专题27 两边夹问题和零点相同问题（解析版）

专题27两边夹问题和零点相同问题参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2021春•湖州期末）若存在正实数，使得不等式成立，则A． B． C． D．【解答】解：记，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，．记，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．由题意，又因为，所以，故．另解：正实数，，，令，当时，；当时，，所以在上单调递减，上单调递增，所以（1），于是，于是，当且仅当时不等式取等号，又，当且仅当时不等式取等号，，所以且，解得，所以．故选：．2．（2021•上饶二模）已知实数，满足，则的值为A．2 B．1 C．0 D．【解答】解：不等式，化为，即，所以；设，，；则，所以时，，单调递增，时，单调递减，所以的最大值为（1）；又，所以时，，单调递减，时，单调递增，所以的最小值为；此时满足，即；令，解得，所以．故选：．3．（2021•崇明区期末）若不等式对，恒成立，则的值等于A． B． C．1 D．2【解答】解：当或时，，当时，，当或时，，当时，，设，则在上单调递减，在上单调递增，且的图象关于直线对称，，，即，又，故．．故选：．4．（2021•嘉兴期末）若不等式对，恒成立，则A． B． C． D．【解答】解：当或时，；当时，，当或时；当时，，设，则在上单调递减，在上单调递增，且的图象关于直线对称，，，即，又，故．．故选：．5．（2021•杭州期末）若不等式对任意的，恒成立，则A． B．， C．， D．【解答】解：对任意，恒成立，当时，不等式等价为，即，当时，，此时，则，设，，若，则，函数的零点为，则函数在上，此时不满足条件；若，则，而此时时，不满足条件，故；函数在上，则，上，而在上的零点为，且在上，则，上，要使对任意，恒成立，则函数与的零点相同，即，，故选：．6．（2021•上城区校级期中）若在上始终成立，则的值为A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由在上成立，可得：△，解得：．经过验证只有时成立．下面给出证明：在上始终成立，，或时，，，此时成立．时，，，此时成立．因此只有时成立．故选：．7．（2021•宁波期末）已知函数，，，当时，，则实数的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：设，，则在上为增函数，且（1），若当时，则满足当时，，当时，，即必需过点点，则（1），即，此时函数与满足如图所示：此时，则满足函数的另外一个零点，即，故选：．8．（2021•衢州期中）已知，，当时，，则实数的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：设，，则在上为增函数，且（1），若当时，则满足当时，，当时，，即必需过点点，则（1），即，此时函数与满足如图所示：此时，则满足函数，即，故选：．9．（2021春•杭州期末）若不等式对任意实数恒成立，则A． B．0 C．1 D．2【解答】解：不等式对任意实数恒成立，由于的解集为，，可得在，恒成立，可得，且，即且，解得，又的解集为，，，可得在，，恒成立，可得，或，即或，解得，综上可得，故选：．二．填空题（共21小题）10．（2021春•长沙期末）设，若时，均有，则．【解答】解：当时，均有，（1）时，代入题中不等式，明显不成立．（2），构造函数，，它们都过定点．考查函数：令，得，，．考查函数，时均有，故的图象经过，代入得，，解之得：，或（舍去）．故答案为：．11．设，若时均有，则．【解答】解：（1）时，代入不等式，不等式明显不成立．（2），构造函数，，它们都过定点．考查函数，令，得，，因为，不等式成立；；考查函数，因为时均有，显然此函数过点，，代入得：，解之得：，或（舍去）．故答案为：．12．（2021春•西湖区校级期中）若，是实数，是自然对数的底数，，则．【解答】解：，（当时取等号），，，此时时取等号，，（当时取等号），，此时取等号，又，，故有且同时成立，解可得，，，此时．故答案为：13．（2021•北仑区校级期中）已知，为实数．不等式对一切实数都成立，则5．【解答】解：不等式对一切实数都成立，可得，由，当或4时，取得等号，即最小值为0，所以，但，所以，则，，即，，所以，故答案为：5．14．设，若对任意的时均有，则．【解答】解：（1）时，代入题中不等式明显不恒成立．