分块矩阵的初等变换

分块矩阵的初等变换

1.平均分块矩阵的最小交换作为解决矩阵问题的主要方法，矩阵可以通过将多个子块排列与纵向虚线划分，然后以子块为元素的形式将矩阵划分为不同的子块。因此，矩阵的第一部分可以推广到块矩阵的第一部分，矩阵分为以下三种形式：（1）指定块矩阵中任何排列（列）的位置；（2）使用广义矩阵p左（右）乘以块矩阵的每一行（列）。（3）将块矩阵的任何一行（列）到另一行（列）。需要注意的是,在第(2)类变换中,P必须可逆,这样才能保证初等变换的可逆性,而且在第(2),第(3)类变换中,矩阵P左乘分块矩阵的某一行只能进行行变换,矩阵P右乘分块矩阵的某一列只能进行列变换,相乘时要满足矩阵相乘的条件,若相乘结果还要加到另一行(列)时,还需满足矩阵相加的条件.为了表示分块矩阵进行初等交换的过程,可采用与矩阵的初等变换表示相类似的符号表示以上三种交换,即(1)ri↔rj或ci↔cj;(2)Pri或ciP;(3)rj+Pri或cj+ciP.利用分块矩阵的初等变换,不仅能使矩阵的一些证明和计算变得非常简洁和快速,易于学生理解和掌握,而且能开拓学生思维,提高学生灵活应用知识解决问题的能力.下面,就以四分块矩阵为例,来说明分块矩阵的初等变换在解决矩阵的一些问题中的应用.2.等块矩阵初步变换的应用2.1明确行列式的证明利用行列式计算的性质,可推得分块矩阵A经三种初等变换后,与所得分块矩阵A1,A2,A3的行列式之间满足下列关系:(1)|A1|=(-1)st|A|={|A|当st为偶数时,-|A|当st为奇数时.其中s,t为变换的两行(列)中所含子块的行(列)数;(2)|A2|=|Ρ||A|,其中矩阵P为左(右)乘某一行(列)的可逆方阵;(3)|A3|=|A|,即第三种初等变换不改变分块矩阵的行列式.利用这些结果,再加上由拉普拉斯定理得出的一个结论|A0CB|=|A||B|,会使许多行列式的证明与计算变得非常容易.例1已知A,B均为n阶方阵,求证|ABBA|=|A+B||A-B|.证明[A+BB+ABA]c2-c1→[A+B0BA-B],所以|ABBA|=|A+B0BA-B|=|A+B||A-B|.例2设A,B分别是m×n和n×m矩阵(m≥n)λ≠0,求证|λEm-AB|=λm-n|λEn-BA|.证明因为[λEm-ABA0En]c1+c2B→[λEmABEn]c2-c1Aλ→[λEm0BEn-BAλ],所以|λEm-ABA0En|=|λEm0BEn-BAλ|.即|λEm-AB|=|λEm||En-BAλ|=λm|1λ(λEn-BA)|=λm-n|λEn-BA|.特别地,当λ=1时,有|Em-AB|=|En-BA|.例3设分块矩阵Μ=[ABCD]‚B与C分别为m×m,n×n可逆矩阵,若C可逆,求|Μ|.解因为Μ=[ABCD]r1-AC-1r2→[0B-AC-1DCD]r1↔r2→[CD0B-AC-1D],所以|CD0B-AC-1D|=(-1)mn|Μ|,即|Μ|=(-1)mn|C||B-AC-1D|.2.2rabcrabrbc-rb的定理引理1分块矩阵的初等变换不改变分块矩阵的秩.R[AC0B]≥R(A)+R(B);R[AC0B]≥R(C).利用这两个引理,可以证明许多矩阵秩的不等式,而且证明过程简洁快速。定理1设A,B都是m×n矩阵,则R(A+B)≤R(A)+R(B).证明因为[A00B]→r1+r2[AB0B]→c1+c2[AA+B0B],所以R[A00B]=R[AA+B0B],即得R(A+B)≤R(A)+R(B).定理2设A、B、C分别为m×n,n×l,l×s矩阵,则R(ABC)≥R(AB)+R(BC)-R(B).证明因为[ABC00B]→r1+Ar2[ABCAB0B]→c1-c2C[0AB-BCB]→c1↔c1[AB0B-BC]→(-E)r2[AB0-BBC],所以R[ABC00B]=R[AB0-BBC],则有R(ABC)+R(B)≥R(AB)+R(BC),即R(ABC)≥R(AB)+R(BC)-R(B).这个结论就是著名的Frobenious不等式。推论1若A,B分别为m×n,n×s矩阵,则R(AB)≥R(A)+R(B)-n.证明设E为n阶单位矩阵,则由定理2知,R(AEB)≥R(AE)+R(EB)-R(E),即有R(AB)≥R(A)+R(B)-n.特别地当AB=0时,由推论1或者由分块矩阵的初等变换:[A0EB]→r1-Ar2[0-ABEB]→c2-c1BAB=0[00E0],可得到线性代数中一个重要的结论:R(A)+R(B)≤n,这个结论一般的教材只有学了齐次线性方程组的基础解系后才能证明,而且要用到分块矩阵相乘与解向量的线性表示等知识,方法要比分块矩阵的初等变换方法复杂许多.2.3关于构造分块矩阵的初等变换由于求一个方阵的逆矩阵可用矩阵的初等变换,即[A⋮E]→初等行变换[E⋮A-1],因此,对于分块矩阵求逆,也可以采用分块矩阵的初等变换来求,下面就通过具体的例子来说明.例4设分块矩阵Μ=[ABCD],其中A,B,C,D分别为m×m,m×n,n×m,n×n矩阵,若A与D-CA-1B都可逆,求M-1.解由于[ACBD]→r2-CA-1r1[A0BD-CA-1B]→(D-CA-1B)-1r2[ABE00E-(D-CA-1B)-1CA-1(D-CA-1B)-1]→r1-Br2[A0E+B(D-CA-1B)-1CA-1-B(D-CA-1B)-10E-(D-CA-1B)-1CA-1(D-CA-1B)-1]→A-1r1[E0A-1+A-1B(D-CA-1B)-1CA-1-A-1B(D-CA-1B)-10E-(D-CA-1B)-1CA-1(D-CA-1B)-1]‚所以Μ-1=[A-1+A-1B(D-CA-1B)-1CA-1-A-1B(D-CA-1B)-1-(D-CA-1B)-1CA-1(D-CA-1B)-1].特别地,当B=0,C=0时,则Μ-1=[A-100D-1];当B≠0,C=0时,则Μ-1=[A-1-A-1BD-10D-1];当B=0,C≠0时,则Μ-1=[A-10-D-1CA-1D-1].这与先设出分块矩阵的逆矩阵,再由相乘结果列出矩阵方程,再求解矩阵方程的方法相比较,该方法直接,不易出错,而且便于检查.特别是当矩阵中含有大量零元素时,这种方法的优越性就更加明显.通过以上实例我们可以看出,分块矩阵的初等变换方法在