专题24 双参数最值问题（解析版）

专题24双参数最值问题一、单选题1．（2021·浙江·宁波市北仑中学高三开学考试）已知，且，对任意均有，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】推导出与符号相同，构造函数，然后对四个选项中的条件逐一验证，即可得出合适的选项.【详解】，故与的符号相同，当时，；当时，.所以，与的符号相同.，令，所以，当时，恒成立，令，可得，，.，分以下四种情况讨论：对于A选项，当，时，则，当时，，不合乎题意，A选项错误；对于B选项，当，时，则，若，若、、均为正数，①若，则，当时，，不合乎题意；②若，则，当时，，不合乎题意.③若、、都不相等，记，则当时，，不合乎题意.由上可知，，当时，若使得恒成立，则，如下图所示，所以，当，时，且，时，当时，恒成立；对于C选项，当，时，则，①若时，则当时，，不合乎题意；②当时，构造函数，其中，，函数在上单调递增，则，.当时，由于，则，不合乎题意，C选项错误；对于D选项，当，时，则，此时、、为正数.①当、、都不相等时，记，当时，，不合乎题意；②若，则，当时，，不合乎题意；③当时，，当时，，不合乎题意.所以，D选项错误.故选：B.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）分析与同号；（2）对、、的大小关系进行讨论，结合穿针引线法进行验证.2．（2021·山西运城·高三期中（理））已知在函数，，若对，恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，即，求导分析单调性可得，即，令，求导分析单调性，求即可【详解】由题意，令，则，恒成立，即恒成立，即令令，即在单调递增；令，即在单调递减.令令，即在单调递增；令，即在单调递减；故选：B3．（2021·黑龙江·鹤岗一中高三月考（理））当时，不等式，，恒成立，则的最大值为（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】设，求出导函数.先判断出时不合题意；再求出时的最大值为，只需，得到.定义函数（a），利用导数求出最大值即可.【详解】解：设，则，当时，因为，所以，所以在递增；时，，与矛盾，所以不符题意；当时，令，可得，当，，递增；当，时，，递减．所以的最大值为，所以由题意可得，即，因为，所以，设（a），则（a），当时，（a），（a）递增，当，时，（a），（a）递减，所以（a）的最大值为，所以的最大值为．故选：C．4．（2021·全国·模拟预测（理））已知，使得，若恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设和，它们分别是恒成立、能出来的问题，讨论它们的单调性并求出值域，结合换元法求出的值即可.【详解】由题意知，设，令则令，令在上单调递减，在上单调递增，即恒成立故只需，即有实数解，又，故，令则在上有实数解，将看作直线上的点，令，则，令，有，即的取值范围为.故选：【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.对于能成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；(2)a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.5．（2021·重庆市朝阳中学高二月考）设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，原不等式恒成立可转化为恒成立，利用导数求出函数最大值可得，可得，构造函数，求最小值即可.【详解】在上恒成立，即为在上恒成立，令，，若，则，可得在递增，当时，，不等式在上不恒成立，故.由，可得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，则，则.令，，，可得在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，则的最小值是.故选：B.【点睛】关键点睛：解决本题主要利用导数研究恒成立问题，利用导数求极值，并要运用分类讨论的思想.6．（2021·浙江台州·三模）已知关于的不等式在上恒成立（其中、），则（）A．当时，存在满足题意 B．当时，不存在满足题意C．当时，存在满足题意 D．当时，不存在满足题意【答案】D【分析】本题首先可根据题意得出函数满足有一零点为、当时、当时，然后对四个选项依次进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【详解】因为关于的不等式在上恒成立，所以必需要满足、，即对于函数，必有一零点为且零点左右函数值符号不同，即当时，；当时，，A项：，，令，，，此时，不满足零点左右函数值符号不同，A错误；B项：，，令，，，此时，存在满足题意，B错误；C项：，，令，，，此时，不满足零点左右函数值符号不同，C错误；D项：，，令，，，此时，不满足当时且当时，，即不存在满足题意，D正确，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立的相关问题的求法，主要考查二次函数性质以及对数函数性质，能否根据题意将不等式转化为函数满足有一零点为、当时、当时是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是难题.7．（2021·江苏·星海实验中学高二期中）设函数，若不等式对一切恒成立，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，则不等式对一切恒成立，即为对一切恒成立，结合三次函数的性质则，然后再利用二次函数的性质求解.【详解】因为，所以，因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，因为三次函数在上的取值不可能恒小于等于零，所以且，所以，所以对一切恒成立，当时，，成立，当时，或，不成立，当时，则，解得，当时，，当时，，综上：的取值范围为.故选：B.【点睛】思路点睛：形如的不等式恒成立问题的分析思路：（1）先分析的情况；（2）再分析，并结合与的关系求解出参数范围；（3）综合（1）（2）求解出最终结果.8．（2021·浙江·镇海中学高二期末）已知，，函数．若恒成立，则的最大值为（）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】原不等式恒成立可转化为恒成立，求导分析求出的最大值，求出，构造函数利用导数求最大值即可求解.【详解】令，则恒成立即为恒成立，因为，所以的定义域为当时当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，由所以，则令则，令则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，故，所以的最大值为.故选：A

