=sinx的图象可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C．函数f（x）图象的一个对称中心是（﹣，0）D．函数f（x）的一个递减区间是（5，）参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象过（0，1），（2，0）求出ω和φ，即可求函数f（x）的解析式；根据函数解析式之间的关系判断各选项即可得结论．【解答】解：根据图象可知，f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的图象过（0，1），（2，0）可得：f（0）=cos（φ）=1，解得：φ=+2kπ或φ=﹣+2kπ，（k∈Z）f（2）=cos（2ω+）=0，解得ω=+kπ或ω=+kπ．当k=﹣1时，|ω|为：，周期T==．故A对．此时可得f（x）=cos（）．函数g（x）=x的图象图象向右平移个单位可得：=cos（）．故B对．当x=﹣时，函数f（）=cos（）．==1，故C不对．由f（x）=cos（）=cos（）．令0+2kπ≤）≤π+2kπ，可得：，（k∈Z）当k=2时，可得是单调递减．故D对．故选C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．5.已知函数，且，若关于的方程有3个不同实根，则实数k的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.若函数的表达式是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.某程序框图如图所示，若输出的S=26，则判断框内应填（）A．k＞3？ B．k＞4？ C．k＞5？ D．k＞6？参考答案：A【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，结合流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S的值，由条件框内的语句决定是否结束循环体并输出S，由此给出表格模拟执行程序即可得到本题答案．【解答】解：程序在运行过程中，各变量的值变化如下表：可得，当k=4时，S=26．此时应该结束循环体并输出S的值为26所以判断框应该填入的条件为：k＞3？故选：A【点评】本题给出程序框图，求判断框应该填入的条件，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，结合表格加以理解，从而使问题得以解决．8.下列函数中，在内有零点且单调递增的是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B9.过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若，则等于

A．4

B．5

C．6

D．8参考答案：A10.已知集合，，则A∩B中元素的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0参考答案：B集合中的元素为点集，由题意，可知集合表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，则中有个元素．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程有解，则________.参考答案：略12.的二项展开式中的常数项是

(用数值作答)．参考答案：略13.已知是定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集是

.参考答案：考点：1.函数的奇偶性；2.解绝对值不等式.14.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为．2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的

倍．参考答案：略15.当时，函数的最小值为___▲_____．参考答案：416.已知在上是增函数，则的取值范围是

.参考答案：17.若函数f（x）=，则不等式f（x2﹣3）＞f（x）的解集为．参考答案：（﹣∞，﹣）【考点】分段函数的应用；其他不等式的解法．【专题】数形结合；分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】根据分段函数的表达式判断函数的单调性，讨论变量的取值范围进行比较即可．【解答】解：若x≥1，即x≥2时，x2﹣3≥1，此时函数f（x）在[1，+∞）为减函数，则由f（x2﹣3）＞f（x）得x2﹣3＜x，即2x2﹣x﹣6＜0，得﹣＜x＜2，此时x无解．若x＜1，即x＜2时，若x2﹣3＜1，即﹣2＜x＜2，时，函数f（x）在（﹣∞，1]上是增函数，则由f（x2﹣3）＞f（x）得x2﹣3＞x，即2x2﹣x﹣6＞0，得x＜﹣或x＞2（舍），此时﹣2＜x＜﹣．若x≤﹣2，则x≤﹣1，此时f（x）＜0，而x2﹣3≥1，则f（x2﹣3）＞0，此时不等式f（x2﹣3）＞f（x）恒成立，综上不等式的解集为（﹣∞，﹣），故答案为：（﹣∞，﹣）．【点评】本题主要考查分段函数的应用，根据函分段函数的表达式判断函数的单调性，利用函数的单调性是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数；(Ⅲ)若从样本中数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.参考答案：解：（Ⅰ）由可得

…………2分（Ⅱ）数学成绩不低于60分的概率为:……4分数学成绩不低于60分的人数为人

……5分(Ⅲ)数学成绩在的学生人数：人

……6分数学成绩在的学生人数：人

……7分设数学成绩在的学生为，

数学成绩在的学生为

…………8分两名学生的结果为：，

…………10分共种；

…………11分其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有，，，，，，共7种，

…………12分因此，抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为

…………13分略19.（本题共12分，第Ⅰ问5分，第Ⅱ问7分），，，平面⊥平面，是线段上一点，，．（Ⅰ）证明：⊥平面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）

20.已知正项数列{an}，{bn}满足：对任意正整数n，都有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=10，a2=15．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅲ）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）通过已知得到关于数列的项的两个等式，处理方程组得到，利用等差数列的定义得证（Ⅱ）利用等差数列的通项公式求出，求出bn，an．（Ⅲ）先通过裂项求和的方法求出Sn，代入化简得到关于n的二次不等式恒成立，构造新函数，通过对二次项系数的讨论求出函数的最大值，令最大值小于0，求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得2bn=an+an+1①，an+12=bn?bn+1②．由②得③．将③代入①得，对任意n≥2，n∈N*，有．即．∴是等差数列．（Ⅱ）设数列的公差为d，由a1=10，a2=15．经计算，得．∴．∴．∴，．（Ⅲ）由（1）得．∴．不等式化为．即（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0．设f（n）=（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8，则f（n）＜0对任意正整数n恒成立．当a﹣1＞0，即a＞1时，不满足条件；当a﹣1=0，即a=1时，满足条件；当a﹣1＜0，即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）关于n递减，因此，只需f（1）=4a﹣15＜0．解得，∴a＜1．综上，a≤1．21.等比数列满足的前n项和为，且（I）求；（II）数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.参考答案：解:（Ⅰ），所以公比

……2分

得

……4分所以

……5分

……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知

于是

…………9分假设存在正整数，使得成等比数列，则，

可得，

所以

从而有，，

由，得

……11分

此时.

当且仅当，时，成等比数列.

……12分

略22.已知函数f（x）=x2++alnx（x＞0），（1）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式[f（x1）+f（x2）]≥f（）成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）由，得，由函数为[1，+∞）上单调增函数，知f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即不等式在[1，+∞）上恒成立．由此能求出a的取值范围．（Ⅱ）由，得=，，由此入手能够证明当a≤0时，f（x）