深圳市九年级数学上册第四单元《圆》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．如图，为半圆的直径，弦，，点、分别为和上的动点，则的最小值为（）A． B． C．3 D．2．如图，一块直角三角板的30°角的顶点落在上，两边分别交圆于，两点，若的直径为6，则弦的长为（）A．3 B．2 C． D．3．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，连接DO，则DE的长为（）A．3 B．4 C．6 D．84．2020年温州市实验中学数学文化节征稿文化节，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图内接于一个半径为5的半圆，，分别以，，为直径向外作半圆．若阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，则的面积为（）A． B． C． D．5．如图，是半圆O的直径，，则的度数是（）A．70° B．100° C．110° D．120°6．如图，分别以AB,AC为直径的两个半圆，其中AC是半圆O的一条弦，E是弧AEC中点，D是半圆ADC中点.若DE=2,AB=12，且AC˃6，则AC长为（）A．6+ B．8+ C．6+2 D．8+27．已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（）A． B． C．或 D．或8．如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是（）A． B． C． D．9．下列说法正确的有（）①垂直平分弦的直线经过圆心；②平分弦的直径一定垂直于弦；③相等的圆周角所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤等弦所对的弧相等A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，在菱形中，，，，的半径分别为2和1，，，分别是边、和上的动点，则的最小值是（）A． B．2 C．3 D．11．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（）A．20° B．40° C．50° D．60°12．如图，△ABC内接于☉O，若☉O的半径为6，∠A=60°，则的长为（）A． B． C． D．二、填空题13．已知的面积为，则其内接正六边形的边长为______．14．如图，已知是的直径，点，在上，，，则的半径为_____．15．如图，是半圆O的直径，且，，则的长为_________．16．如图所示，在平面直角坐标系中，正六边形边长是6，则它的外接圆圆心的坐标是______．17．一点到上的最近距离为，最远距离为，则这圆的半径是______．18．在矩形中，，，若点P是矩形上一动点，要使得，则的长为__________．19．如图，⊙O的半径为3，点A是⊙O外一点，OA＝6，B是⊙O上的动点，线段AB的中点为P，连接OA、OP．则线段OP的最大值是______．20．在半径为4cm的圆中，长为4cm的弦所对的圆周角的度数为________三、解答题21．如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为60°的点E处（即弧AE的度数为60°），第三边交量角器边缘于点F处．（1）求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；（2）若AB＝12cm，求阴影部分面积．22．对于平面直角坐标系xOy中的点P和，给出如下定义：如果的半径为r，外一点P到的切线长小于或等于2r，那么点P叫做的“离心点”．（1）当的半径为1时，①在点中，的“离心点”是_____________；②点P(m，n)在直线上，且点P是的“离心点”，求点P横坐标m的取值范围；（2）的圆心C在y轴上，半径为2，直线与x轴．y轴分别交于点A、B．如果线段AB上的所有点都是的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围．23．如图，AB是⊙O的直径，弦于点H，，，求⊙O的半径的长．24．如图，为的直径，，、分别在两侧的圆上，，与的交点为．（1）求点到的距离及的度数；（2）若，求的值和的长．25．如图，长方形的长为a，宽为，用整式表示图中阴影部分的面积，并计算当时阴影部分的面积（取3.14）．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，1），点P（t，0）为x轴上一动点(不与原点重合)．以P为圆心，PA为半径的⊙P与x轴正半轴交于点B，连接AB，以AB为直角边在AB的右上方作等腰直角三角形ABC，且∠BAC=90°，直线BC于⊙P的另一个公共点为F，连接PF．（1）当t=2时，点C的坐标为（，）；（2）当t>0时，过点C作x轴的垂线l．①判断当点P运动时，直线l的位置是否发生变化？请说明理由；②试说明点F到直线l的距离始终等于OP的长；（3）请直接写出t为何值时，CF=2BF．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】作B点关于直径AC的对称点B′，过B′点作B′E⊥AB于E，交AC于F，如图，利用两点之间线段最短和垂线段最短可判断此时FB＋FE的值最小，再判断△ABB′为等边三角形，然后计算出B′E的长即可．【详解】解：作B点关于直径AC的对称点B′，过B′点作B′E⊥AB于E，交AC于F，如图，则FB＝FB′，∴FB＋FE＝FB′＋FE＝B′E，此时FB＋FE的值最小，∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝30°，∴∠BAB′＝60°，∵AB＝AB′，∴△ABB′为等边三角形，∵B′E⊥AB，∴AE＝BE＝，∴B′E＝AE＝，即BF＋EF的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质．