2024届吉林省长春市朝阳区数学九上期末调研试题含解析

2024届吉林省长春市朝阳区数学九上期末调研试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每题4分，共48分）1．一个不透明的盒子有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有12个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（）A．20 B．30 C．40 D．502．在圆内接四边形中，与的比为，则的度数为（）A． B． C． D．3．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（）A． B． C． D．4．如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM、PN、MN，则下列结论：①PM＝PN；②；③若∠ABC＝60°，则△PMN为等边三角形；④若∠ABC＝45°，则BN＝PC．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④5．下列方程属于一元二次方程的是（）A． B．C． D．6．一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定7．下列事件中，是随机事件的是()A．画一个三角形，其内角和是180°B．在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片C．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7D．在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃68．如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B．C． D．9．的值等于（）A． B． C． D．110．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A． B． C． D．11．一元二次方程的一次项系数和常数项依次是（）A．和 B．和 C．和 D．和12．如图，AB是的直径，点C，D是圆上两点，且＝28°，则＝（）A．56° B．118° C．124° D．152°二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点，点在上，，与交于点，连接，若，，则_____．14．数据2，3，5，5，4的众数是____．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＜0；④a+c＞0；⑤b2＞4ac；⑥当x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确的说法有_____（写出正确说法的序号）16．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=．17．若2是方程x2﹣2kx+3=0的一个根，则方程的另一根为______．18．已知函数的图象如图所示，若矩形的面积为，则__________．三、解答题（共78分）19．（8分）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的两个交点分别为点(，)和点．（1）求的值和点的坐标；（2）如果点为轴上的一点，且∠直接写出点A的坐标．20．（8分）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．21．（8分）综合与探究：如图所示，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点．

（1）求，的值及反比例函数的函数表达式；（2）若点在线段上，且，请求出此时点的坐标；（3）小颖在探索中发现：在轴正半轴上存在点，使得是以为顶角的等腰三角形.请你直接写出点的坐标.22．（10分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？这个最大利润是多少？23．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．根据以往所学的函数知识以及本题的条件，你能提出求解什么问题？并解决这些问题（至少三个问题）.24．（10分）某景区检票口有A、B、C、D共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票．（1）甲选择A检票通道的概率是；（2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率．25．（12分）解方程（1）2x2﹣6x﹣1＝0（2）（x+5）2＝6（x+5）26．因2019年下半年猪肉大涨，某养猪专业户想扩大养猪场地，但为了节省材料，利用一面墙（墙足够长）为一边，用总长为120的材料围成了如图所示①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，设的长度为（），矩形区域的面积（）.（1）求与之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围.（2）当为何值时，有最大值？最大值是多少？

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值即可.【题目详解】根据题意得：，解得n=40，所以估计盒子中小球的个数为40个.故选C．【题目点拨】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，概率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.2、C【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质即可求得．【题目详解】∵在圆内接四边形ABCD中，：＝3：2，∴∠B：∠D＝3：2，∵∠B＋∠D＝180°，∴∠B＝180°×＝．故选C.【题目点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．3、D【解题分析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答【题目详解】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠1．故选：D．【题目点拨】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键4、B【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；如果△PMN为等边三角形，求得∠MPN＝60°，推出△CPM是等边三角形，得到△ABC是等边三角形，而△ABC不一定是等边三角形，故③错误；当∠ABC＝45°时，∠BCN＝45°，由P为BC边的中点，得出BN＝PB＝PC，判断④正确．【题目详解】解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，∴PM＝BC，PN＝BC，∴PM＝PN，正确；②在△ABM与△ACN中，∵∠A＝∠A，∠AMB＝∠ANC＝90°，∴△ABM∽△ACN，∴，∴，②正确；③∵∠ABC＝60°，∴∠BPN＝60°，如果△PMN为等边三角形，∴∠MPN＝60°，∴∠CPM＝60°，∴△CPM是等边三角形，∴∠ACB＝60°，则△ABC是等边三角形，而△ABC不一定是等边三角形，故③错误；④当∠ABC＝45°时，∵CN⊥AB于点N，∴∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，∴BN＝CN，∵P为BC边的中点，∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形∴BN＝PB＝PC，故④正确．故选：B．【题目点拨】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的性质．5、A【解题分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为1．【题目详解】解：A、该方程符合一元二次方程的定义，符合题意；B、该方程属于二元二次方程，不符合题意；C、当a=1时，该方程不是一元二次方程，不符合题意；D、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意．故选：A．【题目点拨】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=1（且a≠1）．特别要注意a≠1的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．6、A【解题分析】先求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案．【题目详解】解：一元二次方程中，△，则原方程有两个不相等的实数根．故选：A．【题目点拨】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根7、D【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【题目详解】A.画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故不符合题意；B.在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片，是不可能事件，故不符合题意；C.投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7，是必然事件，故不符合题意；D.在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6，是随机事件，故符合题意；故选:D【题目点拨】本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．8、D【解题分析】试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．

