专题16 指对幂比较大小问题（解析版）

专题16指对幂比较大小问题一、单选题1．（2021·河南·郑州外国语中学高三月考（理）），则a，b，c的大小顺序为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项.【详解】令，则，，，而且，即时单调增，时单调减，又，∴，.若有两个解，则，，即，，令，则，即在上递增，∴，即在上，，若即，故，有∴当时，，故，综上：.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.2．（2021·广东·佛山一中高三月考）已知，若，且，则与2的关系为A． B． C． D．大小不确定【答案】A【分析】先求导求出的极大值点为1，再比较和的大小得出，再根据当时，，单调递减可得．【详解】由题，,令则有，所以当时，当时，，所以,在时取得极大值和最大值.

又当趋近于正无穷时,正向趋近于0,且,所以,如果存在使得,不失一般性令,则,，

对于任意的,分别取两点、，现在比较和的大小.，

令分子部分为,.求导有,

当时,;当时,又，故单调递增且大于0.所以,在上是单调增函数,且,故,即，因为，，在上单调递减且,所以在点的右侧必能找到一点,使得,且，故，令,则有，故选A．【点睛】该题考查极值点偏移问题，可以求导求单调性，先画出的图像，直观上观察出，再构造函数分析比较和的大小，进而证明得出不等式．3．（2021·河南·温县第一高级中学高一月考）已知，，则与之间的大小关系是（）A． B． C． D．无法比较【答案】B【分析】构造函数，得到，然后利用不等式的性质，由与的大小判断.【详解】设，则，所以，，而，所以，即，故选：B4．（2021·江苏扬州·高一期末）在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当或时，；当时，，请比较，，的大小关系A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意化简得，能得出，化为指数根据当或时，判定，将两边同时取底数为4的指数，通过放缩比较的进而得出答案.【详解】解：因为，，所以，对于，令，则故当或时，，所以，即所以，将两边同时取底数为4的指数得因为所以故选：B.【点睛】方法点睛：指、对、幂大小比较的常用方法：（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；（2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；（3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.5．（2021·河南许昌·高三月考（理））设，，，则，，的大小顺序为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据a、b、c的结构，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，得到正确答案.【详解】因为，，构造函数，则，，，，在上递增，在上递减.则有最大，即，.若有两个解，则，所以所以即,令，则，故在上单增,所以，即在上，.若，则有，即.故，所以.当时，有，故所以.综上所述：.故选：A【点睛】利用函数单调性比较大小的类型：（1）比较幂指数、对数值的大小；（2）比较抽象函数的函数值的大小；（3）利用单调性解抽象（结构复杂）函数型不等式.6．（2021·江苏·高一课时练习）三个数，，的大小顺序为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合对数恒等式进行变换，利用对数函数的单调性即可证明，由此得出三者的大小关系.【详解】，由于，，所以，所以，即，而，所以，所以，即，所以.故选：D7．（2018·福建·闽侯县第八中学高一期末）方程和的根分别为、，则有A． B． C． D．无法确定与大小【答案】A【详解】作图可知，选A8．（2016·山西·二模（理））、、依次表示函数的零点，则、、的大小顺序为A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：、、为直线分别与曲线的交点横坐标，从图像可知，选D.考点：函数图像9．（2021·广东·广州六中高一期中）若x，y，z是正实数，满足2x=3y=5z，试比较3x，4y，6z大小（）A．3x>4y>6z B．3x>6z>4yC．4y>6z>3x D．6z>4y>3x【答案】B【分析】令，则，，，，利用作差法能求出结果.【详解】∵x、y、z均为正数，且，令，则，故，，，∴，即；，即，即成立，故选：B.【点睛】关键点点睛：（1）将指数式转化为对数式；（2）利用作差法比较大小.10．（2022·全国·高三专题练习）下列各式比较大小正确的是()A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数的单调性判断数的大小即可．【详解】(A中，∵函数在R上是增函数，2．5<3，∴，错误；B中，∵在R上是减函数，－1<2，∴，正确；C中，∵，∴问题转化为比较与的大小．∵在R上是增函数，0.1<0.2，∴，即<，错误；D中，∵>1,0<<1，∴，错误．故选B.【点睛】本题考查了指数函数的单调性的应用，属于基础题．11．（2021·四川·石室中学高三月考（理））设实数，满足，，则，的大小关系为（）A． B． C． D．无法比较【答案】A【分析】从选项A或C出发，分析其对立面，推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.【详解】假设，则，，由得，因函数在上单调递减，又，则，所以；由得，因函数在上单调递减，又，则，所以；即有与假设矛盾，所以，故选：A【点睛】思路点睛：应用反证法解决问题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．