矩阵初等变换在高等代数中的应用

矩阵初等变换在高等代数中的应用

矩阵作为一种矩阵运作方法，矩阵的初等变换在高等代数中起着非常重要的作用，也是高等代教育的重点和难点。在这项工作中，我们使用了等式矩阵、块矩阵和-矩阵的矩阵变换方法，并希望将矩阵理论的教育应用于矩阵理论的应用。1基于矩阵的某畅通列矩阵初等变换指下列的3种变换:一是用数域P中的一个非零的数c乘矩阵的某一行(列);二是把矩阵的某一行(列)的c倍加到另一行(列),其中c是数域P中的任意一个数;三是互换矩阵中两行(列)的位置.以下探讨初等变换在数字矩阵中的应用.1.1可逆性判断矩阵a的可逆性利用初等变换将矩阵化为阶梯形,若其对应的行列式不为零则矩阵可逆,且行列式的值等于主对角线上各元素之积,但应注意第三种变换会使行列式的值变号,第一种变换会使行列式的值变为原来的c倍.例1判断矩阵A的可逆性并求|A|,已知解:由于|A|≠0,故A可逆.又由于在上述初等变换过程中曾进行过一次两行的互换,故|A|=-(-13)×16×1.5=312.1.2逆矩阵法求解设A为n阶可逆阵,将A与E组成一个n行2n列矩阵(AE,),则由A-1(AE,)=(E,A-1)可知,通过对矩阵(AE,)作一系列行初等变换,即可求出A-1.用这种方法求逆矩阵,应注意的是只能进行行初等变换.例2求A-1,已知解:由于于是1.3确定原矩阵秩由于初等变换不改变矩阵的秩,故可先利用行初等变换将原矩阵化为行梯形矩阵,从而确定原矩阵的秩.例3求r(A),已知解:由于因此r(A)=3.1.4自由变量的运用对线性方程组的增广矩阵作行初等变换,将增广矩阵化为行阶梯型,即可得到方程组的解.用这种方法解线性方程组,应注意的是只能作行初等变换.例4解线性方程组解:由于故r(A)=2.通解中有4-2=2个自由变量,即令ξ1=(-2,1,0,0)T,ξ2=(1,0,0,1)T,则方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2,其中k1,k2为任意数.2变换分块矩阵矩阵分块是矩阵理论中的基本方法之一,而初等变换则是处理分块矩阵的重要工具.对一个分块矩阵A作一次初等行(列)变换,就相当于在A的左(右)边乘上一个相应的分块初等矩阵.2.1采用分块矩阵的等分维方法，反矩阵的逆矩阵示例5其中矩阵A和D可逆,O为零矩阵,求T-1.解:由于则2.2n矩阵非变异顺序易证矩阵的秩有以下初等性质:设A是一个r×s矩阵,B是一个p×q矩阵,则当且仅当A(或B)是非奇异方阵或者C为零矩阵时等号成立.例6设A是m×n矩阵的非奇异顺序主子阵,则证明:因为而A是非奇异阵,故2.3行列公式的值是通过分块矩阵的初等变换来计算的证明:由于(I为单位阵),两边取行列式则可得3-矩阵的初等变换对一个s×n阶λ-矩阵A(λ)作一次初等变换,就相当于在A(λ)的左边乘上一个s×s初等矩阵,或者在A(λ)的右边乘上一个n×n初等矩阵.初等矩阵都是可逆的,并且有P(i,j)-1=P(i,j),P(i(c))-1=P(i(c-1))P,(i,j(ϕ))-1=P(i,j(-ϕ)).λ-矩阵的初等变换主要用来求矩阵的标准形,进而求初等因子、不变因子等.例8用初等变换化λ-矩阵为标准形,并求出其不变因子和初等因子.解:先化A(λ)为标准形.故不变因子分别为1,λ和λ2+1,初等因子为λ,λ和(λ+1).此外,也可利用λ-矩阵及其初等变换求多项式的最大公因式.具体步骤为:对A施行一系列行初等变换,逐步消去两个多项式中次数较高的首项,降低其次数,直到有一个多项式变为零多项式,再用非零行元素多项式的最高次项的倒数乘以该行而得到矩阵B,即例9求(f(x)g