关于行列式的讨论

关于行列式的讨论

1按列标排列排列行列公式用于将nn数据表计算为特定算法对应于数字的映射。现举其中的一个定义如下:定义1由n2个元素aij(i,j=1,2,3,…,n)排成n行n列,记为表示按列标排列形成的n!项代数和,表示行标为标准排列时,n个不同行不同列元素的乘积,表示行标为标准排列时,列标奇排列取负,列标偶排列取正。在行列式定义的教学上该算法本身就是一个难点。而很多的学生常常更要问为什么要定义这样一个复杂的映射呢?为了让学生的对行列式的意义有更全面深入的了解,可以结合行列式产生和发展的历史来为学生讲解。2行列式的由来数学开始就是一些数字运算,先有加法及其反运算减法;由于相同的数加起来越来越困难,就诞生了其简便运算方法乘法,及其反运算除法;随着数学的发展,相同的数相乘也运到困难,就诞生了乘方及其反运算开方。用数字运算只能解决一些问题,用字母代替数后就能解决同类的问题,这样代数就产生了,解决物体的形态时产生了几何;数学是在不断发展着,由于有了代数,就可以把未知的数用一个字母代替,根据数据的关系列成方程式,也就产生了列方程与解方程。有时一个运动关系不只有一个未知数,就用多个字母分别表示,这样就有了二元及多元方程组成的方程组。解这些一元的方程比较简单,借那些多元购的方程就十分复杂,就有人把它们的系数列成方阵,这就是行列式的产生,用这些系数很容易得到未知数的解,并且不需把所有的未知数都解出来,因此解行列式的方法得到推广,在解行列式的基础上矩阵也就进一步发展出来。行列式出现于线性方程组的求解,它最早是一种速记的表达式,现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作,标题的意思是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。1693年4月,莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式,并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。1750年,瑞士数学家克莱姆(G.Cramer,1704～1752)在其著作《线性代数分析导引》中,对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述,并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后,数学家贝祖(E.Bezout,1730～1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化,利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。总之,在很长一段时间内,行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用。3柯西和雅分析:行列式的发展在行列式的发展史上,第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述,即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人,是法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735～1796)。他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说,他是这门理论的奠基人。1772年,拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则,推广了他的展开行列式的方法。继范德蒙之后,在行列式的理论方面,又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。1815年,柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外,他第一个把行列式的元素排成方阵,采用双足标记法;引进了行列式特征方程的术语;给出了相似行列式概念;改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。19世纪的半个多世纪中,对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士·西尔维斯特(J.Sylvester,1814～1894)。他的重要成就之一是改进了从一个n次和一个m次的多项式中消去x的方法,他称之为配析法,并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果,但没有给出证明。继柯西之后,在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比(J..Jacobi,1804～1851),他引进了函数行列式,即“雅可比行列式”,指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用,给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用,促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整个19世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外,还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。4行列式的应用解析几何的发展必然将行列式这个代数工具应用到几何之中。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说,在n维欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如说换元积分法中),行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用。这里以由3个向量构成的平行六面体为例,对行列式的几何意义作个介绍。由解析几何可知这3个向量的混合积等于各向量分量构成的行列式值,就是平行六面体的体积。即解析几何的发展使我们从空间的直观上可以更好的了解行列式的意义。5法国学者关于行列式的观点从行列式历史,我们不难理清行列式在线性代数课程中各个章节里它的作用。行列式的产生是用