12．（2021·山东省郓城第一中学高三月考）已知，则，，的大小排序为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】方法一：首先设，利用指对互化，表示，，，再利用对数函数的图象判断大小；方法二：由条件可知，再利用对称运算，以及对数函数的图象和性质，比较大小.【详解】方法一：设.则，，，又，所以，可得.方法二：由.得，即，可得.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查由条件等式，比较大小，本题的关键是熟悉指对数运算公式，变形，以及指数和对数函数的图象.13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，它们的零点的大小顺序为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】把零点变成方程的解，现转化为函数图象与直线的交点，由图象可得大小关系．【详解】，，，，，，作出函数，，的图象及直线，由图象可得，，，所以．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点，解题关键是把零点转化为方程的解，再转化为函数图象与直线的交点的横坐标，作出函数图象与直线可得结论．14．（2021·云南·梁河县第一中学高二月考（理））设，，，则a，b，c的大小顺序为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先通过变形，而，故可判断大小，再作差利用基本不等式有即可得解.【详解】由，，所以，所以，故选：A.【点睛】本题考查了对数函数的比较大小，对数函数的比较大小是高考中重点考查对象，考查了利用中间量以及作差法比较大小，考查了变形转化以及对数的运算能力，比较大小有以下几种方法：（1）利用函数单调性比较大小；（2）中间量法比较大小；（3）作差法、作商法比较大小.15．（2021·湖北·高三月考）已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】将函数的零点，转化为函数的图象分别与函数的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解．【详解】函数的零点，即为函数的图象分别与函数的图象交点的横坐标，如图所示：由图象可得：，故选：B【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．16．（2021·陕西·西安市曲江第一中学模拟预测（理））已知，则的大小为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据利用等价转化的思想，比较大小，即比较之间大小，利用作商比较法并构造函数，研究性质可得大小，结合，最后可得结果.【详解】由，即又，所以最小比较大小，即比较大小又，则令，令，则所以当时，当时，所以函数在单调递增，在单调递减所以且，所以，所以故选：D【点睛】本题考查利用构造函数比较指数式之间的大小关系，比较式子大小的常用的方法：比较法，函数的单调性等，有时候也会借助中间值0，1，属中档题.17．（2021·广东·广州市第二中学高一期中）设,为正数，且则（）A． B．C． D．和的大小不能确定【答案】B【分析】因为,为正数且故:.令,可得和,通过作差法比较和,即可得到答案.【详解】,为正数，且故:令可得:即:可得:即:则,故:故选:B.【点睛】对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的和,通过作差或作商进行比较大小.18．（2021·山西吕梁·高三月考（理））设，，，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据幂函数的单调性判断的大小，构造利用导数研究单调性，进而确定的符号即可判断的大小.【详解】，而，令，则，，∴时，递减；而，，∴上，即递减，则在上，∴由，则，即.综上，.故选：D19．（2021·黑龙江·高三期中（理））已知，，，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用导数可求得，；分别代入和，整理可得的大小关系.【详解】令，则，在上单调递增，，即，，，即；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，（当且仅当时取等号），，即（当且仅当时取等号），，即；综上所述：.故选：D.【点睛】思路点睛：本题考查与指数、对数有关的大小关系的比较，解题基本思路是能够将问题转化为两个函数的函数值大小关系的比较，进而通过构造函数的方式，利用导数求得函数单调性，从而得到两函数的大小关系.20．（2021·河北·大名县第一中学高二月考）已知实数满足，则的关系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用幂函数的性质知，利用对数的运算性质及作差法可得，再构造，根据指数的性质判断其符号，即可知的大小.【详解】；，；，；，∴，综上，.故选：C21．（2021·全国·模拟预测（理））已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝e，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（）A．p＜n＜m B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m【答案】C【分析】根据已知条件，应用对数函数的单调性、对数的换底公式，可比较m，n，的大小关系，再由指数的性质有p＝e，即知m，n，p的大小关系.