行政管理课件-多目标决策

多目标决策前面章节中讨论的问题是只有单一决策目标的问题。在经济、管理领域中，有许多的决策对象或问题，往往具有多个（两个或两个以上）决策目标，需要予以同时或综合考虑，尽可能多地满足多个目标。比如：企业的经营计划决策，要同时达到产品产量、成本、利润、资源消耗等都是最优或满意；企业的综合评估、企业资信评级也必须分析多个价值因素，予以综合评价。这些问题的决策就是多目标决策（MultipleObjectiveDecision）。1概述多目标决策是指，当决策对象具有多个价值目标时，要从若干个可行方案（解）中选择一个满意方案（解）或者要对各个方案作出优序的决策方法。其特征是：（1）决策对象所有的多个价值目标，往往是不同经济意义或不同事理意义的一些因素（要素），其量纲因而也可能不相同，而且彼此可能还存在相互冲突，即有的是以最大最优，有的却以最小最优。（2）要同时满足所有目标都达到最优，往往很难，或不可能，因而多半只能求得满意解，或者只满足其中主要目标最优，其他目标次优，甚至予以放弃。2若对多目标决策问题的某可行方案与其他可行方案两两比较时，其决策解一般有三种可能结果：（1）某方案的所有目标都达到了最优，称为完全最优解，这种情形极少。（2）某方案的所有目标都是最劣的，称为劣解，即是可淘汰的方案。（3）某方案的目标有优有劣，既不能肯定该方案为最优，也不能将其淘汰，称这种方案为非劣解，或有效解或帕累托最优解。3多目标决策方法，主要包括如下内容：（1）化多为少法。将多个目标的问题化成为一个目标的问题，然后用单目标方法求解。最常用的是线性加权法：将m个目标分别转化为效用值；再设法确定目标的权重，则问题转化为求单一标量的极值，其中4（2）目标规划法——当所有目标函数和约束条件皆为线性时，可用目标规划法（GoalProgramming）。（3）DEA方法——数据包络分析。（4）AHP方法——层次分析。（5）主成分分析法（多元统计分析）。（6）因子分析法（多元统计分析）。（7）基于人工神经网络BP算法的评估方法。等等。5目标规划的基本概念目标规划与线性规划不同，它不是追求最大利润或最小成本，而是在决策者拟定某些目标的前提下，提出与实现目标差距最小的行动方案。下面以例1为例来说明目标规划中的一些基本概念。6例1某企业生产并销售甲、乙两种产品，每种产品需经过A、B两道工序，所需的加工时间、企业的最大生产能力及每种产品的单位价格、单位利润如下表13-1。现企业决策者提出两个目标：（1）总产值期望每天达到5000元；（2）总利润期望每天达到1000元。试问：产品A、B每天各安排生产多少，才能使这两个目标都能得到最大限度的满足？7表13-1

产

品

单

耗工

序每千克产品所需加工时间每天最大生产能力甲乙（小时）工序A（小时/千克）2130工序B（小时/千克）1224单位价格（元/千克）200370单位利润（元/千克）30808一、正、负偏差变量目标规划是将各个目标写成约束条件。对于每个优化目标都需预先给出该目标的一个预定指标——既定值。该既定值可来自某方面的规定，也可主观上酌情而定。9如在例1中的两个目标值：总产值期望每天达到5000元，以及总利润期望每天达到1000元。有了既定值，目标的实际值与既定值之间就要产生偏差，所以引入衡量目标达到程度的偏差变量和。代表高于原定第i个目标的数额，叫作超额，也称作正偏差变量；代表低于原定第i个目标的数额，叫作不足额，也称作负偏差变量。两者统称为偏差变量，并且都采用正值，即。对于一个目标来说，两者不可能同时发生，即其中必有一个等于0，因而。10优化结果，若时，表示第i个目标预定值与实际达成值无偏差，恰好达成；当时，表示第i个目标有超额量，实际达成值要比预定值大；当时，表示第i个目标有不足额量，第i个目标实际达成值要比预定值小。在例1中，设分别表示产品甲、乙的日产量（单位：千克）。现按照决策者的意志，考虑111．总产值目标约束

