第17讲 蒙日圆及其应用（解析几何）（解析版）

第17讲蒙日圆及其应用知识与方法1.椭圆的蒙日圆椭圆C:x2a2【证明】方法1:(1)当两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时,设点P的坐标为x0,y0x0≠±由x22因为直线与椭圆相切,所以其判别式为0,得x因为kPAkPB是这个关于k由此得kPA⋅k(2)若两条切线中有一条斜率不存在时,可得点P的坐标是(±a,b),或综上所述:交点P的轨迹是蒙日圆:x2方法2：作变换x'=x设原来两条切线PA,PB斜率分别为k设变换后的坐标系中的动点Px0,y0设变换后的坐标系中的动点Px0,y0即l:kx−y−即kx0由韦达定理可得：k1'由于在原坐标系中x=所以在原坐标系中,轨迹方程为x2【注】双曲线x2a2−y2b2.椭圆蒙日圆的性质性质1.过圆x2+y2=a2+性质2.设P为圆O:x2+y2=a2+b2上任一点,过点(1)C、(2)CD(3)koPk(4)k性质3.过圆x2+y2=a2+b2上的动点注:由性质2中的kOP典型例题【例1】己知椭圆C:x24+y2=1,P为圆x2+y【答案】见解析.【解析】设AB与OP交于点M,由性质2可知,M为AB中点.由性质1可知,∠APB所以MA=由圆的性质可知,OP=因此有∠PAM所以AB∥【例2】已知椭圆C:a2a2(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点Px0,y0为椭圆C外一点,且点P【答案】(1)x29+【解析】（1）可知c=5,ca(2)解法1:构造同构式设两切线为l1①当l1⊥x轴或l1//x轴时,对应②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,则l1的方程为y−y9因为直线与朋圆相切,所以Δ=0,得9整理得x所以k和−1k是k整理得x02+此时点P的轨迹方程为x2因为P(±3,±2)也满足上式,综上知：点P的轨迹方程为x解法2：利用椭圆的光学性质设椭圆的中心为O,F1椭圆的两条切线为PA、M、N分别为F1关于PA由椭圆的光学性质知：F2,A由椭圆定义有:MF设F1M交直线PA于点Q,F2N交直线PB于点则OQ=在矩形PQRS中,由平面几何知识知:OP代入得OP所以点P的轨䢍方程为x2【例3】给定椭圆C:x2a2+a2b2=1(a>b>(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;(2)点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线l1,l(1)证明：当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,l1(2)求证：线段MN的长为定值.【答案】(1)x2【解析】(1)根据题意c=2,a=3,所以(2)①“准圆"与轴正半轴的交点为,设过点且与椭圆相切的直线为,由得.因为直线与椭圆相切,所以,解得.所以的方程分别为.因为,所以.②当直线中有一条斜率不存在时，设直线斜率不存在,则.当时,与“准圆”交于点,此时为(或)，显然直线垂直;同理当时，直线垂直.当斜率存在时,设点,其中.设经过点与椭圆相切的直线为,由得:,由化简整理得:.因为,所以.设的斜率分别为,因为与椭圆相切,所以满足,所以,即垂直.结合①,因为经过点,又分别交其“准圆”于点,且垂直.所以线段为“准圆"的直径,为定值.强化训练1.已知圆C:x2+y2=1,若直线y=kx+2上存在点【答案】(−∞,−1]∪[1,+∞).【解析】|OP|2=1由题意可知,直线y=kx+2故2k2+1⩽22.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>【答案】−【解析】椭圆的蒙日圆为x2+y2=4,所有满足条件的点都在蒙日圆上,由题意可知,直线l3.已知柏圆C:x24+y23=1,l:x+【答案】[2【解析】椭圆的蒙日圆为x2+y2=7,当M在蒙日圆内部时,由M向椭圆引两条切线l1,l2,则l1,l2夹角为钝角,故M所在区域为图中阴影部分,由图可知,当M分别在A,注:从这个题的思路可以看出，当我们拿筷子的手在蒙日圆内部时，筷子的夹角是钝角,手在蒙日圆的外面时,筷子的夹角是锐角,而蒙日圆,就是两种角的分界线了.4.过椭圆x2a2+y2=1(a>1)上一点P及坐标原点O作直线l与圆x【答案】[【解析】a2=|PA|⋅|PB|+1=a2+1−|OP5.已知圆O:x2(1)若点P在圆O上,线段OP的垂直平分线经过椭圆的右焦点,求点P的横坐标;(2)现有如下真命题:“过圆x2+y2=“过圆x2+y2=【答案】(1)174【解析】（1）设点Px0,y0,则x因为点F在线段OP的垂直平分线上,所以|PF所以x由（1）,(2),解得x0=174,所以(2)一般结论为:"过圆x2+y2=(i)当过点Q与椭圆x2a2因为点Q在圆x2+y所以直线y=±b恰好为过点Q与椭圆x2(ii)当过点Q(m,可设切线方程为y−由x2a2整理得b2+a所以Δ=4整理得m所以k综上所述,命题成立.6.已知椭圆C:x2m+y2=1(m【答案】0,3【解析】椭圆C:显然中一条斜率不存在和另一条斜率为0时,两直线与椭圆相交;可设,即,联立椭圆方程可得，由直线和椭圆无交点,可得，化为,解得,由两直线垂直的条件,可将换为,即有,化为,解得或,由题意可得化为,由于时,,可得;同样,由−3m+1m故答案为:0,7.已知从圆C:x2+y2=r2(r>0)A.23 B.4 C.43【答案】C【解析】设其中一条切线的斜率为k,则另一条切线的斜率为−1k,故切线方程分别为y=−将y=kx+整理得1+3k2x2同理将y=−1则Δ2=由①②联立可得,k=±1,故圆C的方程为x2注意到直线l:mx+y−3m又|PC|=(故选:C.8.设椭圆x25+y24=1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C,曲线C的两条切线PA、PB【答案】9(2【解析】设两切线为l1①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,对应②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±5,设l1的斜率为k,则k≠0,l得5因为直线与椭圆相切,所以Δ=0,得5所以−20所以所以同理−1k是方程所以所以点因为综上知：点P的轨迹方程为x2设PA=PB=x,∠A3