【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立转化为求函数的最大值得出，构造函数转化为求函数的最大值是解题的关键，属于难题.9．（2021·陕西·千阳县中学模拟预测（理））设、，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，分析得出，分、两种情况讨论，可得出，进而可得出，令，利用导数求出函数的最小值，即可得解.【详解】令，则对任意的恒成立，所以，.①当时，，函数在上单调递增，函数无最大值，不合乎题意；②当时，令，可得.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，即，，设，令，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增.所以，，因此，的最小值是.故选：C.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.10．（2021·安徽淮南·一模（理））已知两个实数、满足，在上均恒成立，记、的最大值分别为、，那么A． B． C． D．【答案】B【分析】设，利用导数证明出，可得出，，求得，，可求得、的值，由此可得出合适的选项.【详解】设，该函数的定义域为，则.当时，，此时，函数单调递减；当时，，此时，函数单调递增.所以，，即，令，则函数在上为增函数，且，，所以，存在使得，令，其中，.当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，，又，所以，存在使得.，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立.所以，，即．故选：B.【点睛】思路点睛：利用导数的方法研究不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求得结果；有时也可以根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.11．（2021·全国·高二课时练习）已知，，对任意的恒成立，则的最大值为（）A． B．1 C．2 D．【答案】D【分析】显然结论不成立，当时，此时；当时，由题结合（1）得，设，问题转化为求的最大值，利用导函数求出最大值即可．【详解】若，则单调递减，单调递增，不能满足且对恒成立，故而．若，则．若，由得，则．设函数，，令得，解得，当时，，函数递减；当时，，函数递增；当时，函数取最小值，的最小值为．设，，由得，当时，，当时，．当时，取得最大值．的最大值为．故选：．【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.12．（2021·江苏·高一单元测试）若不等式．对x∈恒成立，则sin(a+b)和sin(a-b)分别等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，根据三角函数值的符号，求得函数符号的变化，根据函数的单调性与对称性，求得的值，即可求解.【详解】由，则，当或时，即或时，，当时，即时，，所以当或时，，当时，，设函数，则在上单调递增，在上单调递减，且函数的图象关于直线对称，所以，所以，解得，又由，解得，所以，.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数值的计算，以及函数的单调性与对称性的应用，其中解答中根据三角函数的符号，求得函数的单调性与对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.13．（2021·昆明市官渡区云南大学附属中学星耀学校高一期中）已知函数是定义在R上奇函数，当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断函数在R上的单调性，再将函数值的大小转化为自变量的大小，分参转化为恒成立问题，进而得到答案.【详解】因为在单调递增（增＋增），且函数是R上的奇函数，容易判断函数在R上是增函数.对任意的,问题，记，则问题因为，当且仅当时取“=”，所以.故选：D.【点睛】本题较为综合，到这一步都是比较正常的思路，接下来注意齐次式的处理方式，，目的是为了消元（看成一个量），下一步的换元一定要注意要把分母整体换元，这样后面的运算会简单，最后结合基本不等式或者导数解决即可.14．（2021·全国·高三专题练习（文））设，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，用导数法求得最大值，转化为，再令，得到，求其最大值即可.【详解】因为不等式在上恒成立，所以不等式在上恒成立，令，则在上恒成立，令，所以，若，则，在递增，当时，，不等式不成立，故，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，所以，所以，所以，令，则，所以，当时，当时，，所以当时，取得最小值，所以的最小值是故选：D【点睛】本题主要考查导数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于难题.二、多选题15．（2021·重庆南开中学高二月考）已知，，下列说法错误的是（）A．若，则B．若，则C．