第11讲 点乘双根法（解析几何）（解析版）

第11讲点乘双根法知识与方法在计算两个向量的数量积（即点乘）时，会遇到x11.方法介绍所谓的“点乘双根法”,是指构建双根式，整体处理含x1−x2.理论基础二次函数f(x)=ax2+bx+c3.适用类型x1x24.解题步骤化双根式→赋值→整体代入.典型例题下面以一个例题来说明点乘双根法的解题步骤.【例1】已知点Mx0,y0是拋物线y2=2px(【证明】设Ax1,y显然直线AB不与x轴平行，设其方程为x=步骤1:化双根式联立y2=2pxx=my+联立y2=2pxx=步骤2:赋值在(1)中,令y=y0在(2)中,令x=x0步骤3:整体代入即t2即t−所以t=x0情形一：当t=x0−my0情形二：当t=2p+x0+m综上所述：直线AB恒过定点x0通过本例可以看到，利用点乘双根法处理这类问题时，看起来式子仍然不少,实际上运算量已经減少了很多.【例2】设椭圆中心在原点O,长轴在x轴上，上顶点为A,左右顶点分别为F1,F2,线段OF(1)求椭圆的方程;(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使P【解析】（1）设所求椭圆的标准方程为x2a2因为△AB1B2是直角三角形,又AB1

结合

在中,,故由题设条件,得,从而.因比,所求椭圆的标准方程为;(2)显然直线不与轴垂直，设的方程为,因为,则,所以联立因为是方程的两根,所以,令,得,令,得,代入(*),得,化简可得:,所以,故直线方程为:.【例3】设分别为椭圆的左、右顶点,过左焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点.若,求的值.【答案】.【解析】设点,由得直线的方程为,由方程组,消去,整理得.由韦达定理可得.因为,所以由,得.因为是方程的两根,所以令,则,所以令,则所以因为,所以,解得.【例4】设为曲线上两点,与的横坐标之和为4.(1)求直线的斜率;(2)设为曲线上一点,在处的切线与直线平行,且,求直线的方程.【答案】(1)1；(2)【解析】(1)设,则于是直线的斜率.(2)由,得.设,由題设知,解得,于是因为,所以,即.设直线的方程为,因为点在直线上,所以,所以.由得.由,得.在式中,令,得在(1)式中,令,得∴,解得,或(舍）,所以直线的方程为.强化训练1.椭圆,若直线与椭圆交于两点不是左右顶点）,且以直线为直径的圆恒过椭圆的右顶点.求证：直线恒过定点,并求出该点的坐标.【答案】【解析】设椭圆的右顶点为,则联立,整理得:,因为是方程的两个根,所以取,得,所以(2).取,并两边同时乘以,可得(3).将（2和(3)整体代入(*),得,即,即或,当时,直线过点,不合题意;当时,直线,显然恒过定点.2.已知椭圆的右焦点为,过且与轴垂直的弦长为3.(1)求椭圆标准方程;(2)直线过点与满圆交于两点,问轴上是否存在点,使为定值?若存在,求出的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1);(2)见解析【解析】(1)易得椭圆标准方程为;(2)当直线的斜率存在时,设为,则直线的方程为,设,则(1).在(1)中令,得,(3)在(1)中令,得,(4)把(3)4代入(2)并整理得所以,得,此时.当直线的斜率不存在时,,仍有.综上所述,的坐标为.3.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线与椭圆有且只有一个公共点.(1)求椭圆的方程及点的坐标;(2)设是坐标原点,直线平行于,与椭圆交于不同的两点,且与直线交于点.证明:存在常数,使得,并求的值.【答案】(1)(2),【解析】(1),点坐标为,过程路.(2)由已知可设直线的方程为,由方程组可得所以点坐