2．A解析：A【分析】连接并延长交于点，连接；根据同弦所对的圆周角相等可得；再说明AD=6,然后根据在直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半．【详解】解：如图：连接并延长交于点，连接，，，∵是的直径，，，．故答案为A．【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，掌握直径所对的圆周角为直角是解答本题的关键．3．D解析：D【分析】根据题意可求出OC长度，再根据勾股定理求出CD长度，最后根据垂径定理即可得到DE长度．【详解】∵AB＝10，∴OB=5OC：OB＝3：5，∴OC＝3，在中，∵DE⊥AB，∴DE＝2CD＝8，故选：D．【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理．掌握垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦”是解题的关键．4．B解析：B【分析】设AC=a，BC=b，由勾股定理可求得a2+b2=102，由三角形的面积公式和圆的面积公式分别求出空白部分图形面积和阴影部分图形面积，利用阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍可求得ab，进而可求得△ABC的面积．【详解】解：设AC=a，BC=b，由题意，AB=10，∴a2+b2=102，由图可知，空白部分面积为（），阴影部分面积====，∵阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，∴=3（），解得：，∴△ABC==，故选：B．【点睛】本题考查了圆的面积公式、三角形的面积公式、勾股定理、解方程等知识，熟记面积公式，利用割补法和整体思想解决问题是解答的关键．5．C解析：C【分析】先根据圆周角定理可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据圆内接四边形的性质即可得．【详解】是半圆O的直径，，，，又四边形ABCD是圆O内接四边形，，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．6．D解析：D【分析】连接OE，交AC于点F，由勾股定理结合垂径定理求出AF的长，即可得到结论．【详解】解：连接OE，交AC于点F，∵E为的中点，∴，F为AC的中点，∵∴设，则∵F为AC的中点，D为半圆的中点，∴，∵，∴在Rt△AOF中，即，∴，∴或∵∴故选：D【点睛】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理，运用勾股定理求出AF是解题的关键．7．C解析：C【分析】连结，由，根据垂径定理可以得到,结合勾股定理可以得到．在分类讨论，如图，当和时，再结合勾股定理即可求出AC．【详解】连结，∵，∴，在中，，∴，当如图时，，在中，，当如图时，，在中，故选C．【点睛】本题考查垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”．分类讨论思想也是解决本题的关键．8．D解析：D【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，根据圆内接四边形的性质计算可得∠D，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】解：在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ACB=180°，∵∴∠D=60°∴∠AOB=120°，故选：D．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据垂径定理及其推论即可判定①正确，②错误；根据弧、弦、圆周角之间的关系可知③⑤错误，④正确．【详解】解：①根据垂径定理的推论可知，垂直平分弦的直线经过圆心；故本选项正确；②直径是最长的弦，任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，故被平分弦不能是直径；故本选项错误；③在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本选项错误；④相等的弧所对的弦一定相等，故本选项正确；⑤∵在一个圆中一条弦所对的弧有两条，∴等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论、圆周角、弧、弦的关系，解题的关键是正确理解各知识点．10．C解析：C【分析】利用菱形的性质及相切两圆的性质得出P与D重合时的最小值，进而求解即可．【详解】解：作点A关于直线CD的对称点A´，连接BD，DA´，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，∵∠BDC=∠ADB=60°，∴∠ADN=60°，∴∠A´DN=60°，∴∠ADB+∠ADA´=180°，∴A´，D，B在一条直线上，由此可得：当点P和点D重合，E点在AD上，F点在BD上，此时最小，∵在菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD为等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A，⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴的最小值为3．故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系等知识．根据题意得出点P位置是解题的关键．11．B解析：B【分析】由线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，根据垂径定理的即可求得，然后由圆周角定理，即可求得答案．【详解】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°．故选：B．