高等数学中泰勒公式的应用

高等数学中泰勒公式的应用

在高等数学教材中，对泰勒公式的应用很少，也分散，一些应用没有介绍（例如，解行列公式）。本文从四个方面探讨了泰勒公式的应用。1证明sinxx-16x3.3.2.2.2.3当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1当x≥0时,证明sinx≥x-16x3.证明取f(x)=sinx-x+16x3‚x0=0,则f(0)=0,f′(0)=0,f″(0)=0,fue087(x)=1-cosx,fue087(0)≥0.故当x≥0时得,sinx≥x-16x3.2求极限谱图1-4.2x4.2x4.2x4.2.2一般是把所求极限式经过变换后,其部分项用泰勒公式替换,并注意到limx→0o(xn)xn=0,其次在解题过程中可能用到下面几个情形:xm·o(xn)=o(xm+n),o(xm)·o(xn)=o(xm+n)±o(xm)±o(xn)=o(xm)(m≤n),k·(xn)=0(xn)(k为常数).例2求极限limx→0cosx-e-x22x4.解利用展开式cosx=1-x22+x424+o(x5)‚e-x22=1-x22+x48+o(x4).所以原式=limx→0-112x4+o(x4)x4=-112.3e-2mdx的方法当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的好方法.例3求∫10e-x2dx的近似值,精确到10-5.解因为∫10e-x2dx中的被积函数是不可积的(即不能用初等函数表达),现用泰勒公式的方法求∫10e-x2dx的近似值.在ex的展开式中以-x2代x得逐项积分,得上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项Rn的估计式知|R7|≤175600＜0.000015.所以∫10e-x2dx≈1-13+110-142+1216-11320+19360≈0.746836.4zfnx评分表若一个行列式可看做x的函数(一般是x的n次多项式),记作f(x),按泰勒公式在某处x0展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例4求n阶行列式D=|xyy⋯yzxy⋯yzzx⋯y⋯⋯⋯⋯⋯zzz⋯x|.(1)解记fn(x)=D,按泰勒公式在z处展开:fn(x)=f(z)+f′n(z)1！(x-z)+f″n(z)2！(x-z)2+⋯+f(n)n(z)n！(x-z)n.(2)易知D=|z-y00⋯0y0z-y0⋯0y00z-y⋯0y⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯z-yy00000Ζ-y|k阶=z(z-y)k-1.(3)由(3)得,fk(z)=z(z-y)k-1,k=1,2,…,n时都成立.(4)根据行列式求导的规则,有f′n(x)=nfn-1(x),f′n-1(x)(n-1)fn-2(x),…,f′2(x)=2f1(x),f′1(x)=1(因为f1(x)=x).于是fn(x)在x=z处的各阶导数(注意到公式4)为f′n(z)=f′n(x)|x=z=nfn-1(z)=nz(z-y)n-2,f″n(z)=f″n(x)|x=z=nf′n-1(z)=n(n-1)z(z-y)n-3,…………fnn-1(z)=fnn-1(x)|x=z=n(n-1)…2f1(z)=n(n-1)…2zfn(n)(z)=n(n-1)…2·1.把以上各导数代入(2)式中,有fn(x)=z(z-y)n-1+n1！z(z-y)n-2(x-z)+n(n-1)2！z(z-y)n-3⋅(x-z)2+⋯+n(n-1)⋯2(n-1)！z(x-z)n-1+n(n-1)⋯2⋅1n！(x-z)n.若z=y,有fn(x)=(x-y)n-1[x+(n-1)y];若z≠y,有fn(x)=z(x-y)n-y(x-z)nz-y.以上我们就四个方面讨论了泰勒公式的应用,特别是用泰勒公式求解行列式这一方法在高等