专题10 函数对称问题（解析版）

专题10函数对称问题一、单选题1．（2021·安徽省滁州中学高三月考（文））已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上,则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【分析】将问题转化为直线与在和上各有两个交点，借助函数图像与导数的几何意义求出与的两段图像相切的斜率即可求出的取值范围.【详解】直线关于直线的对称直线为，则直线与的函数图像有个交点，当时，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，作出与直线的函数图像，如图所示：设直线与相切，切点为，则，解得，设直线与相切，切点为，则，解得，与的函数图像有个交点，直线与在和上各有个交点，故选：A【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，考查了数形结合思想，解题的关键是作出函数图像，属于中档题.2．（2021·全国·高一课时练习）若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数的图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（注：点对与看作同一个“友好点对”）．已知函数，则此函数的“友好点对”有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据题意“友好点对”的定义，欲求的“友好点对”，只须作出函数的图象关于原点对称的图象，以及函数的图象，结合图象交点的个数，即可求解.【详解】由题意，当时，可得，则，则函数的图象关于原点对称的函数是，根据题意，作出函数的图象及函数的图象，如图所示，根据图象可得两个函数的图象共有两个公共点，即函数的“友好点对”有2对.故选：C.3．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y＝f(x)图象上存在不同的两点A，B关于y轴对称，则称点对[A，B]是函数y＝f(x)的一对“黄金点对”（注：点对[A，B]与[B，A]可看作同一对“黄金点对”）已知函数，则此函数的“黄金点对”有（）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对【答案】C【分析】将关于y轴对称得到y＝9－2x，x＞0，问题转化为y＝9－2x，x＞0与、交点的个数问题，数形结合即可得到答案.【详解】由题意关于y轴对称的函数为y＝9－2x，x＞0，作出函数f(x)和y＝9－2x，x＞0的图象，由图象知当时，联立y＝4x－x2和y＝9－2x，x＞0，得x2－6x＋9＝0，所以，当时，联立和y＝9－2x，x＞0得，解得，（舍），故两图象有2个交点．所以函数f(x)的“黄金点对”有2对．故选：C4．（2021·内蒙古·赤峰二中三模（理））若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图像上；②点A、B关于原点对称，则点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称，作出函数的图像关于原点对称的图像，再作出函数，由图像可得结论【详解】解：根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称.可作出函数的图像关于原点对称的图像，看它与函数交点个数即可.如图所示：当x=1时，观察图象可得：它们有2个交点.故选：C.5．（2021·全国·高三专题练习（文））若M，N为函数图象上的两个不同的点，且M，N两点关于原点对称，则称点对(M，N)为函数的一个“配合点对”(点对(M，N)与点对(N，M)为同一“配合点对”).现给定函数(e为自然对数的底数)，若函数的图象上恰有两个“配合点对”，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出函数0)的图象关于原点对称的图象所对应的函数，将问题转化为函数与函数有两个交点，即函数图象与函数图象有2个交点，然后求出的单调性，得出其大致图像，数形结合可得答案.【详解】函数0)的图象关于原点对称的图象所对应的函数为的图象上恰好有两个“配合点对”等价于函数与函数有两个交点，即方程有两个不等式的正实数根，即有两个不等式的正实数根，即转化为函数图象与函数图象有2个交点.，，所以在上单调递增，且所以当时，，单调递减.当时，，单调递增.且时，，时，所以如图，函数图象与函数图象有令个交点.则，解得.故选：B.【点睛】本题考查：函数中的新定义问题和根据函数图像交点求参数范围，解答本题的关键是由题意将问题转化为函数图象与函数图象有2个交点，然后求出的单调性，得出其大致图像，数形结合可得答案，属于中档题.6．（2021·全国·高一专题练习）在直角坐标平面内的两个不同点M，N满足条件：①M，N都在函数的图像上；②M，N关于原点对称．则称点对为函数的一对“友好点对”（注：点对与为同一“友好点对”）已知函数，此函数“友好点对”有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】根据题意，“友好点对”可知，要求解的“友好点对”，只需作出函数的图象关于原点对称的函数为，结合图象的交点个数，即可求解.