北京第十八中学高三数学第一轮复习51平面向量的数量积(或内积)教学案(教师版)

教案51平面向量的数量积（或内积）一、课前检测.（北京市东城区08年高三）已知RtAABC的斜边BC=5,则瓦•前+•包+与•荏的值等于.答案：一25。.（湖北省荆门市08届上期末）如图，在AABC中,BD=1DC,AE=3ED,若AB=A2At=b,则BE=()AI 1TA.—a+—b3 31一17B.——a+—b2 41 17C.—a+—b2 41 17D.——a+—b3 3二、知识梳理.向量的夹角：如下图，已知两个非零向量a和B,作OA=A,OB=B,则NAOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量B与B的夹角，记作〈B,B〉∈[0,兀]。注意：必须把两向量平移到共起点。解读:.数量积的定义：已知两个非零向量B和B，它们的夹角为θ,则数量1B1|B|cosθ叫做a与b的数量积，记作B∙B，即B∙B=|B1|b∣cosθ.零向量与任一向量的数量积为0.注意：B∙B=0,0∙B=b,a+（-a）=0。解读：.数量积的几何意义：①|a|cos〈a,B〉叫做a在B方向上的投影；|B|cos〈a,B〉叫做B在B方向上的投影；②B∙B的几何意义：B∙B等于|B1与B在B方向上的投影|B|cos〈B，B〉乘积或等于1B1与B在B方向上的投影|B|cos〈B，B〉乘积。解读:.数量积的性质：设B是单位向量，〈B，B>=θBB∙B=B∙B=|B|cosθ.与B同向的单位向量的求法：B=ɪ。平行的单位向量呢?Ba「二 fCBB L 八a∙ba在b方向上的投影为：acosθ；B在a方向上的投影|b∣cosθ=^∈RoIaI3)当B与B同向时，B∙B=|B1|B|；当B与B反向时，B∙B=一|B1|B|,特别地，IB・B=|B12,或|B|=\:B2.、-2 -2a=a.L、T曰a=√a-k→ —⅛—a±boa∙b=0.a∙bcosθ= .∖a∖∖b∖①为锐角Oa∙b〉0,a,b不同向；Ia,b〉为直角oa∙b=0；{a,&为钝角→ → ff。a∙b<0,a,b不反向.②B〃BOB∙B=IBi∙IBi或B∙B=-IBi∙IBiOB=λB(B≠0,λ惟一确定)|B∙B|<|b1|B|.解读：5.数量积的运算法则(运算律)®a∙β=β∙a@(a+B)∙c≠a∙c+B∙c@(λa)∙β=λ(a・E)=a•(入E)注意：i)数量积不满足结合律(A∙B)∙3≠A∙(B∙3)2)已知向量通二Z和轴/,己是/上与/同方向的单位向量，作点A在/上的射影4,作点B在I上的射影B，,则叫做向量存在轴I上或在。上的正射影.可以证明W的长度IArBfI=IAB∖cos<a,e>=∖a∙e∖.3)数量积的物理意义一一力作功：一个物体在力下的作用下产生位移s,那么力不所作的功W=IRlI[∣cosθ,其中θ是下与1的夹角，从而W=F•[.解读：三、典型例题分析例1已知1〉=4,|/=5,且[与/；的夹角为60°,求：(2l+3Q∙(31-2b).解：(2a+3b)(3a—2b)=-4变式训练1已知|αl=3,∣bl=4,∣a+b1=5,求|2a-3bI的值.解：6√5变式训练2若向量a与b的夹角为60°,∣b∣=4,(a+2b)∙(a-3b)=-72,则向量a的模是(C)A.2 B.4 C.6 D.12解析：(a+2b)∙(a-3b)=∣a∣2-∣a∣∣b∣cos60°-6∣b∣2=∣a∣2-2∣a∣-96=-72,Λ∣a∣2-2∣a∣-24=0.Λ(∣a∣-6)∙(∣a∣+4)=0.Λ∣a∣=6.小结与拓展：例2如图，在等腰直角ΔABC中，NC=90°,∣AB∣=2√5. ⅛ •- ► * L ⅛ ⅜求(1)AC∙AB的值；(2)CA∙AB的值；(3)BC∙(CA+AB).变式训练3在^ABC中，a=5,b=8,C=60。，则BC∙CA的值为（）A.20B.-20C.20√3 D.-20v-3答案：B变式训练4已知ΔABC中A：B∙BC>0,则ΔABC为（C）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定小结与拓展：例3已知|才|二五，|B|=3,1和B夹角为45。，求当向量才+λB与λ1+8夹角为锐角时，λ的取值范围。答案：λ<11-Y'85,或λ>-11+“85⅛λ≠16 6变式训练5 已知|2|=10,力|=12，且（3a）-（1b）=—36,则a与b的夹角是（B）5A.60° B.120° C.135° D.150°解析：由（3a）•（1b）=-36得a∙b=-60.5.∙.cos〈a,b〉a∙b -60 _1∖a∖∖b∖10X12 2又0°≤<a,b>≤180°,.∙.<a,b〉=120°.变式训练6.若向量C垂直于向量a和b,d=λa+μb（λ∖μ∈R，且λμ≠0），则（B）A.c〃dB.c⊥d C.c不平行于d,也不垂直于d D.以上三种情况均有可能解析：∙.'c⊥a,c⊥b