圆与圆的位置关系（重难点突破）

专题2.5.2圆与圆的位置关系知识点一、圆与圆的位置关系1.两圆的位置关系外离、外切、相交、内切和内含.2.两圆的位置关系的判定(1)代数法:设两圆的一般方程为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按(2)的表中的标准进行判断.(2)几何法:两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆连心线的长为d,按表中标准进行判断.位置关系外离外切相交内切内含图示     公共点个数01210位置关系外离外切相交内切内含Δ的值Δ<0Δ=0Δ>0Δ=0Δ<0d与的关系

公切线条数4

32

10

3.两圆的公共弦所在直线方程的求法设☉C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),☉C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),联立 ①②,得(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0.③若两圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,因此方程③就是经过两圆交点的直线方程.故当两圆相交时,(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共弦所在直线的方程.当两圆外离时,(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线方程.当两圆相切时,(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是两圆的一条公切线的方程.若两圆是等圆,则(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程.重难点题型1求圆的标准方程例1、（1）、（2021秋·陕西渭南·高一统考期末）圆与圆的位置关系是（

）A．相离 B．内切 C．相交 D．外切【答案】C【分析】根据方程写出两圆的圆心坐标以及半径，结合两点距离公式，结合两圆位置关系的判别，可得答案.【详解】由可得其圆心，半径；由可得其圆心，半径；，，，显然，所以两圆的位置关系为相交.故选：C.（2）、（2023春·广西·高二校联考期中）已知圆心在原点的单位圆和圆外切，．【答案】16【分析】根据两圆的圆心距以及半径即可由外切列方程求解.【详解】圆圆心为，半径为1，圆，圆心为，且，半径为，所以圆心距，因为两圆外切，所以，所以．故答案为：16【变式训练11】、（2022秋·高二课时练习）已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由两圆方程相减即可得公共弦的方程.【详解】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.故选：D.【变式训练12】、（2023秋·高二课时练习）若圆与圆内切，则的值是．【答案】1或25【分析】先求出两圆的圆心和半径，再由题意可得圆心距离等于两半径的差列方程可求得结果.【详解】由，得，则圆心为，半径为，由，得，则圆心为，半径，因为圆与圆内切，所以，所以或，解得或，故答案为：25或1例2、（1）、（2023秋·高一单元测试）已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两点间距离公式可得两圆心之间的距离，根据三点共线可知当共线且点在之间时，最小，由勾股定理即可求解.【详解】切线长，所以当共线且点在之间时，最小，由于,所以min，所以.故选：.（2）、（2023秋·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为【答案】2【分析】计算两圆的圆心距，令圆心距等于两圆半径之差，结合基本不等式求解最小值即可．【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆的圆心距，两圆内切，，可得，所以．当且仅当时，取得最小值，的最小值为2．故答案为：2．【变式训练21】、（2023秋·高二课时练习）（多选题）圆与圆外切，则的值为（

）A． B． C．2 D．5【答案】AC【分析】由两圆外切，结合圆心坐标及半径列出关于参数的方程，求值即可.【详解】圆的圆心为，半径长为3，圆的圆心为，半径长为2．依题意，即，解得或．故选：AC【变式训练22】、（2023秋·江苏淮安·高二统考开学考试）已知圆与圆的公共弦长为2，则m的值为（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解.【详解】联立和,得，由题得两圆公共弦长，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以，平方后整理得,，所以或（舍去）；故选：A.例3、（2022秋·江苏淮安·高二统考期中）已知圆方程：，圆相交点A、B．(1)求经过点A、B的直线方程.(2)求的面积.【答案】(1)；(2).【分析】（1）判断两圆相交，再将两圆方程相减即可作答.（2）由（1）的结论，求出点到直线的距离，进而求出弦长，求出三角形面积作答.【详解】（1）圆：的圆心，半径，圆的圆心，半径，显然，且有，则圆与圆相交，由消去二次项得，所以直线的方程为.（2）由（1）知，点到直线：的距离，于是，所以的面积.【变式训31】、（2023秋·高二课时练习）当为何值时，两圆和.(1)外切；(2)相交；(3)外离.【答案】(1)或(2)或(3)或【分析】（1）化两圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再求出两圆的圆心距，由列式，即可求解.（2）由列不等式组，即可求出的范围.（3）由列不等式，即可求出的范围.【详解】（1）设圆，半径为，得，圆心，.，半径为，得，圆心，.圆心距，因为两圆外切，则，所以，解得或.（2）因为两圆相交，则，即，所以，解得或.（3）因为两圆外离，则，即，所以，解得或.例4、（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）已知圆和圆(1)若圆与圆相交于两点，求的取值范围，并求直线的方程（用含有的方程表示）(2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据两圆相交，得到，求出的取值范围，两圆相减得到相交弦即直线的方程；（2）联立直线与圆，得到两根之和，两根之积，利用求出的值，并结合根的判别式舍去不合要求的根.【详解】（1）圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为，因为圆与圆相交于两点，则，解得，与相减得，直线的方程为；（2）设，则联立，得，则，则，，，解得，或，其中不满足，舍去，满足要去，则实数的值为.【变式训练41】、（2022秋·福建莆田·高二校考期中）已知圆.(1)若圆的半径为，求实数的值；(2)当时，圆与圆交于，两点，求直线的方程和弦的长.【答案】(1)；(2)直线MN的方程为，弦MN的长度为.【分析】(1)将圆C的一般方程配方为标准方程，求出半径；(2)联立两圆方程求出直线得方程，再运用垂径定理求出即可.【详解】（1）由圆C的方程，得，所以半径为，解