（2），构造函数，，它们都过定点．考查函数令，得，，；考查函数，时均有，过点，，代入得：，解之得：，或（舍去）．故答案为：15．设，若时均有，则．【解答】解：构造函数，，它们都过定点．考查函数，令，得，，由，则；考查函数，显然过点，，代入得：，解之得：，或（舍去）．故答案为：．16．（2012•浙江）设，若时，均有，则．【解答】解：（1）时，代入题中不等式明显不成立．（2），构造函数，，它们都过定点．考查函数：令，得，，；考查函数，时均有，过点，，代入得：，解之得：，或（舍去）．故答案为：．17．（2013•浙江）设，，若时恒有，则等于．【解答】解：验证发现，当时，将1代入不等式有，所以，当时，可得，结合可得，令，即（1），又，，令，可得，则在，上减，在，上增，又，所以，（1），又时恒有，结合（1）知，1必为函数的极小值点，也是最小值点．故有（1），由此得，，故．故答案为：．18．（2021•义乌市月考）已知，满足在定义域上恒成立，则的值为0．【解答】解：令，解得或，依题意，函数的零点也为或，（因为的值域为，若函数的零点不为或，则必有解，则与题设矛盾．即，解得．经检验，符合题意．故答案为：0．19．（2021•泰兴市校级期中）已知函数的定义域为，若恒成立，则的值为．【解答】解：当时，时，有，，，欲使，恒成立，则，；当时，时，有，，，欲使，恒成立，则，；故．故答案为：．20．（2021•河南模拟）已知函数，若恒成立，则的值为0．【解答】解：令，解得或，依题意，函数的零点也为或，（因为的值域为，若函数的零点不为或，则必有解，则与题设矛盾．即，解得．经检验，符合题意．故答案为：0．21．（2021•鄞州区校级期中）不等式对任意恒成立，则1．【解答】解：由题意不等式，等价于①或②解①，，即，由绝对值的几何意义可知，，对任意恒成立，由二次函数图象可知，，故只能取1，解②，由①知无解，故答案为：1．22．（2021•萧山区校级模拟）设，，若对任意，都有，则1．【解答】解：首先令，知，其次考虑过定点的的直线与开口向上的抛物线满足对任意所对应图象的点不在轴的同侧，因此，又，，，故答案为：1．23．（2021•石家庄期末）【示范高中】设，，若对任意，都有，则．【解答】解：根据题意，设，，当时，，而不可能在，上恒成立，必有，对于，，在，，在，，；若，则对于，在，，在，，；而为一次函数，则必有，且，变形可得：，又由，，则，；故；故答案为：．24．已知函数，，，当时，，则实数的取值范围为．【解答】解：设，，则在上为增函数，且（1），若当时，则满足当时，，当时，，即必需过点点，则（1），即，此时函数与满足如图所示：此时，则满足函数的另外一个零点，即，故答案为：25．（2021春•迎泽区校级月考）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是【解答】解：不等式在上恒成立，等价于或在上恒成立，令，，（1）当时，，而在上不恒成立，故，（2）当时，为增函数，且经过点，令可得，，故在上单调递增，令，解得．（3）当时，为减函数，故在恒成立，故只需在上恒成立即可．令可得，当时，，当时，，在上单调递增，在，上单调递减，故在处取得最大值，令，解得．综上，的取值范围是，．故答案为：，．26．（2021•厦门一模）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是或．【解答】解：，则，令，则，时，，时，时，函数取得最大值，，，；时，则，在上不恒成立，不合题意；时，或，，综上，或．27．（2021•杭州期末）已知不等式对恒成立，则的值为．【解答】解：，当时，，当时，，又对恒成立，①若，与均为定义域上的增函数，在上，可均大于0，不满足题意；②若，则对不恒成立，不满足题意；．作图如下：由图可知，当且仅当方程为的曲线与方程为的直线相交于点，即满足时，对恒成立，解方程得，解得．故答案为：．28．（2021•西湖区校级期中）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为．【解答】解：因为对任意的，不等式恒成立，所以对任意的，不等式恒成立，令，，则在上单调递增．①当时，（a），即恒成立，则恒成立，所以，解得；②当时，不等式恒成立，符合题意；③当时，（a），即可恒成立，所以恒成立，因为在上单调递减，所以当时，（a），解得．综上所述，实数的取值范围为．故答案为：．29．（2021春•宁乡市校级月考）对任意的，不等式恒成立，则实数的值是．【解答】解：对任意的，不等式恒成立，对任意的，不等式恒