广东省广州市海珠区中学山大附属中学2024届数学九年级第一学期期末达标测试试题含解析

广东省广州市海珠区中学山大附属中学2024届数学九年级第一学期期末达标测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分)1．反比例函数的图象经过点，则下列各点中，在这个函数图象上的是（）A． B． C． D．2．在四张完全相同的卡片上．分别画有等腰三角形、矩形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（）A． B． C． D．13．已知是关于的一个完全平方式，则的值是（）．A．6 B． C．12 D．4．将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A． B．C． D．5．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2019﹣2a+2b的值等于（）A．2015 B．2017 C．2019 D．20226．若二次函数的图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．2019年教育部等九部门印发中小学生减负三十条：严控书面作业总量，初中家庭作业不超过90分钟．某初中学校为了尽快落实减负三十条，了解学生做书面家庭作业的时间，随机调查了40名同学每天做书面家庭作业的时间，情况如下表．下列关于40名同学每天做书面家庭作业的时间说法中，错误的是（）书面家庭作业时间（分钟）708090100110学生人数（人）472072A．众数是90分钟 B．估计全校每天做书面家庭作业的平均时间是89分钟C．中位数是90分钟 D．估计全校每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有9人8．如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（）A． B． C． D．9．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．10．二次函数y=a（x+k）2+k，无论k为何实数，其图象的顶点都在（）A．直线y=x上 B．直线y=﹣x上 C．x轴上 D．y轴上二、填空题(每小题3分,共24分)11．二次函数的图象经过点（4，﹣3），且当x＝3时，有最大值﹣1，则该二次函数解析式为_____．12．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，，那么AC=_____．13．分解因式____________．14．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______．15．方程x2﹣4x﹣6＝0的两根和等于_____，两根积等于_____．16．将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若是钝角的外心，则的坐标为__________．17．如图，在四边形中，，，，.若，则______.18．若＝，则的值是_________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）；（2）判断并证明：直线DE与⊙O的位置关系；（3）若AB=10，BC=8，求CE的长．20．（6分）矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6，0)、C(0，3)，直线y=x与BC边相交于D．（1）求点D的坐标：（2）若抛物线y=ax＋bx经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式：（3）P为x轴上方（2）题中的抛物线上一点，求△POA面积的最大值．21．（6分）（1）计算：|﹣2|+（π﹣3）1+2sin61°．（2）解下列方程：x2﹣3x﹣1＝1．22．（8分）解方程（1）7x2－49x＝0；（2）x2－2x－1＝0.23．（8分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行90km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A，C两港之间的距离．24．（8分）化简（1）（2）25．（10分）已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①或②；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．26．（10分）如图，在平面直角坐标中，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，作直线分别交于两点，已知.（1）求反比例函数的解析式；（2）求的面积.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】计算k值相等即可判断该点在此函数图象上.【题目详解】k=-23=-6，A.23=6，该点不在反比例函数的图象上；B.-2（-3）=6，该点不在反比例函数的图象上；C.16=6，该点不在反比例函数的图象上，D.1(-6)=-6，该点在反比例函数的图象上，故选：D.【题目点拨】此题考查反比例函数的性质，正确计算k值即可判断.2、C【分析】在等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案．【题目详解】∵等腰三角形、矩形、菱形、圆中是中心对称图形的有矩形、菱形、圆，∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是中心对称图形的概率是：．故选：C．【题目点拨】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．也考查了中心对称图形的定义．3、B【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3积的2倍，故m=±1．【题目详解】∵（x±3）2=x2±1x+32，∴是关于的一个完全平方式，则m=±1．故选：B．【题目点拨】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．4、A【题目详解】解：∵抛物线向左平移2个单位后的顶点坐标为（﹣2，0），∴所得抛物线的解析式为．故选A．【题目点拨】本题考查二次函数图象与几何变换，利用数形结合思想解题是关键．5、A【分析】将x＝﹣1代入方程得出a﹣b＝2，再整体代入计算可得．【题目详解】解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，则a﹣b＝2，∴原式＝2019﹣2（a﹣b）＝2019﹣2×2＝2019﹣4＝2015故选：A．【题目点拨】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念及整体代入思想的运算．6、D【解题分析】由抛物线与x轴有两个交点可得出△=b2-4ac＞0，进而可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【题目详解】∵抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，即4-4m＞0，解得：m＜1．故选D．【题目点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．7、D【分析】利用众数、中位数及平均数的定义分别确定后即可得到本题的正确的选项．【题目详解】解：A、书面家庭作业时间为90分钟的有20人，最多，故众数为90分钟，正确；B、共40人，中位数是第20和第21人的平均数，即＝90，正确；C、平均时间为：×（70×4＋80×7＋90×20＋100×8＋110）＝89，正确；D、随机调查了40名同学中，每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有8＋1＝9人，故估计全校每天做书面家庭作业的时间超过90分钟的有9人说法错误，故选：D．【题目点拨】本题考查了众数、中位数及平均数的定义，属于统计基础题，比较简单．8、B【分析】根据圆周角的性质即可求解.【题目详解】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°，同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，故∠CPD=,故选B.