【详解】由函数，当时，可得，则，则函数的图象关于原点对称的函数为，由题意知，作出函数的图象及函数的图象，如图所示，由图象及指数函数、幂函数的变化速度可得两个函数图象没有交点，即函数的“友好点对”有：0个.故选：A.【点睛】方法点拨：把函数的“友好点对”，转化为作出函数的图象关于原点对称的函数为与函数的图象的交点个数，结合图象的交点个数是解答的关键.7．（2021·江西·上高二中高二月考（文））若图象上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先转化“友情点对”为把时的函数图像沿着原点对称对称过去，和时函数图像的交点，即的图像和的交点，所以只要有两解即可，求导画图即可得解.【详解】根据题意，若要求“友情点对”，可把时的函数图像关于原点对称，研究对称过去的图像和时的图像有两交点即可，关于原点对称的解析式为，考查的图像和的交点，可得，，令，所以，，为减函数，，，为增函数，，其图象为，故若要有两解，只要即可，故选：A【点睛】本题考查了新定义问题，考查了转化思想，考查了利用导数研究函数的图像，同时考查了函数对称问题，属于较难题.本题关键点有：（1）正确理解“友情点对”；（2）正确的转化，转化为函数方程问题；（3）掌握利用导数研究单调性.8．（2021·湖南·高三月考）若直角坐标平面内，两点满足：①点，都在函数的图象上；②点，关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”点对与可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数恰有两个“姊妹点对”，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意转化为函数与函数的图象恰好有两个交点，即方程在上有两个不同的解，构造函数，利用导数，分类讨论求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意知函数恰有两个“姊妹点对”，等价于函数，与函数，的图象恰好有两个交点，所以方程，即在上有两个不同的解，构造函数，则，当时，，函数区间上单调递增，不符合题意；当时，令，解得，所以函数在区间上单调递增，令，解得，所以函数在区间上单调递减，所以，解得，又由，所以函数在上有且仅有一个零点，令，则，令，解得，所以函数在区间上单调递增，令，解得，所以函数在区间上单调递减，所以，所以，即，又由，所以函数在上有且仅有一个零点．综上可得：，即实数的取值范围是．故选：A.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.9．（2021·浙江·高一期末）定义：若函数的图像上有不同的两点，且两点关于原点对称，则称点对是函数的一对“镜像”，点对与看作同一对“镜像点对”，已知函数，则该函数的“镜像点对”有（）对.A． B． C． D．【答案】C【分析】由新定义可知探究y轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y轴右侧部分图像的交点个数即得结果.【详解】由题意可知，函数的图像上有不同的两点，且两点关于原点对称，则称点对是函数的一对“镜像”，因为，由y轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像，即，，作函数，和的图象如下：由图像可知两图象有三个公共点，即该函数有3对“镜像点对”.故选：C.【点睛】本题解题关键是理解新定义，寻找对称点对，探究y轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y轴右侧部分图像的交点个数，通过数形结合，即突破难点.10．（2021·浙江·高三专题练习）若直角坐标系内A，B两点满足：（1）点A，B都在图象上；（2）点A，B关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”.已知函数则的“和谐点对”有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】问题转化为关于原点对称的函数与在交点的个数，先求出关于原点对称的函数，利用导数方法求出在解的个数，即可得出结论.【详解】设是关于原点对称函数图象上的点，则点P关于原点的对称点为在上，，设，“和谐点对”的个数即为与在交点的个数，于是，化为，令，下面证明方程有两解，由于，所以，解得，∴只要考虑即可，，在区间上单调递增，而，，∴存在使得，当单调递减，单调递增，而，，，∴函数在区间，分别各有一个零点，即的“和谐点对”有2个.故选：B.【点睛】本题考查函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.11．（2021·北京育英中学高三月考）若函数图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友好点对”且点对与可看作同一个“友好点对”若函数其中e为自然对数的底数，恰好有两个“友好点对”则实数m的取值范围为A． B． C． D．【答案】C【分析】求出当时关于原点对称的函数，条件转化为当时，与的图象恰好有两个不同的交点，求函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可．