行列式的定义及性质

行列式的定义及性质（张俊敏）教学目标与要求通过学习，使学生理解n阶行列式的定义，熟练掌握二、三阶行列式性质，能运用性质求行列式的值。教学重点与难点教学重点：n阶行列式的定义及性质。教学难点：n阶行列式定义的理解.教学方法与建议通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式，了解行列式及其应用，在此基础上引出一般意义上的n阶行列式定义。要特别指出：行列式是一种运算，其结果是一个数；其意义在于在由数组成的形式（方阵）与数域之间建立了一种联系，使得我们可以通过数来研究形式的东西，同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。教学过程设计问题的提出求解二、三元线性方程组引出二阶、三阶行列式（二元线性方程组?\o"CurrentDocument"（二元线性方程组?\o"CurrentDocument"a x +a x =b11 1 12 2 1，当aa—aaa x +a x =b 1122 122121 1 22 2 2北0时，可用消元法求得解为:Ioba—abX=―L22 Ioba—abX=―L22 1221aa—aa1122 1221ab—baX= 1^-2 1212aa—aa1122 1221\o"CurrentDocument"b a1.1b a 2 22a11a21a11a—21a

b2a12a22b1a―22a12a22）二阶与三阶行列式二阶行列式：（回顾高中时的二阶与三阶行列式）det（A）二a11a21a12a22二aa—aa，其中a为方程组的11221221系数矩阵.三阶行列式:aaa111213aaaaaaaaa=a2223—a2123+a212221222311aa12aa13aaaaa323331333132313233注:（1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式算出来也是一个数。（2）三阶行列式也是方形矩阵上定义的一种运算。2.n阶行列式的定义:a11a21a12a22anana22a2.n阶行列式的定义:a11a21a12a22anana22a23a21a2321・anna・22a2,n-1—a12+(-1)1+na1nan3annannn阶行列式中去掉an2元素a所在行所在列的元素后，ij得到的n-元素a所在行所在列的元素后，ij得到的n-1ijij并称D=(并称D=(—1)i+jM 为aij ij ij的代数余子式.引入这两个记号则可将2.4）式简记为a11••・••・••・a1,j-1••・a1,j+1••・•••••・a1n••・aM=i，1••・ai—1,j—1ai—1,j+1•••an—1,njai+1,1••・ai+1,j-1ai+1,j+1••・ai+1,n•••••••••••・•••••・an1••・an,j—1an,j+1••・ann2。5)TOC\o"1-5"\h\zp 1+k2。5)detA=aM—aM+•••+(—1)1+naM=》(—1)aM11 11 12 12 1n1n 1k 1kk=1或detA=aD+aD+•••+aD=EaD （2。6）1111 1212 1n1n 1k1kk=1式（2。4）（2.5）和（2.6）统称为n阶行列式按第一行的展开式。注：1记一阶行列式|a|=a，但注意不要将其与绝对值概念混淆。2一些特殊的行列式（下三角行列式，上三角行列式,对角型行列式）a110…0a11a12•-a1n九1九1aa…00a•-a九九21•22•・♦222n2..2aa…a00a九九n1n2nnnnnn其中一类很好求值的行列式——上三角行列式。例1

a0…0ii…0a(1)a2ia22=a22.••••■••••11a ••-aaa…an2 nnn1n2nn••=aa11 22 nn2）行列式的性质行列式运算从本质上讲，是由数组成的一种形式上定义的运算，但随着形式的改变，行列式的值有那些变化呢？下面性质就解决了这些问题。性质1行列式与它的转置行列式相等.注性质1表明行列式中行与列具有同等的地位,也就是说：行列式对行成立的性质，对列也同样成立,反之亦然。性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号。推论若行列式中有两行元素完全相同,则行列式为零。性质3用数k乘行列式某一行中所有元素，等于用数k乘此行列式。换句话叙述此性质即是推论某一行所有元素的公因子可提到行列式符号的外面。性质4若行列式中有两行元素对应成比例,则行列式为零。性质5若行列式某行的元素是两数之和，则行列式可拆成两个行列式的和.性质6行列式某一行元素加上另一行对应元素的k倍，则行列式的值不变。注性质2、性质3、性质6对应行列式的三种运算，复杂行列式运算均可通过这三种运算的组合运算化为简单行列式运算，然后利用简单行列式（如例2.1）的结果算出复杂行列式的值.2.三种运算分别记为：互换i、j两行（列）：r㈠r（c㈠c） 性质2；ijij第i行（列）提取公因数k：rx丄（cx丄） 性质3的推论；ikik③将第j行（列）的k倍加到第i行（列）上去：r+kr（c+kc） 性质6ijij举例abc d例2计算D例2计算Da2a+b3a+2b+c4a+3b+2c+da3aa3a+b6a+3b+c10a+6b+3c+d解一：abcdabcdr4-r30aa+ba+b+cD=====r2-r10a2a+b3a+2b+c0a3a+b6a+3b+cabcd=-=30aa+ba+b+cr3-r200a2a+b00a3a+babcdr4-r30aa+ba+b+c=a4。00a2a+b000a注意运算中次序有时不能颠倒；还要注意运算r+r（加到第i行上去）与ijr+r的区别。ji2解二:算法不是唯一的，如也可有解法二：abcdabcdr2-r彳-厂0注意运算中次序有时不能颠倒；还要注意运算r+r（加到第i行上去）与ijr+r的区别。ji2解二:算法不是唯一的，如也可有解法二：abcdabcdr2-r彳-厂0aa+ba+b+cr3-2r2 0aa+ba+b+cr4-r02a3a+2b4a+3b+2c仃亠2 00a2a+b03a6a+3bi0a+6b+3c003a7a+3babcd0aa+ba+b+c=a400a2a+b000aa•…a：ii：ik0设D=aki•…akkc…cb…biiik ii••inc…cb...bninkninn-3r例3Db11…Snai1…aikD1=det（jak1…akkD2=det（bj）=b…bn1 nn证明:D-DiD2-（分析：对D作行运算,1证明：算，相当于对D的后n列作相同的列运算，且D的前k列不变。）相当于对D的前k行作相同的行运算，且D的后n行不变；对D?作列运•・•对D作适当的运算r+kr，可将D化为下三角形；同理作适当的列运算c+kc，可将D化为下三角ijij形，分别设为P11…0=p11…Pkk，D2qii…0q,…qn1nn=qi1…qnn，Pk1…Pkk