D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；

故选D．9、B【分析】根据sin60°以及tan45°的值求解即可.【题目详解】sin60°＝，tan45°＝1，所以sin60°+tan45°＝.故选B.【题目点拨】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.10、C【解题分析】试题分析：由题意可得BQ=x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=BP•BQ，解y=•3x•x=；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=BQ•BC，解y=•x•3=；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=AP•BQ，解y=•（9﹣3x）•x=；故D选项错误．故选C．考点：动点问题的函数图象．11、B【解题分析】根据一元二次方程的一般形式进行选择．【题目详解】解：2x2-x=1，

移项得：2x2-x-1=0，

一次项系数是-1，常数项是-1．

故选：B．【题目点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b分别叫二次项系数，一次项系数．12、C【分析】根据一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半可得∠BOC的度数，再根据补角性质求解.【题目详解】∵∠CDB=28°，∴∠COB=2∠CDB=2×28°=56°,∴∠AOC=180°-∠COB=180°-56°=124°.故选：C【题目点拨】本题考查圆周角定理，根据定理得出两角之间的数量关系是解答此题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、．【解题分析】过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AC于点N，先证△BCD∽△ACE，求出AE的长及∠CAE=60°，推出∠DAE=90°，在Rt△DAE中利用勾股定理求出DE的长，进一步求出CD的长，分别在Rt△DCM和Rt△AEN中，求出MC和NE的长，再证△MFC∽△NFE，利用相似三角形对应边的比相等即可求出CF与EF的比值．【题目详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，∵，，∴，∵在中，，∴，在与中，∵，∴，∴，∵，∵，∴，∴∽，∴，∴，∴，，∴，在中，，在中，，∴，，在中，，在中，，∵，∴∽，∴，故答案为：．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够通过作适当的辅助线构造相似三角形，求出对应线段的比．14、1【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【题目详解】解：∵1是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为1．故答案为：1．【题目点拨】本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．15、②④⑤⑥【分析】①利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴在y轴的右侧得到b＞0，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，即可判断；②利用0＜﹣＜1得到b＜﹣2a，则可对其进行判断；③利用x＝﹣1时y的正负可对a﹣b+c进行判断；④利用a+c＞b＞0可对其进行判断；⑤根据抛物线与x轴交点的个数即可判断；⑥根据二次函数的图象和性质即可得出答案．【题目详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a、b异号，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∴0＜﹣＜1，∴b＜﹣2a，即2a+b＜0，所以②正确；∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，所以③错误；∴a+c＞b，而b＞0，∴a+c＞0，所以④正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以⑤正确；∵抛物线开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，所以⑥正确．故答案为：②④⑤⑥．【题目点拨】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并数形结合是解题的关键．16、π.【解题分析】图1,过点O做OE⊥AC,OF⊥BC,垂足为E.