【详解】由题意得，m＝log4ππ，，∵lg4＞lgπ＞lge＞0，则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge，∴，∴，而p＝e，∴n＜m＜p．故选：C．22．（2021·河南·高三月考（理））实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用作差法与基本不等式分析，的大小，再构造函数分析的大小即可【详解】解析：由已知得，，，则，因为，所以有，所以设，，当时，，所以在上单调递减，因此，即，所以，所以，所以，所以，又，所以，综上可知故选：．23．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则下列结论一定正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】，且，即得，构造函数，求导后利用导数的正负求得函数单调递增，利用得，结合赋值法即可判断出结果.【详解】，且，即得设，则恒成立，∴在上单调递增，∵，∴，即，故，B正确；令满足，但不成立，故A错误；令满足，不成立，故C错误；令满足，不成立，故D错误；故选：B.24．（2021·广西师范大学附属外国语学校模拟预测（理））已知，，，，则、、、的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用对数函数的单调性比较、、与的大小关系，利用中间值法判断出、的大小关系，综合可得出、、、的大小关系.【详解】，，，，，则，，，则，因此，.故选：D.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.25．（2021·新疆乌鲁木齐·高三月考（理））设，，，则下列正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意知，，利用幂函数的单调性可得，，构造函数，通过求导判断函数的单调性，利用函数判断的大小关系即可.【详解】由题意知，，因为幂函数在上单调递增，所以，即；令，则，所以时，，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，，所以，即，所以，综上可知，.故选：C【点睛】本题考查通过求导判断函数的单调性、利用函数的单调性比较大小；考查运算求解能力和函数与方程的思想；通过构造函数，利用函数的单调性比较的大小是求解本题的关键；属于难度较大型试题.26．（2021·山东聊城·高三期中）设，则有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】先确定p、q的取值范围，再比较，，大小关系.【详解】由，；由，，，故选：B.【点睛】利用指数函数和对数函数的单调性，判断指数式与对数式范围.27．（2021·河北省唐县第一中学高二期中）设，，，则下列正确的是A． B． C． D．【答案】B【分析】根据得单调性可得；构造函数，通过导数可确定函数的单调性，根据单调性可得，得到，进而得到结论.【详解】由的单调递增可知：，即令，则令，则当时，；当时，即：在上单调递增，在上单调递减，即，即：综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考查根据函数单调性比较大小的问题，难点在于比较指数与对数大小时，需要构造函数，利用导数确定函数的单调性；需要注意的是，在得到导函数的零点后，需验证零点与之间的大小关系，从而确定所属的单调区间.28．（2018·全国全国·高一专题练习）已知a，b，c>0且，，，则A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．a>c>b【答案】C【解析】【分析】先确定a，b，c范围，再将a，b转化为函数y=2x，y=y=的图象对应交点的横坐标，结合图象确定选项.【详解】∵a，b，c>0，且，，，∴0<a<1，0<b<1，c>1．分别画出函数y=2x，y=，y=的图象，则0<a<b<1．综上可得a<b<c．故选C．【点睛】本题考查判断大小关系、指对数函数图象，考查数形结合思想解决数学问题的能力.29．（2017·湖北荆州·高一期末（理））设，，则正实数，的大小关系为A． B． C． D．【答案】A【详解】由，知，，又根据幂函数的单调性知，，故选A．30．（2021·黑龙江·大庆市东风中学高三月考（理））设a＝，b＝ln1.01，c＝，则（）A．abc B．bca C．bac D．cab【答案】A【分析】观察式子的结构，进而设，然后构造函数，随即通过求解函数的单调性得到答案.【详解】设，所以，设，则，所以在（1，+∞）单调递增，所以…①，所以…②，由①，…③，由②，…④，由②④，，则c>b，由③，b>a，所以c>b>a.故选：A.【点睛】本题为比较大小的题目，关键在于构造函数，问题是函数为何要这样构造，这里用到了这个切线不等式及其变化，因而在平时一定要注意课本中重要结论的应用和变化.31．（2021·江西·景德镇一中高三月考（理））已知，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】观察a,b,c的结构，进而变形为，，，然后通过构造函数，利用导数得出函数的单调性，最后比较出大小.【详解】由题意，，，，构造函数，则，所以函数在上单调递减，所以，即.故选：C.【点睛】比较大小通常会用到函数的单调性，本题首先需要观察a,b,c的结构，对式子进行恰当的变化，找到共性，进而构造函数，通过函数的单调性进行解决.32．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，由导数可判断出在上单调递增，从而可得，化简变形可比较出a，b，c的大小关系【详解】令，可得，当时，恒成立，所以在上单调递增，所以，即，得，，又已知，，，所以，故选：D.33．