【详解】解：当时，关于原点对称的函数为，即，，设，，条件等价为当时，与的图象恰好有两个不同的交点，则，，当时，函数取得最大值，当时，，．由得，此时为增函数，由得，此时为减函数，即当时，函数取得极小值同时也是最小值，作出当时，与的图象如图：要使两个图象恰好有两个不同的交点，则，即，即，即，故选C．【点睛】本题考查函数与方程的应用，以及分段函数的图象，利用定义作出关于原点对称的函数，利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键综合性较强，考查学生的作图能力．12．（2021·河北·张家口市第一中学高二期中）已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可化为函数图象与的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可．【详解】解：函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，而函数关于直线的对称图象为，的图象与的图象有且只有四个不同的交点，作函数的图象与的图象如下，易知直线恒过点，设直线与相切于点，，故，解得，，故；设直线与相切于点，，故，解得，；故，故，即；故选：【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，属于难题．13．（2021·安徽省怀远第一中学高二月考（理））已知函数(，e为自然对数的底数)与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可将问题转化为方程在上有解，分离参数可得，令，利用导数求出值域即可求解.【详解】因为函数()与的图象上存在关于直线对称的点，则函数(，e为自然对数的底数)与函数的图象有交点，即在上有解，即在上有解，令，（），，当时，，函数为减函数，当时，，函数为增函数，故时，函数取得最小值，当时，，当时，，故实数的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了转化与化归的思想，考查了计算求解能力，属于中档题.14．（2021·陕西·永寿县中学高二月考（理））已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由、关于轴对称，问题转化为与在上有交点，构造，则在有解，利用导数研究单调性并求最值，即可求的取值范围.【详解】由题意，、关于轴对称，∴与在上有交点，则在有解，令，则，，∴在上递增，而，∴在上，递减；在上，递增；∴，故只需即可，得.故选：B【点睛】关键点点睛：由、关于轴对称，将问题转化为与在上有交点，再构造函数并利用导数求极值，进而求参数范围.15．（2021·海南·农垦中学高三月考）已知函数若的图象上存在关于y轴对称的点，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意得存在实数，使得即成立．求出函数的值域，使得即可求得结果．【详解】解：由题意得，存在实数，使得成立，即存在实数，使得成立．设，则．所以当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因此，，所以函数的值域为．于是当时，存在实数，使得成立，即函数的图象上存在关于y轴对称的点．故选：C．16．（2021·山西运城·高二期中（理））已知函数的图象上存在关于直线对称的不同两点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】依题意，函数的图象上存在关于对称的不同两点，则存在，，且，使得，即，构造函数，，故问题转化为存在，使得函数与有交点，然后通过研究函数的图象与性质即可求出结果.【详解】依题意，函数的图象上存在关于对称的不同两点，则存在，，且，使得，则，因此，设，，故问题转化为存在，使得函数与有交点，又在上恒成立，，∴函数在上单调递增，故，因此，为使函数与有交点，只需.故选：B.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．17．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数的图象上存在关于直线对称的不同两点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题中条件，得到存在，，且，使得，整理得，构造函数，，将题中条件转化为存在，使得函数与有交点，利用导数的方法判定单调性，求出其值域，即可得出结果.【详解】依题意，函数的图象上存在关于对称的不同两点，则存在，，且，使得，则，因此，设，，故问题转化为存在，使得函数与有交点，又在上恒成立，所以函数在上单调递增，故，因此，为使函数与有交点，只需.故选：B.【点睛】思路点睛：已知函数有零点（方程有实根）求参数时，一般需要分离参数，再构造新的函数，利用导数的方法研究新函数的单调性、最值、值域等，即可求解.（有时也需要利用数形结合的方法求解）18．（2021·山东·枣庄市第三中学高三月考）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得关于轴对称的函数,则,整理可得在上有解,设,可转化问题为与的图象在上有交点,再利用导函数求得的范围,进而求解.