【点睛】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．12．B解析：B【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC度数，再由弧长公式即可得出结论．【详解】解：连接OB，OC，∵∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴==4π．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，利用圆周角定理及弧长公式求解是解题的关键．二、填空题13．1【分析】首先根据圆的面积求出圆的半径再证明△AOB是等边三角形即可得到结论【详解】解：如图的面积为设半径为r∴解得∵OA=OB为等边三角形故故答案为：1【点睛】本题考查的是正多边形和圆熟知正六边形解析：1【分析】首先根据圆的面积求出圆的半径，再证明△AOB是等边三角形即可得到结论．【详解】解：如图，的面积为，设半径为r，，∴，解得，，∵，OA=OB为等边三角形，故．故答案为：1【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的半径与边长相等是解答此题的关键．14．2【分析】根据圆周角定理得出∠A=∠CDB∠ACB=90°根据含30°角的直角三角形的性质得出AB=2BC求出AB再求出半径即可【详解】解：∵∴∠A=∠CDB∵∠CDB=30°∴∠A=30°∵AB为解析：2【分析】根据圆周角定理得出∠A=∠CDB，∠ACB=90°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AB=2BC，求出AB，再求出半径即可．【详解】解：∵∴∠A=∠CDB，∵∠CDB=30°，∴∠A=30°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=2，∴AB=2BC=4，∴⊙O的半径是，故答案为：2．【点睛】本题考查了圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能根据圆周角定理得出∠A=∠CDB和∠ACB=90°是解此题的关键．15．【分析】先根据可求得进而可求得再利用弧长公式计算即可求得答案【详解】解：∵∴∴∵∴∴的长为故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理弧长公式的应用熟练掌握圆周角定理弧长公式是解决本题的关键解析：【分析】先根据可求得，进而可求得，再利用弧长公式计算即可求得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴的长为，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式的应用，熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解决本题的关键．16．【分析】如图所示连接POPA过点P作PG⊥OA于点G由正六边形推出为等边三角形进而求出OGPG的长度即可求得P点坐标【详解】解：如图所示连接POPA过点P作PG⊥OA于点G则∵多边形为正六边形∴∵∴解析：【分析】如图所示，连接PO，PA，过点P作PG⊥OA于点G，由正六边形推出为等边三角形，进而求出OG、PG的长度即可求得P点坐标.【详解】解：如图所示，连接PO，PA，过点P作PG⊥OA于点G，则，∵多边形为正六边形，∴，∵，∴为等边三角形，又∵PG⊥OA，∴PG平分，∴，又∵OA=6，∴，∴由勾股定理得：，∴的坐标是，故答案为：【点睛】本题考查正多边形外接圆的问题，熟练掌握正多边形的性质，灵活运用三角形相关知识解决边角关系是本题的关键.17．4cm或7cm【分析】当点P在圆内时点P到圆的最大距离与最小距离之和就是圆的直径当点P在圆外时点P到圆的最大距离与最小距离的差就是圆的直径知道了直径就能确定圆的半径【详解】当点P在圆外时如图1点P到解析：4cm或7cm【分析】当点P在圆内时，点P到圆的最大距离与最小距离之和就是圆的直径．当点P在圆外时，点P到圆的最大距离与最小距离的差就是圆的直径．知道了直径就能确定圆的半径．【详解】当点P在圆外时，如图1，点P到圆的最大距离与最小距离的差为8cm，就是圆的直径，所以半径是4cm．当点P在圆内时，如图2，点P到圆的最大距离与最小距离的和为14cm，就是圆的直径，所以半径是7cm．故答案是：4cm或7cm．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆的最大距离和最小距离，可以得到圆的直径，然后确定圆的半径．18．或4或8【分析】取CD中点P1连接AP1BP1由勾股定理可求AP1＝BP1＝4即可证△AP1B是等边三角形可得∠AP1B＝60°过点A点P1点B作圆与ADBC各有一个交点即这样的P点一共3个再运用勾解析：或4或8．【分析】取CD中点P1，连接AP1，BP1，由勾股定理可求AP1＝BP1＝4，即可证△AP1B是等边三角形，可得∠AP1B＝60°，过点A，点P1，点B作圆与AD，BC各有一个交点，即这样的P点一共3个．再运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，取CD中点P1，连接AP1，BP1，如图1，∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠D＝∠C＝90°∵点P1是CD中点∴CP＝DP1＝2∴AP1＝＝4，BP1＝＝4∴AP1＝P1B＝AB∴△APB是等边三角形∴∠AP1B＝60°，过点A，点P1，点B作圆与AD，BC的相交，∴这样的P点一共有3个当点P2在AD上时，如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∵∴即在中，∴∴；当点P3在BC上时，如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°∵∠∴∠∴在中，∴综上所述，AP的长为：或4或8．故答案为：或4或8．