【题目点拨】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.9、A【分析】根据平行线分线段成比例定理与相似三角形的性质，逐项判断即得答案．【题目详解】解：A、∵DE∥BC，∴，故本选项正确；B、∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴，故本选项错误；C、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故本选项错误；D、∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴，故本选项错误．故选：A．【题目点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答的关键．10、B【解题分析】试题分析：根据函数解析式可得：函数的顶点坐标为（-k，k），则顶点在直线y=-x上.考点：二次函数的顶点二、填空题(每小题3分,共24分)11、y＝﹣2（x﹣3）2﹣1【分析】根据题意设出函数的顶点式，代入点(4，﹣3)，根据待定系数法即可求得．【题目详解】∵当x=3时，有最大值﹣1，∴设二次函数的解析式为y=a(x﹣3)2﹣1，把点(4，﹣3)代入得：﹣3=a(4﹣3)2﹣1，解得a=﹣2，∴y=﹣2(x﹣3)2﹣1．故答案为：y=﹣2(x﹣3)2﹣1．【题目点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．12、2【解题分析】如图所示，在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosA=，∴cosA=，则AC=AB=×6=2，故答案为2.13、【分析】先提取公因式，再利用平方差公式即可求解．【题目详解】故答案为：．【题目点拨】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．14、1【解题分析】试题分析：设方程的另一个解是a，则1×a=1，解得：a=1．故答案是：1．考点：根与系数的关系．15、4﹣6【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得答案．【题目详解】设方程的两个根为x1、x2，∵a=1，b=-4，c=-6，∴x1+x2=-=4，x1·x2==-6，故答案为4，﹣6【题目点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程y=ax2+bx+c（a≠0）的两个根为x1、x2，那么，x1+x2=-，x1·x2=；熟练掌握韦达定理是解题关键．16、或【解题分析】由图可知P到点A，B的距离为，在第一象限内找到点P的距离为的点即可．【题目详解】解：由图可知P到点A，B的距离为，在第一象限内找到点P的距离为的点，如图所示，由于是钝角三角形，故舍去（5，2），故答案为或．【题目点拨】本题考查了三角形的外心，即到三角形三个顶点距离相等的点，解题的关键是画图找到C点．17、【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，然后根据正切定义可算出．【题目详解】∵,，∴，∵AB=2，∴AC=6，∵AC⊥CD，∴，∴故答案为：.【题目点拨】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦，正切的定义是解题的关键.18、．【分析】根据等式的性质，可用a表示b，根据分式的性质可得答案．【题目详解】解：由＝得，b=a，∴，故答案为：．【题目点拨】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出b=a是解题的关键，又利用了分式的性质．三、解答题(共66分)19、(1)见解析;(3)直线DE是⊙O的切线,证明见解析;（3）3.3或4.3【分析】（1）依据题意，利用尺规作图技巧补全图形即可；（3）由题意连结OD，交BC于F，判断并证明OD⊥DE于D以此证明直线DE与⊙O的位置关系；（3）由题意根据相关条件证明平行四边形CFDE是矩形，从而进行分析求解.【题目详解】（1）如图．（3）判断：直线DE是⊙O的切线．证明：连结OD，交BC于F．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∴．∴OD⊥BC于F．∵DE∥BC，∴OD⊥DE于D．∴直线DE是⊙O的切线．（3）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵AB=10，BC=8，∴AC=1．∵∠BOF=∠ACB=90°，∴OD∥AC．∵O是AB中点，∴OF==3．∵OD==5，∴DF=3．∵DE∥BC，OD∥AC，∴四边形CFDE是平行四边形．∵∠ODE=90°，∴平行四边形CFDE是矩形．∴CE=DF=3．【题目点拨】本题结合圆考查圆的尺规作图以及圆的切线定义和矩形的证明，分别掌握其方法定义进行分析.20、（1）(4，3)；（2）y=x+x；（3）【分析】（1）根据矩形的性质可知点D的纵坐标为3，代入直线解析式即可求出点D的横坐标，从而可确定点D的坐标；（2）直接将点A、D的坐标代入抛物线解析式即可；（3）当P为抛物线顶点时，△POA面积最大，将抛物线解析式化为顶点式，求出点P的坐标，再计算面积即可．【题目详解】解：（1）设D的横坐标为x,则根据题意有3=x，则x=4∴D点坐标为（4，3）（2）将A（6，0），D(4,3)代入y=ax＋bx中，得解得：∴此抛物线的表达式为：y=x+x；（3）由于△POA底边为OA=6，∴当P为抛物线顶点时，△POA面积最大∴∴∴的最大值为【题目点拨】本题是一道二次函数与矩形相结合的题目，熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．21、（1）3；（2）【分析】（1）由题意先计算绝对值、零指数幂，代入三角函数值，再进一步计算可得；（2）根据题意直接利用公式法进行求解即可．【题目详解】解：（1）|﹣2|+（π﹣3）1+2sin61°＝2﹣+1+2×＝2﹣+1+＝3；（2）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞1，则x＝，即x1＝，x2＝．【题目点拨】本题主要考查含三角函数值的实数运算以及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．22、（1）x1＝0,x2＝7；（2），【解题分析】（1）用因式分解法求解即可；（2）用配方法求解即可.【题目详解】（1）∵7x2－49x＝0，∴x2－7x＝0，∴.解得x1＝0，x2＝7（2）移项,得,配方,得,开平方,得.解得，【题目点拨】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.23、（90+30）km．【分析】过B作BE⊥AC于E，在Rt△ABE中，由∠ABE＝45°，AB＝，可得AE＝BE＝AB＝90km，在Rt△CBE中，由∠ACB＝60°，可得CE＝BE＝30km，继而可得AC＝AE+CE＝90+30．【题目详解】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝90，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝，∴AE＝BE＝AB＝90km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝30km，∴AC＝AE+CE＝90+30，∴A，C两港之间的距离为（90+30）km．【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．24、（1）；（2）.【分析】（1）直接利用乘法公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案；（2）直接将括号里面通分进而利用分式的乘除运算法则计算得出答案.【题目详解】解：（1）（2）【题目点拨】此题主要考查了分式的混合运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．25、（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析．【分析】(1)添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．(2)作直径AM,连接CM，推出∠M=∠B