第15讲 椭圆中6大最值问题题型总结（原卷版）

第15讲椭圆中6大最值问题题型总结【题型目录】题型一：利用均值不等式求最值题型二：利用焦半径范围求最值题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题题型五：椭圆有关向量积最值问题题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值【典型例题】题型一：利用均值不等式求最值【例1】已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（

）．A．13 B．12 C．25 D．16【例2】（2022·安徽·高二阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（

）A． B．C． D．【题型专练】1.（2022·河南·辉县市第一高级中学高二期末（文））设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高二课时练习）已知P(m，n)是椭圆上的一个动点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3.（2022·全国·高三专题练习）已知点P在椭圆上，为椭圆的两个焦点，求的取值范围．题型二：利用焦半径范围求最值【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：（）的右焦点，点是椭圆C上的一个动点．求证：．【例2】（2021·山西吕梁·一模（理））已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________．【例3】（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二开学考试（文））已知椭圆，点，为椭圆上一动点，则的最大值为____.【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（

）A．（0，） B．（0，2）C．（l，2） D．（，2）【题型专练】1.平面内有一长度为4的线段，动点P满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．2.已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，且，则的最小值是．3.已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则椭圆上任意一点到椭圆中心的距离的取值范围是（

）A． B． C． D．【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例3】（2022·重庆市实验中学高二阶段练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.【题型专练】1.（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为________.2.已知椭圆的焦点，过点引两条互相垂直的两直线、，若为椭圆上任一点，记点到、的距离分别为、，则的最大值为（）A．2 B． C． D．3.（多选题）已知点是椭圆：上的动点，是圆：上的动点，则（

）A．椭圆的短轴长为1 B．椭圆的离心率为C．圆在椭圆的内部 D．的最小值为4．（全国·高二课前预习）点、分别在圆和椭圆上，则、两点间的最大距离是（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的的焦点为是C上的动点，直线经过椭圆的一个焦点，的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）求的最小值和最大值．题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题两种思路：法一：设椭圆参数方程，即设椭圆上一点为，用点到直线的距离公式法二：利用直线与椭圆相切，联立方程，利用判别式，求出切线，再求两直线间距离【例1】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【例2】（2022·全国·高二专题练习）椭圆上的点到直线的距离的最大值为______.【例3】（2021·浙江·慈溪市浒山中学高二阶段练习）设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为___________.【题型专练】1．（2022·甘肃·兰州一中高二期中（文））已知实数x，y满足方程，则的最大值为________．2．（2022·全国·高二专题练习）椭圆：上的点到直线的距离的最小值为_____.3.（2022·四川遂宁·高二期末（理））如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上的一点，且．(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C方程；(2)求点M到直线距离的最大值.4．（2020·海南·高考真题）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.题型五：椭圆有关向量积最值问题【例1】（2022·黑龙江·佳木斯一中高二期中）已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（

）A．[8，12] B． C． D．【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则的取值范围是____________【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知点满足，点A，B关于点对称且，则的最大值为（

）A．10 B．9 C．8 D．2【题型专练】1.（2022·山东·高三开学考试）在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为（

）A． B． C． D．12.（2022·全国·高三专题练习多选题）已知椭圆的左､右焦点为､，点为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（

）A．椭圆的长轴长为B．椭圆的离心率C．△的周长为D．的取值范围为3．（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________.4.（2015·山西大同市·高二期末（理））设、分别是椭圆的左、右焦点，若Q是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为A．与B．与C．与D．与题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值此种类型题目，一般要利用椭圆定义，转化为三点共线问题，利用三角形两边之和大于第三边，或者两边之差小于第三边解决【例1】（2022·辽宁·高二期中）动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（

）A．4 B．8 C． D．12【例2】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（

）A． B．13 C．3 D．5【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：(1)的最大值与最小值；(2)的最大值与最小值．【题型专练】1.（2022·全国·高二专题练习）已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（

）A． B． C． D．2.（2022·全国·高二专题练习）已知