【详解】由关于轴对称的函数为,令,得,则方程在上有解,即方程在上有解,设,即可转化为与的图象在上有交点,,令，则在上恒成立，所以在上为增函数，∴，即在上恒成立，在上为增函数,当时,则,所以,故选:D【点睛】本题考查利用导函数判断函数单调性,考查利用导函数处理函数的零点问题,考查转化思想.19．（2021·四川·泸州老窖天府中学高三月考）已知函数与函数的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对称性可知一定在，将问题转化为方程在上有解，令，利用导数可求得的值域，所求得的值域即为的取值范围.【详解】设上的点，则该点关于对称的点为一定在上，，即在上有解，设，则，设，则，，当时，，在上单调递增，当时，，则，在上单调递减；当时，，则，在上单调递增；当时，取极小值也是最小值，，又，，且，在上的值域为，若在上有解，则.故选：D.【点睛】方法点睛：本题解题关键是利用对称关系将问题转化为在上有解的问题；已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法为：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解20．（2021·江西省都昌县第二中学高二月考（理））已知函数，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，得到方程，可得在区间上有解，构造函数，利用导数求出函数在区间上的值域，即可求得实数的取值范围.【详解】由题意可知方程在区间上有解，再转化为方程在内有解，构造函数，，得，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.函数在处有最小值，又，，且，∴，所以，，故选：B.【点晴】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程在上有解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.21．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】函数与关于对称.题目转化为曲线与有公共点，即方程有实数解.分离常数后利用构造函数法，结合导数求得的取值范围，从而求得的最大值.【详解】由题可知，曲线与有公共点，即方程有实数解，即有实数解，令，则，所以当时，；当时，，故时，取得极大值，也是最大值，所以，所以，即的最大值为.故选：C【点睛】求解含有参数的方程有解问题，可以考虑分离常数法，然后通过构造函数，结合导数求进行求解.22．（2021·浙江·杭州高级中学高一期中）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件转化为在时，有解即可，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合进行求解即可．【详解】解：与的图象上存在关于轴对称的点，等价为在时，有解即可，则，即，在上有解即可，设，，作出两个函数的图象如图：当时，，当，将的图象向右平移，此时一定与有交点，满足条件，当时，则，得，综上，即实数的取值范围是故选：B．【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数与方程的应用，结合条件进行转化为在时，有解即可，利用函数与方程之间的关系利用数形结合是解决本题的关键，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想.二、多选题23．（2021·湖北·荆州中学模拟预测）若图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”(点对与视为同一个“友情点对”)若恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（）A．0 B． C． D．【答案】BD【分析】根据所给新定义，进行转化，首先求出时关于原点对称的函数为，即在上有两解，构造函数，研究的图像与性质，即可得解.【详解】首先求出时关于原点对称的函数为，若要恰有两个“友情点对”，则有两解，即在上有两解，令，求导可得，，当，，为减函数，当，，为增函数，则，所以其图像为：若要在上有两解，则，故选：BD【点睛】本题考查了函数新定义，考查了利用导数研究函数，考查了函数方程思想，同时考查了转化思想，有一定计算量，属于中档题.本题的关键有：（1）理解“友情点对”，并转化为一侧函数图像关于原点对称过去后和另一侧函数图像的交点；（2）把方程解得问题转化为函数图像交点问题.24．（2021·浙江·高一期末）已知函数（且）若此函数图象上存在关于原点对称的点，则实数m的取值可以是（）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根据函数图像上存在关于原点对称的点，转化为有解，利用参数分离法进行转化求解即可.【详解】若函数图象上存在关于原点对称的点，即有解，即，即，即，设，则，则在为增函数，设，则，则要使有解，则，即实数的取值范围是；故选：CD.