第三讲：几何变换的应用

PAGEPAGE4第三讲全等变换的应用【核心讲解】在第一讲我们知道，全等变换是指对图形的旋转、平移以及对折（对称）．应用全等变换可以解决许多平面几何问题，使用这种解决问题的方法对于理清解题思路、简化解题步骤有着不可替代的作用，并且对难度较大的一些平面几何问题的解决有化难为易的奇效．通过学习，首先应明白应用全等变换的目：一是将题目中所给的分散的条件加以拼合，组成某种特殊关系或者特殊形状的图形．二是将结论中或所要求解的线段、角等加以拼合，使得它们处在同一个基本图形中，从而达到方便解题的目的．下面，我们就通过例题来说明，如何利用全等变换解证几何问题的．【思维体验】一、旋转变换的应用ABCDE【例1】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE//BC且DEABCDE例1图【反思与小结】1．当题设中涉及到具有公共点的相等线段（特别是已知线段的中点）时，可以考虑使用旋转变换，以这个公共点（或线段中点）为旋转中心，通过旋转使相等的线段重合．2．本例证明的是几何中一个很重要的定理——三角形中位线定理：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．同学们可证明另一个定理：过三角形一边中点与另一边平行的直线，必平分第三边．ABCMDNABCMDN【点拨】注意到∠DAB=90°，所以只需证明∠MAN=∠DAN+∠MAB．如何使∠DAN与∠MAB“合二为一”呢？例2图【反思与小结】旋转变换是几何变换中比较常见的一种变换，它在几何求解题、证明题、作图题中都有着广泛的应用，当题设中涉及到正多边形（等边三角形、正方形、正六边形等）的情形时，采用旋转变换将分散的元素集中或将有关条件建立起联系，可收到事半功倍之效。掌握旋转变换的应用，对进行初等几何教学具有很好的指导作用。二、平移变换的应用【例3】如图，△ABC中，BD、CE是AB、AC边上的中线，且BD=CE．求证：AB=ACABECD【点拨】将分散的条件“BD、CE是…且ABECD形内（构成三角形的两条边）以便于利用这个条件．【解】例3图【反思与小结】此为将分散条件通过平移而集中的一例，又是线段的平移．通常如本例所那样，是通过构造平行四边形来平移线段的．平移之后还要利用平移的性质，找出图中线段、角的等量关系.利用所找的等量关系和已知条件，确定解题方法并作出解答.【例4】（2009年绥化中考题改编）如图：在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，FE的延长线分别交BA、CD的延长线于点M、N，若AB=CD．求证：∠BMF=∠CNFAMBEAMBECDFN变换“拉近”．例4图【反思与小结】此为将结论中分散图形通过平移而集中的一例，又是角的平移．角的平移可有两种方法：一是在该角的一条边上选取一个适当的点，过该点作角的另一边的平行线；二是在图形中选取一个适当的点，过该点分别作角的两边的平行线．通常情况下的，方法一优于方法二．在例2中，需平移两个角，请注意这里是怎样利用中位线平移角的．ABABCD【例5】1．如图，△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC于D．求证：BD=AC+CD．【点拨】将条件中所涉及到的∠C移动位置，以便更好地利用条件∠C=2∠B．那么怎样移动∠C呢？例5图16．如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，求证：BC﹣AC=AD．AABCD7．如图，在△ABC中，D、E在BC边上，∠CAE=∠B，E是CD的中点，AE平分∠BAE．ABCED求证：ABCED提高训练ABCD1．如图，四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．ABABCDA．AB﹣AD>CB﹣CDB．AB﹣AD=CB﹣CDC．AB﹣AD<CB﹣CDD．AB﹣AD与CB﹣CD的大小不确定2．如图，四边形ABCD中，AC=BD，AC、BD交于O，E、F是AB、CD中点，EF交对角线于点G、H，求证：OG=OH3．在正方形ABCD作∠MAN=45°，M、N分别在BC、CD上，再作AH⊥MN于H．求证：AH等于正方形的边长．4．如图，在“风车三角形”中，AA’=BB‘=CC’=2，∠AOB‘=∠BOC’=60°．求证：S△AOB′+S△BOC′+S△COA′<