恒成立D．恒成立【答案】AD【分析】对A式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A错误；对B不等式放缩，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B正确；对C不等式等价变型，通过恒成立，可得C正确；D求出的最大值，当且仅当时取等号，故D错误.【详解】A.设，由图可知，当时，存在，使此时，故A错误.B.设单调递增，，B正确C.又，，C正确D.当且仅当；当且仅当；所以，当且仅当时取等号，D错误.故选：AD【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.16．（2021·湖南·周南中学高一开学考试）已知是定义在区间，上的奇函数，且（1），若，，，时，有．若对所有，，，恒成立，则实数的取值范围可能是（）A．(－∞，－6] B．(－6，6) C．(－3，5] D．[6，＋∞)【答案】AD【分析】先判断的单调性，求得的最大值，化简不等式，利用构造函数法，结合一次函数的性质列不等式组，由此求得的取值范围.【详解】任取，，由于，结合可知，即，所以在上递增.所以.由可得，即对任意恒成立.构造函数，则，即，解得或.故选：AD【点睛】求解多变量的不等式恒成立问题，可考虑减少变量来进行求解.17．（2021·重庆·铜梁一中高二月考）已知函数f（x）=ax2﹣x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，若不等式恒成立，则t的取值可能是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先对函数求导，然后结合函数极值存在条件进行转化，然后由不等式恒成立与最值的相互转化关系进行求解，结合导数即可．【详解】解：，，由题意得，为的两不等正根，所以，解得，，，，，令（a），，则，（a）在上单调递增，（a），因为恒成立，所以恒成立，所以．故选：BD．三、双空题18．（2021·江苏江都·高二期中）若对于恒成立.当时，的最小值为_________；当时，的最小值是____________.【答案】1【分析】令得到，构造函数，则求出，即可求出的最小值；作出的图像，结合函数图象数形结合确定的最小值.【详解】当时，，令，则，令，解得：，且当时，单调递增；当时，单调递减，所以，因此，故的最小值为，的图像如下所示：由于，而点是直线与轴的交点，因为，由图象显然虚线不符合题意，实线中直线与函数相切时，在轴上的截距较大，其中当直线与函数相切且切点为函数与轴的交点时，截距最大，令，所有函数与轴的交点为，故，即，故.故答案为：1，.【点睛】恒成立问题解题思路：（1）参变量分离：（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.19．（2021·福建省宁化第一中学高二期中）若对于恒成立，当时，的最小值为_____；当时，的最小值是_______________．【答案】1【分析】令得到，构造函数，则求出，即可求出的最小值；作出的图像，运用函数图像的性质数形结合确定的最小值.【详解】解：时，，令，则，令，解得：，且当时，单调递增；当时，单调递减，∴，∴，故的最小值为，的图像如下所示：当时，令，可得，故取得最小值，直线在轴的截距最大，又，结合图像可知：令，可得，则，故.故答案为：1，.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是运用转化思想和构造函数，结合导数判断函数的单调性和最值.四、填空题20．（2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高三月考）若不等式对一切恒成立，其中为自然对数的底数，则的取值范围是________．【答案】【分析】设,把不等式对一切x∈R恒成立转化为不等式f(x)≤f(0)对一切x∈R恒成立,则f(x)max=f(0)=1,即x=0为函数f(x)的最大值点，即x=0为的一个零点,得到b=-1；分类讨论研究f(x)的单调性，讨论出a的范围，即可求出的取值范围.【详解】设,则f(0)=1,不等式对一切x∈R恒成立等价于不等式f(x)≤f(0)对一切x∈R恒成立,则f(x)max=f(0)=1,即x=0为函数f(x)的最大值点..显然x=0为的一个零点,所以b+1=0,所以b=-1,所以.（1）当a=0时,.当x>0时,<0,函数f(x)单调递减；当x<0时,>0,函数f(x)单调递增,所以f(x)max=f(0),满足题意.（2）当a≠0时,.①若a<0时，则，当或时，<0,函数f(x)单调递减；当时，>0,函数f(x)单调递增.又当时，，所以x=0为函数f(x)的最大值点，符合题意；②若a>0时，则当时，，不符合题意；综上所述：.故答案为：.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.21．（2021·黑龙江·双鸭山一中高二期末（理））已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为___________.【答案】【分析】令，求得导数，讨论结合f（x）的单调性，求得最值，推得．令，求得g（a）的导数和单调性、最值，可得所求最大值．【详解】令则，

