关于几种行列式的拓展

关于几种行列式的拓展

列出公式的计算方法有很多，通常使用性质、展开公式和其他方法进行计算。四阶以上的行列式计算非常复杂。在这项工作中，我们研究了几种特殊方法，并通过比较表明了数学学习中扩展思路的重要性。一、计算行列方程的一般方法1.nn-133利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式.根本性质.上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积.例:计算行列式|A|=|nn-1⋯321nn-1⋯331nn-1⋯521⋯⋯⋯⋯⋯⋯n2n-3⋯3212n-1n-1⋯321|解:本题可以用三角化的方法,将的第一行乘以(-1)加到第2,3,…,n行,再将其第n,n-1,…,2,1列通过相邻两列互换依次调为第1,2,…,n列,则得|A|=|nn-1⋯32100⋯01000⋯200⋯⋯⋯⋯⋯⋯0n-2⋯000n-10⋯000|=(-1)n(n-1))2|123⋯n10⋯02⋯0⋯⋱┋n-1|=(-1)n(n-1))2(n-1)!2.角行列式的降阶法求解利用按一行(列)展开定理或Laplace展开定理将n阶行列式降为阶较小且容易计算的行列式来计算行列式的方法称为降阶法.例:计算|A|=|122⋯2222⋯2223⋯2⋯⋯⋯⋯⋯222⋯n|解:首先我们应先考虑|A|能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以(-2)加到第2,3,…,n行,数字反而复杂了,要使行列式尽可能多的出现“0”项,将|A|的第一行乘以(-1)加到第2,3,…n行,得|A|=|122⋯2100⋯0101⋯0⋯⋯⋯⋯⋯100⋯n-2|上式仍然不是上(下)三角行列式,这时我们可以用降阶法,注意第二行除了第一项是1,后面的项都是0,我们按第二行展开,得|A|=|22⋯21⋯┋⋱┋n-2|=-2(n-2)!3.dn的一般法通过降阶等途径,建立所求n阶行列式|A|和比它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系,并求得A的方法叫递推法.例如课本上的范得蒙行列式的计算就是应用了递推法.例:计算范得蒙行列式Dn=|111⋯1a1a2a3⋯ana21a22a23⋯a2n⋯⋯⋯⋯an-11an-12an-13⋯an-1n|解:Dn的第i行乘以(-a1)加到第i+1行,i=n-1,n-2,…,1则得Dn=|111⋯10a2-a1a3-a1⋯an-a10a2(a2-a1)a3(a3-a1)⋯an(an-a1)⋯⋯⋯⋯0an-22(a2-a1)an-23(a3-a1)⋯an-2n(an-a1)|=(a2-a1)(a3-a1)⋯(an-a1)|11⋯1a2a3a3⋯a22a23⋯a2n⋯⋯⋯⋯an-22an-23⋯an-2n|=(a2-a1)(a3-a1)⋯(an-a1)Dn-1类似地,则Dn-1=(a3-a2)(a4-a2)…(an-a2)Dn-2依此下去,并注意到Dn-1=|11an-1an|=an-an-1则Dn-1=∏1≤i≤j≤n(aj-ai),其中∏是连乘号.以上几种方法是我们平常计算行列式时所常用的,也是课本介绍过的常规方法,下面介绍几种非常规的解法.1常规行列式我们学习了矩阵的分块,知道一个矩阵(A00B)通过分块若能转化为对角矩阵或下(上)三角矩阵(A0CB),那么行列式|A00B|=|A0CB|=|A|⋅|B|,其中A,B分别是s,r阶可逆矩阵,C是r×s阶矩阵,0是s×r阶矩阵.可以看出,这样可以把s+r阶行列式的计算问题,通过矩阵分块转化为较低阶的s阶和r阶行列式计算问题,下面先根据上面的途径给出计算公式.设矩阵其中A,B分别是s阶和r阶的可逆矩阵,C是r×s阶矩阵,D是s×r阶矩阵,则有下面公式成立.下面推导公式,事实上当|A|≠0时.有(E0-CA-1E)(ADCB)=(AD0BCA-1D)(E-DB-10E)(ADCB)=(A-DB-1C0CB)上面两式两边同取行列式即可得出上面的公式.例:计算这道题的常规解法是将其化为上三角行列式进行计算解法1:若用前面的介绍的公式则可以直接得出结果.解法2∶则有,由公式(1)知原行列式=|ADCB|=|A|⋅|B-CA-1D|=|1001|⋅|(5678)-(1001)(1001)(1234)|=1⋅|(5678)-(1234)|=|4444|=0这道题还有个特点,那就是A=C,如果我们把公式变形,即解法3∶令A=(1001),B=(5678),C=(1001),D=(1234).因为A=C,所以原行列式这种方法是把行列式看成含有其中的一个或一些字母的多项式,经过变换后,发现它可被一些线性因子整除,这意味着它也可被这些因子的积所整除,利用这一特性,可求得行列式的值.计算行列式本题用常规方法解如下:虽然可以得出结果,但是过程过于复杂。如果用分离线性因子法把第2、3、4列都加到第1列上,由多项式整除的概念,有(X+Y+Z)|D,如果第1列加上第2列再减去第3列和第4列(X+Z-X)|D,同样有,如果第1列加上第3列再减去第2列和第4列有(X+Y-Z)|D,若第1列加上第4列减去第2列和第3列有(X+Y-Z)|D,因为以上这些整式互素所以有(X+Y+Z)(Y+Z-X)(X+Z-Y)(X+Y-Z)|D,因为这四个因子的乘积包括带有的系数为-1,而行列式本身包含同一项的系数为+1,所以得出D=-(X+Y+Z)(Y+Z-X)(X+Z-Y)(X+Y-Z)=X4+Y4+Z4-2X2Y2-2Y2Z2-2X2Z2.3范得蒙行列式的dn当所求行列式是由几个元素组成的,若用曾经求解过的行列式作系数行列式,构造一个n元线性方程组,所求行列式中可作为线性方程组解的组成部分.例:求如果使用常规的方法,解这道题是非常复杂的,而且困难的是因为Dn不是范得蒙行列式,若我们用刚刚介绍的代数方程组法求解这道题就变得十分容易了,因为Dn类似于范得蒙行列式,我们构造一个n阶的范得蒙行列式D=|11⋯1a1a2⋯ana12a22⋯an2⋯⋯⋯a1n-1a2n-1⋯ann-1|=∏1≥i>j≥n(aj-ai)于是当ai≠aj时,比值DnD是线性方程组{x1+a1x2+⋯+a1n-1xn=a1n⋯⋯⋯x1+a1x2+⋯+a1n-1xn=a1n的解中的xn值,又这个方程组tn-xntn-1-…-x2t-x1=D可以看作是(t是未知数)有n个根:a1,a2…an,于是由高次方程与系数的关系有xn=a1+a+a2