F,则∠OEC=∠OFC=90°∵∠C=90°∴四边形OECF为矩形∵OE=OF∴矩形OECF为正方形设圆O的半径为r,则OE=OF=r,AD=AE=3−r,BD=4−r∴3−r+4−r=5,r==1∴S1=π×12=π图2,由S△ABC=×3×4=×5×CD∴CD=由勾股定理得：AD=,BD=5−=，由(1)得：⊙O的半径=,⊙E的半径=，∴S1+S2=π×()2+π×()2=π.图3,由S△CDB=××=×4×MD∴MD=，由勾股定理得：CM=,MB=4−=，由(1)得：⊙O的半径=,⊙E的半径=，∴⊙F的半径=，∴S1+S2+S3=π×()2+π×()2+π×()2=π17、．【解题分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案.【题目详解】解：设方程的另一根为x1，又∵x2=2，∴2x1=3，解得x1=，故答案是：．【题目点拨】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，应该熟练掌握两根之和，两根之积.18、-6【分析】根据题意设AC=a，AB=b解析式为y=A点的横坐标为-a，纵坐标为b，因为AB*AC=6，k=xy=-AB*AC=-6【题目详解】解：由题意得设AC=a，AB=b解析式为y=∴AB*AC=ab=6A（-a，b）b=∴k=-ab=-6【题目点拨】此题主要考查了反比例函数与几何图形的结合，注意A点的横坐标的符号.三、解答题（共78分）19、（1）k=1,Q（-1，-1）．（2）【分析】（1）将点P代入直线中即可求出m的值，再将P点代入反比例函数中即可得出k的值，通过直线与反比例函数联立即可求出Q的坐标；（2）先求出PQ之间的距离，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求出点A的坐标.【题目详解】解：（1）∵点(，)在直线上，∴．∵点(，)在上，∴．∴∵点为直线与的交点，∴解得∴点坐标为(，)．（2）由勾股定理得∵∠∴∴(,0),(,0)．【题目点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合,掌握待定系数法，勾股定理是解题的关键.20、(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）先运用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出CD=DF；（2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．【题目详解】（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝∠ABE，又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，∴∠EDA＝∠DEF，又∵DE＝ED，∴△AED≌△FDE（SAS），∴DF＝AE，又∵AE＝AB＝CD，∴CD＝DF；（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM＝BH＝AD＝AG，∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝60°；②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．【题目点拨】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用，解题关键是掌握旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用．21、（1），，；（2）点的坐标为；（3）【分析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）设点，用三角形的面积公式得到求解即可得出结论；（3）设出点M坐标，表示出MA2=（m-1）2+9，AB2=32，根据等腰三角形的性质建立方程求解即可得出结论．【题目详解】解：（1）∵直线与反比例函数的图象交与，两点∴，.∴，.∴，.∵点在反比例函数上，∴.∴反比例函数的函数表达式为.（2）设点，∵，∴.∴.∵，∴.∴，∵∴.解得：，∴.∴点的坐标为.（3）设出点M坐标为（m,0），∴MA2=（m-1）2+9，AB2=（1+3）2+（3+1）2=32，∵是以为顶角的等腰三角形∴AM=AB,故（m-1）2+9=32解得m=或m=（舍去）∴【题目点拨】此题主要考查反比例函数与一次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法求解析式、三角形的面积公式及等腰三角形的性质.22、定价为57.5元时，所获利润最大，最大利润为6125元.【分析】设所获利润为元，每件降价元，先求出降价后的每件利润和销量，再根据“利润=每件利润销量”列出等式，然后根据二次函数的性质求解即可.【题目详解】设所获利润为元，每件降价元则降价后的每件利润为元，每星期销量为件由利润公式得：整理得：由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小故当时，y取得最大值，最大值为6125元即定价为：元时，所获利润最大，最大利润为6125元.【题目点拨】本题考查了二次函数的应用，依据题意正确得出函数的关系式是解题关键.23、见解析【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质及三角形的面积公式即可求解.【题目详解】解：①求反比例函数的解析式设反比例函数解析式为将A(-2,1)代入得k=-2所以反比例函数的解析式为②求B点的坐标.(或n的值）将x=1代入得y=-2所以B(1,-2)③求一次函数解析式设一次函数解析式为y=kx+b将A(-2,1)B(1,-2)代入得解得所以一次函数的解析式为y=-x-1④利用图像直接写出当x为何值时一次函数值等于反比例函数值.x=-2或x=1时⑤利用图像直接写出一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围.x<-2或0<x<1⑥利用图像直接写出一次函数值小于反比例函数值时，x的取值范围.-2<x<0或x>1⑦求C点的坐标.将y=0代入y=-x-1得x=-1