（2021·北京海淀·高三期中）下列不等关系中正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】对于A，作差变形，借助对数函数单调性判断；对于C，利用均值不等式计算即可判断；对于B，D，根据给定条件构造函数，借助导数探讨函数单调性判断作答.【详解】对于A，，而函数在单调递增，显然，则，A不正确；当时，令，，当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，都有，则，成立取，则，取，则，即，于是得，B正确；对于C，显然，，，C不正确；当时，令，，则在上单调递减，，于是得，所以，D不正确.故选：B34．（2021·安徽·高二月考）已知正实数a，b，c满足，，则a，b，c的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据指数函数的单调性确定出a,b的大小关系，进而再根据对数函数的图象和性质结合放缩法求出答案.【详解】由题：，则，又，，则，则，所以，故.故选：B.35．（2021·黑龙江肇州·模拟预测（文））若（），则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.【详解】由，可得，令，则在上单调递增，且，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.36．（2021·湖北武昌·高二期末）已知，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件构造函数，探讨函数的单调性，借助单调性进行推理即可得解.【详解】令函数，则，则有在上单调递减，在上单调递增，且x趋近于0和趋近于正无穷大时，值都趋近于正无穷大，由得，，即，且，显然，若，而在上单调递增，由必有与矛盾，因此得，同理，由得，且，并且有，由得，且，并且有，显然有，于是得，又在上单调递减，所以.故选：A【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.37．（2021·全国·高一单元测试）已知，则与的大小关系是（）A． B．C． D．不确定【答案】C【分析】令，结合题意可知，进而有，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令，则当时，，当时，；由，得考虑到得，由，得，即故选：C38．（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,，由于所以当0<x<2时，,即,,所以在上单调递增，所以,即,即;令,则,,由于，在x>0时,,所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;综上，,故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.视频

39．（2021·全国·高考真题（理））若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.【详解】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.40．（2021·河南省实验中学模拟预测（理））已知不相等的两个正实数x，y满足，则下列不等式中不可能成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将原式可变形，令，，可得时，，时，，则需比较x与y的大小，只需比较与的大小,由，设，求导得出其单调性，从而得出的大小可能性，从而得出答案.【详解】解：由已知，因为2log4x＝log2x，所以原式可变形令，，函数与均为上的增函数，且，且，当时，由，则，可得，当时，由，则，可得，要比较x与y的大小，只需比较与的大小，设，则，故在上单调递减，又，，则存在使得，所以当时，，当时，，又因为，所以当时，，当时，正负不确定，故当时，，所以，故，当时，正负不定，所以与的正负不定，所以均有可能，即选项A，C，D均有可能，选项B不可能．故选：B．【点睛】关键点睛：本题考查了不等关系的判断，主要考查了对数的运算性质以及对数函数性质的运用，解答本题的关键是要比较x与y的大小，只需比较与的大小，，设，求导得出其单调性，从而得出的大小可能性，属于难题．41．（2021·山西·太原五中（理））若，，，则、、的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对数函数的性质可得，，然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出的大小关系，分别与中间值比较，得出，分别与中间值比较，得出，综合即可选出答案.【详解】解：由题意，，，，即，，，而，所以，，而，即，又，，而，则，即，同理，，，而，则，即，综上得：，所以.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查对数的大小比较，考查对数函数单调性的应用和对数的运算性质，与中间值1，，比较，以及运用公式进行化简是解题的关键，考查学生的化简运算和推理能力.42．（2021·浙江·）已知，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由可得，，然后利用对数的运算法则和运算性质、对数函数的单调性逐一判断即可.【详解】因为，所以，，所以所以，故A错误，同理可得，故C错误令，则所以因为，，所以，，所以，即，故B正确同理可得，故D错误故选：B【点睛】本题考查了对数的运算法则和运算性质、对数函数的单调性，考查了学生的运算求解能力，属于中档题.43．（2021·全国·）设，，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】，，然后运用对数的运算性质分别判断出和的符号即可.