若a=0，则，要使恒成立，

则，此时ab=0；

若，则，函数f（x）函数单调增，当时，，不可能恒有；

若，由=0，得，

当时，，单调递减，

当时，单调递增，

所以的最小值为，要使恒成立，

则，得，

则．

令，

则，令，，

当时，单调递增；

当时，单调递减，

所以，

则ab的最大值为2e．

故答案为：2e．【点睛】本题解题核心：（1）恒成立问题，我们通常转化为最值来解，于是就要先求得函数的单调性，根据单调性来求最值，注意分类讨论思维；（2）再求最值时，要紧密结合问题，有时并不一定能从原函数中直接求得问题，有时我们需要构建函数重新分析函数单调性求最值，解题时一定要紧扣问题.22．（2021·浙江湖州·高二期中）已知函数，当，恒成立，则的最大值为___________.【答案】1【分析】令，则，先由得，再由对恒成立得，，结合得，，往下证明时，存在实数使得对恒成立，即可说明的最大值为1.【详解】令，则，，当，恒成立，则有，，由得，因为任意的，都有，所以，，结合，得.当时，，令，，则，由得，；由得，；所以在上递减，在上递增，的最小值为，由，得，对恒成立.所以，取，有恒成立.综上可知，的最大值为1.故答案为：1.23．（2021·全国·高二专题练习）已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为_______．【答案】【分析】已知不等式等价转化为恒成立，在a=0时易得ab=0;当a≠0时，设函数,函数图象在直线下方时，根据对数函数的性质，结合导数求得相切时a,b满足的条件，进而得到当函数图象在直线下方时，，得到,记,利用导数研究单调性求得最大值，即得所求.【详解】原不等式等价于：恒成立，由对数函数的图象和性质，易知，当时不等式为对于x>0恒成立，需要，此时,当时，设函数,当直线与函数图象相切时，设切点坐标为,则,∴,即所以当函数图象在直线下方时，，∴,记,则,令，解得当时,单调递增；当时，，单调递减，∴,综上，的最大值为：，故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，求最值问题，关键是将已知不等式分离为两个易于处理的函数之间的不等关系，利用数形结合方法求得a,b满足的条件，得到后，再构造函数，利用导数求最大值.24．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二期中（理））任意的，不等式恒成立，则的范围是___________.【答案】【分析】由已知条件可得，再利用换元法令，将问题转化为研究直线恒在曲线的上方，即可得到答案；【详解】，令，，①，令，①对恒成立，对，对，令，则，，，在单调递增，在单调递减，当与相切时，设切点为，或，直线要恒在曲线的上方，直线斜率的取值范围为，故答案为：.【点睛】本题主要涉及三个变量，求解时要用换元法结构函数构造，消去其中一个变量，这是求解多变量问题的常用方法.25．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数，.若当时，恒成立，则实数的值等于___________.【答案】2【分析】先由代入可得，再由，构造，由恒成立可得，再检验恒成立即可..【详解】当时，，即，所以当时，，所以，则，令，则在时恒成立，.当时，，则单调递增，由，可知时，，不满足；当时，，可得，则时，，单调递增，时，，单调递减，由，且在时恒成立，所以，即.只需检验时恒成立即可.，即证令，，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，得证.所以，所以.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由得到，进而转换为在时恒成立，通过构造函数可求参数.26．（2021·海南·北京师范大学万宁附属中学高二期中）已知函数，，函数图象上任意一点的切线的斜率恒成立，则的取值范围是___________.【答案】【分析】由已知得，恒成立，进行参变分离得，恒成立，设，求导，分析其单调性，求得函数的最大值，由不等式的恒成立思想可得答案.【详解】∵函数，∴，∵图象上任意一点的切线的斜率恒成立，∴，恒成立，∴，恒成立，设，则，所以当时，，当时，，所以在上为减函数，在上为增函数，且，所以的最大值为，∴，∴实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】易错点睛：本题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成立问题等知识点，求函数的切线方程的注意：（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．（2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．（3）在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．27．（2021·浙江·丽水外国语实验学校高三期末）已知，，满足对任意恒成立，当取到最小值时，______.【答案】24【分析】令，即，令，且，又得，再利用，得，从而可得答案.【详解】令，则，所以，即对于恒成立，令，因为，因为对于时恒成立，所以，当取最小值时，即，此时在时有最小值，因为函数的定义域为，不是区间端点值，又在处取得最小值，所以也是函数的一个极小值，且，所以，得，从而故.故答案为：24.【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数的问题，关键点是构造函数利用导数的极值求参数，考查了学生分析问题、解决问题的能力.28．（2021·全国·高三专题练习（理））已知，为实数，不等式恒成立，则的最小值为______．【答案】-1【分析】先由恒成立得出，进而，构造函数求解.【详解】设，则不等式恒成立等价于成立，显然当时不符合题意．当时，，∴当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，∴．由得，∴．令，则，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，∴，∴，则，此时，．故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于依题意得出，进而得出.29．（2021·全国·高二课时练习）若对任意正实数