专题01 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题（解析版）

专题01利用奇偶性、单调性解函数不等式问题一、单选题1．（2021·河南·高三月考（文））意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题可判断为奇函数，且在上为增函数，所以不等式化为，利用单调性即可求解.【详解】由题意可知，的定义域为，，为奇函数，，且在上为减函数，由复合函数的单调性可知在上为增函数.，，，.故选：.2．（2021·广东·高三月考）已知函数，则满足的实数x的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先研究出是偶函数，然后再结合的单调性，转化为解不等式的解集即可，再构造新函数，利用新函数的单调性和特殊值求出x的取值范围【详解】故为偶函数且当时，恒成立，所以恒成立，当时，单调递增，而，由可得：，即令所以单调递减，而所以的解集为故选：D3．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（理））已知是定义在上的奇函数，且当时．若，则满足的的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件确定出函数的单调性，借助单调性解不等式即得.【详解】因当时，，则在上为减函数，根据奇函数的性质，得在上单调递减，且，由得：，即，于是得：，解得，所以的取值范围是.故选：A4．（2021·吉林·桦甸市第四中学高三月考（理））已知定义在上的可导函数，对任意的实数，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得，令，根据奇偶性的定义，可得为偶函数，利用导数可得的单调性，将题干条件化简可得，即，根据的单调性和奇偶性即可求解.【详解】由，得，记，则有，即为偶函数，又当时，恒成立，所以在上单调递增，所以由，得，即，所以，所以，即，解得：，故选：B.5．（2021·全国·高三月考）已知函数，若不等式在上有解，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据题意证明函数为偶函数，根据单调性得到，从而得到在上有解，再根据和的单调性即可得到答案.【详解】当时，，，.当时，，，.所以为偶函数.又因为在为减函数，在为增函数.所以.因为不等式在上有解，所以，即在上有解，又因为在为减函数，在为增函数，所以.故选：C6．（2021·江苏·苏州中学高三月考）已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，然后结合已知可判断的单调性及奇偶性，从而可求．【详解】解：设，由为奇函数，可得，故为上的奇函数，当时，，，单调递增，根据奇函数的对称性可知，在上单调递增，则不等式可转化为，即，即，即．故选：A7．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的最小值是（）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】由的性质知：在上递减且，结合题设不等式可得求的范围，即可知最小值.【详解】由题设，在上递减，由偶函数知：，∴，即，∴，则，得.故的最小值是.故选：C8．（2021·山东·广饶一中高三月考）函数满足，在上存在导函数，且在上，若，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题可知函数为奇函数，构造函数，再根据函数的奇偶性以及单调性解不等式即可.【详解】由函数满足，可知函数为奇函数，，即，构造函数，由题意知：在上，，故在上单调递减，为奇函数，，即为奇函数，故在R上单调递减，因此原不等式可化为：，即，解得.故选：D．9．（2021·湖北·武汉市第一中学高三月考）若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（）．A． B．C． D．【答案】C【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式组，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递增，且，所以在上也是单调递增，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，故选：C.10．（2021·河南许昌·高三月考（理））已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质解不等式.【详解】∵∴又，∴函数为奇函数，又，且仅时，∴函数在R上为增函数，∴函数为R上的增函数，不等式可化为，∴∴∴或，∴实数的取值范围是，故选：D.11．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，利用函数的奇偶性定义判定该函数为奇函数，再利用基本不等式、导函数的符号判定该函数为单调递增函数，再综合利用奇偶性和单调性进行求解.【详解】令，则，即函数为上的奇函数，又，函数为上的增函数，又，，则，，所以，即解得或，即实数的取值范围是或．故选:A．12．（2021·江苏·盐城市伍佑中学高三月考）已知函数，则的解集为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先探究得到：当或时，；当时，.然后将不等式等价为或，进而可得结果.【详解】显然，函数是定义域为的偶函数.当时，，所以是减函数，且；所以当时，是增函数，且.因此，当或时，；当时，.所以，或或或.故的解集为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是探究得到：当或时，；当时，.13．（2021·湖南·长郡中学模拟预测）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且满足，则关于的不等式的解集为（）．A． B．C． D．【答案】C【分析】令，利用奇偶性定义可知为奇函数，并可确定在，上单调递增，由知，结合不成立可确定与大致图象，由图象可确定解集.【详解】为上的奇函数，，令，则，为上奇函数；在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，由奇函数性质知：在上单调递增；，，则，又，当时，，当时，不成立，即不成立，由此可在坐标系中画出与大致图象如下图所示：由图象可知：当时，，即当时，.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式的求解，解题关键是能够通过构造函数的方式，结合奇偶性和单调性的知识确定函数的大致图象，利用数形结合的方式求得结果.14．（2021·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，进而可得答案.【详解】当时，单调递减，，当时，单调递减，，故在上单调递减，由，得的对称轴为，若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，即，即，故实数的最大值为.故选：C.15．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题根据函数的解析式先判断函数的奇偶性与单调性，再运用单调性转化不等式，接着运用参变分离构建新函数，最后借导函数求函数在指定区间内的最大值即可解题.【详解】的定义域为，，∴为奇函数，又在上单调递增，∴，∴，又，则，，∴恒成立；设，则，当时，∴在内单调递减，的最大值为从负数无限接近于，，∴，，故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、借导函数求函数的最值以及参变分离转化不等式，是偏难题.16．