式中

——总产值超过5000元的超额量；

——总产值不足5000元的不足量。122．总利润目标约束

式中

——总利润超过1000元的超额量；

——总利润不足1000元的不足量。133．A工序日生产能力约束

4．B工序日生产能力约束

以上，14二、目标的优先等级和权系数1．目标的优先等级目标决策的一个重要特点，就是决策者的意志，即决策者可以根据各个目标在经营管理上的重要性，排出优先等级。15在目标规划中，以优先序数来表示决策中的优先等级。不是数值，它只表示把m个目标分成k个等级，处于前面的优先等级一定重要于后面的优先等级，即，它表示大大优于。在目标规划求解过程中，必须严格地按照目标优先等级的次序考虑问题。只有在高级目标得到满足时，才能考虑低级目标。如果在考虑低级目标的运算过程中，发现与高级目标矛盾或冲突时，必须无条件地服从高一级目标。16在目标规划求解过程中，必须严格地按照目标优先等级的次序考虑问题。只有在高级目标得到满足时，才能考虑低级目标。如果在考虑低级目标的运算过程中，发现与高级目标矛盾或冲突时，必须无条件地服从高一级目标。17在例1中，按照决策者的意志，考虑第一目标，总产值达到5000元。于是，应要求尽可能小，最好，而对则无要求。因此，在目标函数中应有。其中仅仅是一种符号，它表示要把极小化偏差变量列为第一重要目标。18第二目标，总利润达到1000元。于是，应要求尽可能小，最好，而对则无要求。因此，在目标函数中应有。其中也仅仅是一种符号，它表示要把极小化偏差变量列为第二重要目标。192．目标的权系数除去用优先序数表示各个目标之间优先等级之外，有时同一等级几个子目标的重要性也不相同，通常可用加权的方法，表示同一优先等级各子目标之间的次序，即对同一等级各目标的偏差变量与乘以不同的权因子与，其中与是某些正数，与统称为优先权系数或称权因子。20在例1中，如果决策者认为总产值与总利润可以作为同一等级目标，又根据以往产销状况判断，产值每增加4元，利润可相应地增加1元，即产值每减小4元，利润减少1元。此时，就必须在目标函数中的两个偏差变量赋于相应的权系数，以反映这一点，即乘上系数4，乘上系数1，那么目标函数是求最小。需要注意的是，对于不同等级的目标，度量单位可以不同，但是同一等级的几个子目标，度量单位必须相同。21三、目标函数目标规划把要求达到的目标变作约束条件，为此引入偏差变量与，而把总偏差量作为新的目标函数，把总偏差最小作为目的。这样就把多目标问题化为使总偏差量最小的单一目标问题了。22在例1中，按决策者的要求，把总产值作为第一目标，则目标函数中应有一项。把总利润作为第二目标，则目标函数中应有一项。这样，例1的目标函数为

目标规划是求在满足所有约束条件下，求决策变量的值，使目标函数Z值最小。若，则表示所有目标值都能达到；若，则表示至少有一个预定的目标值没有达到。因为，所以不可能有的情况。23经过上述分析，例1的目标规划问题的数学模型可表示为

s.t.①②③④

24四、约束条件目标规划的约束条件通常由两部分组成。一部分是由目标约束条件组成，它们是由决策者预先拟定的目标转变成的。如上述问题中的约束方程式①，②。另一部分是资源约束条件，如上述问题中的约束方程式③，④。称约束方程①，②为“软约束”，而称约束方程式③，④为“硬约束”。所谓“硬约束”就是硬性规定“必须满足”的约束，而不管它实际上是否能满足。这就是在线性规划问题中通用的。25在线性规划的有些问题中，没有可行解，就是因为找不到满足全部约束条件的解。这在市场经济条件下，某种意义上讲，它反映了一种僵化了的决策思想，它使问题毫无变通的回旋余地。针对“硬约束”的缺点，目标规划中一律采用“软约束”。所谓“软约束”就是希望“尽可能满足”的约束。这种“软约束”实际上可能会恰好满足，也可能会不满足，甚至超额满足。为了衡量“软约束”的满足程度，对上述问题中的约束方程式③，④也引入偏差变量和。

26其中

——甲、乙两种产品日使用A工序超过30小时的超额量；

——甲、乙两种产品日使用A工序不足30小时的不足量；

——甲、乙两种产品日使用B工序超过24小时的超额量；

——甲、乙两种产品日使用B工序不足24小时的不足量。27于是，问题（5.1）可以写成

s.t.