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．19．【分析】如图连接OB设OA交⊙O于点T连接PT利用三角形中位线定理求出PT根据OP≤PT+OT可得结论【详解】如图连接OB设OA交⊙O于点T连接PT∵OA=6OT=3∴OT=TA∵AP=PB∴PT=解析：【分析】如图，连接OB，设OA交⊙O于点T，连接PT．利用三角形中位线定理求出PT，根据OP≤PT+OT，可得结论．【详解】如图，连接OB，设OA交⊙O于点T，连接PT．∵OA=6，OT=3，∴OT=TA，∵AP=PB，∴PT=OB=，∵OP≤PT+OT，∴OP≤，故答案为：．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．20．或【分析】首先根据题意画出图形然后在优弧上取点C连接ACBC在劣弧上取点D连接ADBD易得是等边三角形再利用圆周角定理即可得出答案【详解】解：如图在优弧上取点C连接ACBC在劣弧上取点D连接ADBD解析：或【分析】首先根据题意画出图形，然后在优弧上取点C，连接AC、BC，在劣弧上取点D，连接AD、BD，易得是等边三角形，再利用圆周角定理，即可得出答案．【详解】解：如图，在优弧上取点C，连接AC、BC，在劣弧上取点D，连接AD、BD，是等边三角形，∴所对的圆周角度数为：或故答案为：或．【点睛】本题考查圆周角定理及等边三角形的判定与性质，注意两种情况．三、解答题21．（1）30°；（2）6π﹣9【分析】（1）如图，连接OE，OF，利用切线的性质、等腰直角三角形的性质以及平行线的判定证得OE∥BC，则同位角∠ABC=∠AOE=60°，所以由图形中相关角与角间的和差关系即可得到∠ABG=15°；然后由圆周角定理可以求得量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；（2）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：（1）如图，连接OE，OF．∵CD切半圆O于点E，∴OE⊥CD，∵BD为等腰直角△BCD的斜边，∴BC⊥CD，∠D＝∠CBD＝45°，∴OE∥BC，∴∠ABC＝∠AOE＝60°，∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣45°＝15°∴弧AG的度数＝2∠ABG＝30°，∴量角器在点G处的读数α＝弧AG的度数＝30°；（2）∵AB＝12cm，∴OF＝OB＝6cm，∠ABC＝60°，∴△OBF为正三角形，∠BOF＝60°，∴S扇形＝＝6π（cm2），S△OBF＝9，∴S阴影＝S扇形﹣S△OBF＝6π﹣9．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，圆周角定理．求（2）题时，利用了“分割法”求得图中阴影部分的面积．22．（1）①；②；（2）圆心C的纵坐标满足或【分析】(1)①分别计算的长，判断P到的切线长是否小于或等于2r，即可解题；②设，根据题意，当过点P的切线长为2时，OP=5，列出相应的一元二次方程，解方程即可；(2)分类讨论，当C在y轴的正半轴上时，当点C在y轴的负半轴上时，当圆C与直线相切时，画出相应的图形，结合全等三角形的判定与性质解题．【详解】①所以点不在圆上，不符合题意；因为过点的切线长为，所以是圆的离心点因为过的切线长为所以是离心点；故答案为；②如图设当过点P的切线长为2时，OP=5，所以解得m=1或m=2观察图像得（2）如图2，当C在y轴的正半轴上时，经过点B(1，0)，A(2，0)当AC=，点A是离心点，此时C(0，4)；观察图像知圆的纵坐标满足，线段AB上所有的点都是离心点；如图3，当点C在y轴的负半轴上时，，点B是离心点，此时C(0，)如图4，当圆C与直线相切时，设切点为N，如图，由题意得，，观察图像得当圆C的纵坐标满足，线段AB上的所有点都是离心点；综上所述,圆C的纵坐标满足或．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线等知识，是重要考点，难度中等，掌握相关知识是解题关键．23．4【分析】连接OC,根据垂径定理可得∠CHO=90°，CD=2CH，求出CH的长，根据30°的直角三角形的特征以及勾股定理求出OC=2OH即可.【详解】连接OC，则OA=OC.∴∠A=∠ACO=30°.∴∠COH=60°.∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∴∠CHO=90°，CD=2CH∴∠OCH=30°，∴,∵CD=4，∴CH=.∴在中，∴OH=2.∴OC=4.【点睛】本题考查了垂径定理及30度的直角三角形的性质以及勾股定理得应用，解题的关键是掌握垂径定理及30度的直角三角形的性质.24．（1）1，30º；（2），【分析】(1)作OF⊥BD于点F，连接OD，根据圆周角定理可得出∠DOB=120º，再由OB=OD=AC=2，可得出∠OBD的度数，也可以得出OF的长度，（2）设BF=2x，则可表示出DF、EF的长度，从而可解出x的值，在Rt△OEF中，利用三角函数值的知识可求出∠OED的度数，也可得出cos∠OED的值，判断出DO⊥AC，然后利用等腰直角三角形的性质可得出CD的长度．【详解】（1）作OF⊥BD于点F，连接OD，∵∠BAD=60º，∴∠BOD=2∠BAD=120º，又∵OB=OD，∴∠OBD=30º，∵AC为⊙O的直径，AC=4，∴OB=OC=2，在Rt△BOF中，∵∠OFB=90º，OB=2，∠OBF=30º，∴OF=OB=1，即点O到BD的距离等于1，（2）∵OB=OD，OF⊥BD于点F，∴BF=DF，由DE=2BE，设BE=2x，则DE=4x，BD=6x,EF=x,BF=3x，∵BF=OB•cos30º=，∴,在Rt△OEF中，∠OFE=90º，∵tan∠OED=，∴∠OED=60º,cos∠OED=，∴∠BOC=∠OED-∠OBD=30º，∴∠DOC=∠DOE-∠BOE=90º，∴∠C=45º，∴CD=．【点睛】本题考查属于圆的综合题，涉及等腰三角形的性质，三角函数值，及勾股定理等知识，解答此类综合