（2020·四川·富顺第二中学校高一月考）已知函数，则关于的不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，则可得为奇函数，从而将可化为，再由为上的增函数，可得，从而可求出解集【详解】解：设，则，所以为奇函数，因为均为上的增函数，所以为上的增函数，由，得，所以，所以，解得，所以原不等式的解集为，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性和单调性的应用，解题的关键是构造函数，判断其为奇函数，从而将可化为，再由为上的增函数，可得，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题17．（2020·全国·模拟预测（理））已知函数，则关于的不等式的解集为（）.A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，判断出的奇偶性和单调性，由此化简不等式，进而求得不等式的解集.【详解】构造函数，由于，所以，所以的定义域为.，所以为奇函数，.当时，都为增函数，所以当时，递增，所以在上为增函数.由得，即，所以，解得.所以不等式的解集为.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题.18．（2020·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．【详解】解：∵当x≥0时，f（x）＝x2，∴此时函数f（x）单调递增，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，当当x<0时，f（x）＝x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，∵2f（x）＝f（x），∴f（x+a）≥f（x）恒成立，则x+a恒成立，即a≥﹣x恒成立，∵x∈[a，a+2]，∴（）max（a+2），即a（a+2），解得a，即实数a的取值范围是故答案为．故选：【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质，是中档题．19．（2021·江苏·苏州中学高一期中）函数是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意，均有，则实数t的最大值是（）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】根据函数为偶函数，且在上单调递增，得到，化简解出即可.【详解】易知，函数在上单调递增，∴，又∵，且函数为偶函数，∴，两边平方化简，则在恒成立，令，则.综上：t的最大值为.故选：A.二、填空题20．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围为___________.【答案】或【分析】首先判断出函数的奇偶性和单调性，由此化简不等式并求得的取值范围.【详解】由，得，所以是上的奇函数．又，当且仅当时取等号，所以在其定义域内单调递增．因为，所以，所以，即解得或，故实数的取值范围是或．故答案为：或.21．（2021·安徽·马鞍山二中高三月考（理））已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），且f（x）在R单调递增，对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则使不等式成立的m取值范围是__．【答案】[0，9）【分析】由于定义在R上的函数f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），所以f（﹣x）＝g（﹣x）﹣g（x）＝﹣f（x），由此得出函数f（x）为奇函数，且在R上递增；对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则[f（+）]2＝f（2+1）；使不等式可以转化为一个无理不等式，解不等式即可求出满足条件的实数m的取值范围．【详解】由于定义在R上的函数f（x）＝g（x）﹣g（﹣x），所以f（﹣x）＝g（﹣x）﹣g（x）＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数；∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），恒有f（x1）•f（x2）＝f（x1+x2），则[f（+）]2＝f（2+1）；不等式⇔不等式f（2+1）＞f（m﹣2），∵f（x）在R单调递增，∴2+1＞m﹣2；∴m﹣2﹣3＜0；解得0≤m＜9；故答案为：[0，9）．22．（2021·湖北·襄阳五中高三月考）设是定义在R上的奇函数，对任意的，，，满足：，若，则不等式的解集为___________.【答案】【分析】令，可得函数利是定义在上的偶函数且在上单调递增，原不等式等价于，分析可得答案.【详解】令，由是定义在上的奇函数，可得是定义在上的偶函数，由对任意的，，，满足：，可得在上单调递增，由，可得，所以在上单调递减，且，不等式，即为，即，可得或，即或解得或.故答案为：.23．（2021·浙江丽水·高三专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】通过分析得到为定义域在上的奇函数，且在上单调递增，再对分类讨论，利用函数的奇偶性和单调性化简不等式得解.【详解】由题得定义域为，∵，∴，即为定义域在上的奇函数，且在上单调递增（增函数+增函数=增函数），当时，不等式显然不成立，当时，∵，∴，即为，即，∴，则，故实数的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是想到分析函数的奇偶性和单调性，对于求解函数的问题，我们要想到分析函数的性质（单调性、奇偶性和周期性）等，来帮助我们解题.24．（2021·上海师大附中高三月考）为定义在上的偶函数，在区间上是增函数，则不等式的解集为___________.【答案】；【分析】根据题意，判断出为偶函数，且在上先减再增，把转化为，进行求解即可【详解】由为偶函数，可知也为偶函数，且在上先减再增，由，可知，即，可知，解得.故答案为：【点睛】关键点睛，利用函数的性质，得到的单调性，通过化简把问题转化为，进而利用的单调性求解，属于中档题25．（2021·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝sinx－x＋，则关于x的不等式f(1－x2)＋f(5x－7)<0的解集为_____.【答案】【分析】分析得f(x)是奇函数且单调递减即可求解不等式【详解】由题f(-x)＝-sinx+x＋=-sinx+x＋=-f(x)，故函数为奇函数又令y=sinx－x,,故y=sinx－x单调递减，又单调递减，故单调递减，则f(1－x2)＋f(5x－7)<0等价为f(1－x2)<f(7－5x),即1－x2>7－5x,解得2<x<3,故填【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，准确判断函数性质是关键，是基础题26．（2021·黑龙江·高三期中（文））已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围___________.【答案】【分析】先求得函数为定义域上的偶函数，且在为递减函数，把不等式的恒成立，转化为，进而得到且在上恒成立，分别设函数和，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由函数的定义域为关于原点对称，又由，所以函数为定义域上的偶函数，所以，即不等式可化为，当时，函数根据初等函数的单调性，可得函数为单调递减函数，所以函数在上单调递增，在区间上单调递减，由，可得，整理得且，即且在上恒成立，设，可得，其中，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.设，可得，当时，，所以，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：.27．（2021·全国·高三专题练习）定义在R上的函数是减函数，的图象关于成中心对称，若s，t满足不等式，则当时，的取值范围是______.【答案】【分析】根据题意分析出为奇函数，从而由得，然后结合即可求出.【详解】因为的图象关