从计算简便以及初始可行基的确定考虑，在用单纯形法解目标规划时，通常对硬约束条件（资源限制条件）只引入负偏差变量，而不引入正偏差变量。28目标规划模型一、建立模型的步骤建立目标规划的数学模型可分为两步。（一）建立多目标线性规划模型1．确定决策变量；2．建立各约束条件方程或不等式（资源限制）；3．建立各个有关的目标函数。29（二）将多目标线性规划模型化为目标规划模型1．确定每个目标的目标值（决策者的愿望）；2．对每个目标引入正、负偏差变量，建立目标约束方程，将其并入约束条件中去；3．对所有的约束方程引入正、负偏差变量使成为等式（即使原约束方程是等式也可以引入偏差变量）；4．按一定优先等级与优先系数，以及对各项目标的具体要求，建立目标函数。30例1某公司经销两种货物，售出每吨甲货物可盈利202元，乙货物可盈利175元，各种货物每吨所占用的流动资金为683元，公司现有流动资金1200万元，货物经销中有8.48%的损耗。公司的决策者希望下月能达到以下目标。（1）第一目标：盈利5030000元以上；（2）第二目标：经销甲货物5000吨以上；（3）第三目标：经销乙货物18000吨以上；（4）第四目标：经销损耗在1950吨以下。试问应怎样决策？31解设分别表示下月经销甲、乙货物的吨数。由问题首先建立多目标线性规划模型。

s.t.

32再由决策者的要求，建立目标规划模型。

s.t.（利润）（甲货物）（甲货物）（损耗）（资金占用）

33其中是盈利超过和不足503万元的偏差变量；是经销甲货超过和不足5000吨的偏差变量；是经销乙货超过和不足18000吨的偏差变量；是经销损耗超过和不足1950吨的偏差变量；是资金占用超过和不足1200万元的偏差变量。34二、目标规划模型的矩阵形式目标规划模型的矩阵形式可以写成如下标准形式。

s.t.

其中为目标的优先等级（共K级）；

分别为第i个目标值的正、负偏差变量；35

分别为级目标中的权系数；

为第i个目标中，的相应系数；

为决策变量；

为决策者预定的第i个目标的目标值。36例2将下列目标规划模型写成矩阵形式

s.t.

37解

38

s.t.39矩阵中的第一行为第一等级P1中正偏差变量的权系数2，1，0；第二行为第二等级P2中正偏变量的权系数0，0，0。矩阵中的第一行为第一等级P1中负偏差变量的权系数0，0，0；第二行为第二等级P2中负偏变量的权系数0，0，1。40目标规划的解法图解法、单纯形法，具体从略。41主成分分析一、什么是主成分分析及基本思想1．什么是主成分分析在实际问题中，研究多指标（变量）问题是经常遇到的，然而在多数情况下，不同指标之间具有一定相关性。由于指标较多再加上指标之间有一定的相关性，势必增加了分析问题的复杂性。主成分分析就是设法将原来指标重新组合成一组新的互相无关的几个综合指标来代替原来指标，同时根据实际需要从中可取几个较少的综合指标尽可能多地反映原来指标的信息。42这种将多个指标化为少数互相无关的综合指标的统计方法叫做主成分分析或称主分量分析。也是数学上处理降维的一种方法，例如，某人要做一件上衣要测量很多尺寸，如身长、袖长、胸围、腰围、肩宽、肩厚等十几项指标，但某服装厂要生产一批新型服装绝不可能把尺寸的型号分得过多，而是从多种指标中综合成几个少数的综合指标，做为分类的型号，利用主成分分析将十几项指标综合成3项指标，一项是反映长度的指标，一项是反映胖瘦的指标，一项是反映特体的指标。在商业经济中用主成分分析可将复杂的一些数据综合成几个商业指数形式，如物价指数等等。43主成分分析除了可以单独用来处理上面所讨论的这一类问题外，还可以与其它方法结合起来使用，例如与回归分析结合起来就是主成分回归，它可以克服回归问题中由于自变量之间的高度相关而产生的分析困难。442．基本思想主成分分析就是设法将原来众多具有一定相关性的指标（比如p个指标），重新组合成一组新的相互无关的综合指标来代替原来指标。通常数学上的处理就是将原来p个指标作线性组合，作为新的综合指标，但是这种线性组合，如果不加限制，则可以有很多，我们应该如何去选取呢？如果将选取的第一个线性组合即第一个综合指标记为F1，自然希望F1尽可能多的反映原来指标的信息，这里的“信息”用什么来表达？最经典的方法就是用F1的方差来表达，即Var（F1

