第六章-定积分及其应用_第1页
第六章-定积分及其应用_第2页
第六章-定积分及其应用_第3页
第六章-定积分及其应用_第4页
第六章-定积分及其应用_第5页
已阅读5页，还剩4页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

第六章定积分及其应用1．证明：设为上连续且非负，则的充要条件为在上恒为零，即。证明：充分性是显然的，以下证明必要性。法1：反证法。若存在为的某一连续点，且，则，使，从而有与已知矛盾。从而结论成立。法2：对一切的有从而，。那么即。2．利用定积分求极限：1）；2）。解：1）2）3．设在上为连续函数，为单调的连续可微函数。证明：存在，使得。证明：这是加强条件的积分第二中值定理，有一个不难的证明。设，，则有由假设为单调函数，故不变号，从而，使得4．设连续，，求。解：令，则所以。5．设连续，且，求。解：令，对两边积分有：所以。则。6．设在区间上可微，且满足条件。试证：存在，使。证明：令，则存在，使又由在上连续，在内可导且，由Rolle定理可知：所以左右。11．设，求。解：法1：令，则，法2：即原式12．若函数在上有连续导数，且，证明：。证明：由，利用Cauchy-Schwarz不等式同理由，记，于是13．证明Cauchy-Schwarz不等式：若和都在上可积，则有证明：法1：对任意实数上式右端是的二次三项式，则其判别式非正，即故原式得证。法2：令，则。所以在上单调递增，即。14．（Young不等式）设（）是严格单调增加的连续函数，。是它的反函数，求证：（，）等号仅当时成立。证明：1先证成立。（2）由是严格单调增加的连续函数，故在也是严格单调增加的连续函数，故式（2）中的积分有意义。将等份，记分点为相应的点（）构成区间的一个划分。由在连续，故一致连续，故当时，对上述划分有：故故式（2）得证。2由式（2）可知，若，则所要证的不等式中等号成立。3若，则由的连续性可知，存在，使，于是（）4若的情形，只要将看成的反函数，即可由3的结论得到。5联系2、3、4可知所要证明的不等式成立。当且仅当时等号成立。15．证明Minkowski不等式：若和都在上可积，则有其更一般的形式是（）。证明：又由Cauchy-Schwarz不等式得所以从而16．计算下列积分的值（1）（2）（3）解：（1）。（2）。（3）。17．设在上连续，在内有，证明存在唯一的使曲线与，所围图形的面积是曲线与，所围图形的面积的三倍。证明：设对任意，则，令，。问题是要证明存在唯一的使。显然在上连续，且则存在使。又，即单增，故存在唯一的使。18．求摆线，的一拱（），与轴所围图形绕轴旋转所得的旋转体的体积。解：本题用柱壳法求较易。故19．半径为、比重为的球沉入水中。试求把球提提出水面需作的功。分析：由于球的比重与水相同，处于悬浮状态，因此可设初始时刻球的顶部与水面相齐；而且把球从水中提出的作功问题，相当于把球形水罐中的水从顶部全部抽出的作功问题。只是这里在把球的每一薄片提升至水面时并不需要作功，需要克服重力作功的是将它继续提升至使整个球离开水面的那一段距离。解：设球的顶与水面相切，以水平面为轴

人人文库> 全部分类> 行业资料 > 信息产业

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论