【点睛】关键点睛：本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为有解，利用参数分离法进行转化是解决本题的关键.三、填空题25．（2021·广东广州·高一期末）已知函数，若的图象上有且仅有2个不同的点关于直线的对称点在直线，则实数的取值是________．【答案】2【分析】由题知，先求出直线关于直线对称的直线的方程为，进而将问题转化为图象与函数的图象有2个交点，进一步讨论将问题转化为，故令，进而转化为直线与函数有2个交点，再结合的性质求解即可.【详解】直线关于直线对称的直线的方程为，对应的函数为，其图象与函数的图象有2个交点．对于一次函数，当时，，由知不符合题意．当时，令，可得，此时，令．当时，为增函数，，当时，为先增再减函数，．结合图象，直线与函数有2个交点，因此，实数，即．故答案为：2【点睛】本题考查直线的对称性问题，函数图象的交点个数求参数问题，考查运算求解能力，数形结合思想，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件，将问题转换为图象与函数的图象有2个交点问题，进而进一步转化为直线与函数有2个交点求解.26．（2021·河北·正定中学高二月考）已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】由题意可化为函数图象与的图象有且只有2个不同的交点，令，参变分类可得，令，利用导数研究函数的单调性与极值，即可作出函数图象，数形结合求解即可．【详解】解：直线关于直线对称的直线的方程为，即，对应的函数为.所以，直线与函数的图象有两个交点.对于一次函数，当时，，且.则直线与函数的图象交点的横坐标不可能为.当时，令，可得，此时，令.当时，，当时，；当时，.此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数的极小值为；当时，，当时，；当时，.此时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，函数的极大值为.作出函数和函数的图象如图所示：由图象可知，当或时，即当或时，直线与函数的图象有两个交点.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，利用导数研究函数的性质，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，属于中档题．27．（2021·全国·高三开学考试）已知函数，，，若与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，则实数的取值范围是________.【答案】【分析】利用数学转化思想，本题转化为函数的图像关于直线对称的函数图像与函数的图像在上有交点．又可通过求的反函数来求得前面对称图像函数．有交点转化为方程有解问题，再转化为函数值域问题，从而本题得解．【详解】与的图象上分别存在点，，使得，关于直线对称，函数的图象关于直线对称图像与函数图像有交点．函数图像关于直线对称图像函数为的反函数．函数的反函数为，关于对称的函数为．此图像与函数的图像在上有交点可转化为关于的方程在上有解．可得．问题又可转化为求函数的值域．得，函数在，上的递减区间为，，递增区间为，的最小值为（e），的最大值为，函数的值域为的取值范围为故选：B28．（2021·内蒙古宁城·高三月考（理））若的图像上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”.）若，恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】要求“友情对点”，可把的函数图像关于原点对称，即研究对称过去的图像和的图像有两个交点即可.【详解】解：关于原点对称的解析式为.的图像与的交点个数即为方程根的个数，即.设，于是当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，函数取最小值.于是作出的图像如图所示.，即时与有两个交点，原函数有两对“友情对点”.故实数的取值范围是故答案为：29．（2021·河北·石家庄二中高二月考）已知函数，，，若与的图象上恰存在两个关于直线对称的点，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】求出函数关于直线的对称函数，令与的图象有两个交点得出的范围即可．【详解】关于直线对称的直线为，∴直线与在上有两个交点，作出与的函数图象，如图所示：若直线经过点，则，解得，若直线与相切，设切点为，则，解得．与的图象有两个交点则，解得，故答案为：.30．（2021·福建·三明一中高二期中）已知函数与的图象上存在两对关于直线对称的点，则实数a的取值范围是________.【答案】【分析】若函数与的图象上存在两对关于直线对称的点,则函数与函数的图象在有两个交点,

即有两个解,

即有两个解,令,对求导函数，得出导函数的正负，研究函数的单调性，最值，可求得实数a的取值范围.【详解】若函数与的图象上存在两对关于直线对称的点,

则函数与函数的图象在有两个交点,

即有两个解,

即有两个解,

令,则

，令，则，，在上单调递减，而，，即，时，，在单调递增，在单调递减，，又时，，时，，∴要使有两个解,则需，故答案为：