）越大，表示包含的信息越多。45因此在所有的线性组合中所选取的F1应该是方差最大的，故称为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来p个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，用数学语言表达就是要求Cov(F1

,F2

)=0，称F2为第二主成分，依此类推可以造出第三，四，……，第p个主成分。46不难想象这些主成分之间不仅不相关，而且它们的方差依次递减。因此在实际工作中，就挑选前几个最大主成分，虽然这样做会损失一部分信息，但是由于它使我们抓住了主要矛盾，并从原始数据中进一步提取了某些新的信息，因而在某些实际问题的研究中得益比损失大，这种既减少了变量的数目又抓住了主要矛盾的做法有利于问题的分析和处理。47二、主成分分析的数学模型及几何解释1．数学模型设有n个样品，每个样品观测p项指标（变量）：，得到原始数据资料阵：

其中

48用数据矩阵X的p个向量（即p个指标向量）作线性组合（即综合指标向量）为：

简写成（注意：是n维向量，所以也是n维向量。）49上述方程组要求：

且系数由下列原则决定：（1）与不相关；（2）是的一切线性组合（系数满足上述方程组）中方差最大的，是与不相关的一切线性组织中方差最大的，…，是与都不相关的的一切线性组合中方差最大的。50如何求满足上述要求的方程组的系数呢？下一节将会看到每个方程式中的系数向量，不是别的而恰好是X的协差阵的特征值所对应的特征向量，也就是说，数学上可以证明使Var（F1）达到最大，这个最大值是在的第一个特征值所对应特征向量处达到。依此类推使达到最大值是在的第p个特征值所对应特征向量处达到。51这里要说明两点：一个是数学模型中为什么作线性组合？基于两种原因：①数学上容易处理；②在实践中效果很好。另一个要说明的是每次主成分的选取使最大，如果不加限制就可使，则就无意义了，而常用的限制是要求。522．主成分的几何意义从代数学观点看主成分就是p个变量的一些特殊的线性组合，而在几何上这些线性组合正是把构成的坐标系旋转产生的新坐标系，新坐标轴使之通过样品变差最大的方向（或说具有最大的样品方差）。下面以最简单的二元正态变量来说明主成分的几何意义。53设有n个样品，每个样品有p个变量，它们的综合变量记为。当p=2时，原变量是设，它们有下图的相关关系：54对于二元正态分布变量，n个点的散布大致为一个椭圆，若在长轴方向取坐标轴F1，在短轴方向取F2，这相当于在平面上作一个坐标变换，即按逆时针方向旋转角度，根据旋轴变换公式新老坐标之间有关系。

55我们看到是原变量的线性组合，用矩阵表示是

显然且是正交矩阵，即56从上图还容易看出二维平面上的n个点的波动（可用方差表示）大部分可以归结为在F1轴上的波动，而在F2轴上的波动是较小的。如果上图的椭圆是相当扁平的，那么我们可以只考虑F1方向上的波动，忽略F2方向的波动。这样一来，二维可以降为一维了，只取第一个综合变量F1即可。而F1是椭圆的长轴。一般情况，p个变量组成p维空间，n个样品就是p维空间的n个点，对p元正态分布变量来说，找主成分的问题就是找p维空间中椭球体的主轴问题。57三、主成分的推导及性质在下面推导过程中，要用到线性代数中的两个定理先作一下复习：定理一若A是阶实对称阵，则一定可以找到正交阵U使，其中是A的特征根58

定理二若上述矩阵A的特征根所对应的单位特征向量为令则实对称A属于不同特征根所对应的特征向量是正交的即。591．主成分的推导设其中，，求主成分就是寻找X的线性函数使相应的方差尽可能地大即使

达到最大值，且。60设协差阵的特征根为，相应的单位特征向量为，可以证明：的主成分就是以的特征向量为系数的线性组合，它们互不相关，其方差为的特征根。61由于的特征根，所以有：。了解这一点也就可以明白为什么主成分的名次是按特征根取值大小的顺序排列的。在解决实际问题时，一般不是取p个主成分，而是根据累计贡献率的大小取前k个。62定义称第一主成分的贡献率为，由于，所以

。因此第一主成分的贡献率就是第一主成分的方差在全部方差中的比值。这个值越大，表明第一主成分综合信息的能力越强。63前两个主成分的累计贡献率定义为，前k个主成分的累计贡献率定义为。如果前k个主成分的贡献率达到85%，表明取前k个主成分基本包含了全部测量指标所具有的信息，这样既减少了变量的个数又便于对实际问题的分析和研究。值得指出的是：当协差阵未知时，可用其估计值S（样本协差阵）来代替。64设原始资源阵为：

则其中65而相关系数阵：其中显然当原始变量标准化后，则

66实际应用时，往往指标的量纲不同，所以在计算之前先消除量纲的影响，而将原始数据标准化，这样一来S和R相同。因此一般求R的特征根和特征向量，并且不妨取。因为这时的R与只差一个系数，显然与的特征根相差n倍，但它们的特征向量不变，它并不影响求主成分。672．主成分的主要性质（略）68四、计算步骤及实例设有n个样品，每个样品观测p个指标，将原始数据写成矩阵

1．将原始数据标准化。这里为书写方便，不妨设上述矩阵已标准化了。2．建立变量的相关系数阵：不妨设693．求R的特征根及相应的单位特征向量：

4．写出主成分

实例（略）70因子分析一、什么是因子分析及基本思想因子分析的形成和发展有相当长的历史，最早用以研究解决心理学和教育学方面的问题，由于计算量大，又缺少高速计算的设备使因子分析的应用和发展受到很大的限制，甚至停滞了很长时间。后来由于电子计算机的出现，才使因子分析的理论研究和计算问题，有了很大的进展。目前这一方法的应用范围已十分广泛，在经济学、社会学、考古学、生物学、医学、地质学以及体育科学等各个领域都取得了显著的成绩。711．什么是因子分析因子分析是主成分分析的推广和发展，它也是将具有错综复杂关系的变量（或样品）综合为数量较少的几个因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系，同时根据不同因子还可以对变量进行分类，它也是属于多元分析中处理降维的一种统计方法。72例如，某公司对100名招聘人员的知识和能力进行测试，出了50道题的试卷，其内容包括的面较广，但总的来讲可归纳为六个方面：语言表达能力、逻辑思维能力、判断事物的敏捷和果断程度、思想修养、兴趣爱好、生活常识等，我们将每一个方面称为因子，显然这里所说的因子不同于回归分析中因素，因为前者是比较抽象的一种概念，而后者有着极为明确的实际意义，如人口密度、工业总产值、产量等。73假设100人测试的分数可以用上述六个因子表示成线性函数：

其中表示六个因子，它对所有是共有的因子，通常称为公共因子，它们的系数称为因子载荷，它表示第i个应试人员在六个因子方面的能力。是第i个应试人的能力和知识不能被前六个因子包括的部分，称为特殊因子，通常假定，仔细观察这个模型与回归模型在形式上有些相似，实质很不同。这里的的值未知的，并且有关参数的统计意义更不一样。74因子分析的任务，首先是估计出和方差，然后将这些抽象因子赋予有实际背景的解释。利用综合出的少数因子，以再现原始变量和因子之间的相互关系，以达到降维和对原始变量进行分类的目的。752．基本思想因子分析的基本思想是通过变量（或样品）的相关系数矩阵（对样品是相似系数矩阵）内部结构的研究，找出能控制所有变量（或样品）的少数几个随机变量去描述多个变量（或样品）之间的相关（相似）关系，但在这里，这少数几个随机变量是不可观测的，通常称为因子。然后根据相关性（或相似性）的大小把变量（或样品）分组，使得同组内的变量（或样品）之间相关性（或相似性）较高，但不同组的变量相关性（或相似性）较低。76

从全部计算过程来看作R型因子分析与作Q型因子分析都是一样的，只不过出发点不同，R型从相关系数矩阵出发，Q型从相似系数阵出发都是对同一批观测数据，可以根据其所要求的目的决定用哪一类型的因子分析。77二、因子分析的数学模型1．数学模型（正交因子模型）因子分析数学模型用矩阵表示：

78简记为

且满足：；，即F和是不相关的；79即不相关且方差皆为1。即不相关，且方差不同。80其中是可实测的p个指标所构成p维随机向量，是不可观测的向量，F称为X的公共因子或潜因子，即前面所说的综合变量，可以把它们理解为在高维空间中的互相垂直的m个坐标轴；称为因子载荷是第i个变量在第j个公共因子上的负荷，如果把变量看成m维因子空间中的一个向量，则表示在坐标轴上的投影，矩阵A称为因子载荷矩阵；称为X的特殊因子，通常理论上要求的协方差阵是对角阵，中包括了随机误差。81因子分析的目的就是通过模型以F代替X，由于