福建省福州市透堡中学2022-2023学年高三数学文测试题含解析

福建省福州市透堡中学2022-2023学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C【知识点】简单线性规划．E5作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，1），C（0，1）设，将直线l：进行平移，观察x轴上的截距变化，当l经过点C时，z达到最小值；l经过点A时，z达到最大值∴z最小值=F（0，1）=﹣1，z最大值=F（2，0）=2,即的取值范围是,故选：C.【思路点拨】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，观察x轴上的截距变化，得出目标函数的最大、最小值，即可得到的取值范围．2.已知集合，，则=（

）A． B．C．（0,3) D．(1,3)参考答案：D考点：集合的运算试题解析：所以故答案为：D3.已知命题:，使得，则命题是(

)A.，使得

B.，都有

C.，都有或

D.，都有或参考答案：D4.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的标准方程为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.已知实数a，b满足，设函数，则使f(a)≥f(b)的概率为

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】概率

K3D解析：由题意可知a,b的值一定在的递减区间上，而在所表示的范围中，的概率是相等的，所以f(a)≥f(b)的概率为，所以D正确.【思路点拨】由几何概型的计算方法可以求出概率.6.已知曲线y=x2+1在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标为（

）

A．（1，3）

B．（-4，33）C．（-1，3）

D．不确定参考答案：C7.已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立，设（e为自然对数的底），则

（

）

A．

B．

C．

D．F（2012）与F（0）的大小不确定参考答案：A略8.已知体积为的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为(

)A． B． C．1 D．参考答案：C【考点】由三视图还原实物图．【专题】计算题．【分析】利用三视图的数据，几何体的体积，直接求出几何体的高即可．【解答】解：由三视图可知正三棱柱的底面边长为2，设正三棱柱的高为：h，正三棱柱的体积为：=，解得h=1．故选C．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，几何体的体积的应用，考查计算能力．9.设F为抛物线的焦点，与抛物线相切于点P（-4，-4）的直线与x轴的交点为Q，则等于

（

）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°参考答案：D略10.某公司准备招聘一批员工，有20人经过初试，其中有5人是与公司所需专业不对口，其余都是对口专业，在不知道面试者专业情况下，现依次选取2人进行第二次面试，则选取的第二人与公司所需专业不对口的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】CF：几何概型．【分析】求出从经过初试的20人中任选2人的所有不同方法种数，再分类求出选到第二人与公司所需专业不对口的选法种数，利用古典概型概率计算公式得答案．【解答】解：从经过初试的20人中任选2人，共有=20×19种不同选法．第一个人面试后，则选到的第二人与公司所需专业不对口的选法分为两类：第一类、第一个人与公司专业对口的选法为；第二类、第一个人与公司专业不对口的选法为．故第一个人面试后，选到第二人与公司所需专业不对口的选法共15×5+5×4=19×5．∴选取的第二人与公司所需专业不对口的概率是．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，与圆相切于，为圆的割线，并且不过圆心，已知，，，则圆的半径等于

.参考答案：712.若不等式|mx3﹣lnx|≥1对?x∈（0，1]恒成立，则实数m的取值范围是．参考答案：[e2，+∞）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】根据绝对值不等式的性质，结合不等式恒成立，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数以及函数的最值即可．【解答】解：|mx3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立等价为mx3﹣lnx≥1，或mx3﹣lnx≤﹣1，即m≥，记f（x）=，或m≤，记g（x）=，f'（x）==，由f'（x）==0，解得lnx=﹣，即x=e﹣，由f（x）＞0，解得0＜x＜e﹣，此时函数单调递增，由f（x）＜0，解得x＞e﹣，此时函数单调递减，即当x=e﹣时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（e﹣）===e2，此时m≥e2，若m≤，∵当x=1时，=﹣1，∴当m＞0时，不等式m≤不恒成立，综上m≥e2．故答案为：[e2，+∞）．13.下列结论：

①已知命题p：；命题q：则命题“”是假命题；②函数的最小值为且它的图像关于y轴对称；

③“”是“”的充分不必要条件；

④在中，若，则中是直角三角形。

⑤若；其中正确命题的序号为

．（把你认为正确的命题序号填在横线处参考答案：无略14.若函数对任意实数满足：，且，则下列结论正确的是_____________．①是周期函数；②是奇函数；③关于点对称；④关于直线对称．

参考答案：①②③

略15.设向量=（1，x），=（x，1），若?=﹣||?||，则x=．参考答案：﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先求出，，然后代入即可得到关于x的方程，解出x即可．【解答】解：，；∴由得：2x=﹣（x2+1）；解得x=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】考查向量坐标的数量积运算，根据向量坐标求向量长度的方法．16.在平面直角坐标系xoy中，若直线l与圆C1：x2+y2=1和圆C2：（x﹣5）2+（y﹣5）2=49都相切，且两个圆的圆心均在直线l的下方，则直线l的斜率为．参考答案：7【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设两切点分别为A，B，连接AC1，BC2，过C1作C1D∥AB交BC2于D，则直角三角形C1CD，tan∠DC1C2=，利用和角的正切公式，即可求出直线l的斜率．【解答】解：设两切点分别为A，B，连接AC1，BC2，过C1作C1D∥AB交BC2于D，则直角三角形C1CD，tan∠DC1C2=，∵∠xC1C2=，∴tan∠DC1x=tan（∠DC1C2+）==7．故答案为：7．17.一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率是_______。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.平面直角坐标系xOy中，圆的圆心为M.已知点，且T为圆M上的动点，线段TN的中垂线交TM于点P.（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点P的轨迹为曲线C1，抛物线C2：的焦点为N.l1，l2是过点N互相垂直的两条直线，直线l1与曲线C1交于A，C两点，直线l2与曲线C2交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）∵为线段中垂线上一点，∴，∵，，∵，∴的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，它的方程为.（Ⅱ）∵的焦点为，的方程为，当直线斜率不存在时，与只有一个交点，不合题意.当直线斜率为时，可求得，，∴.当直线斜率存在且不为时，方程可设为，代入得，，设，，则，，.直线的方程为与可联立得，设，，则，∴四边形的面积.令，则，，∴在是增函数，，综上，四边形面积的取值范围是.

19.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，点E是棱PB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥PB（Ⅱ）若PD=2，AB=，求直线AE和平面PDB所成的角．参考答案：考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）判断AC⊥面PBD，再运用直线垂直直线，直线垂直平面问题证明．（II）根据题意得出AC⊥面PBD，运用直线与平面所成的角得出∴∠AEO直线AE和平面PDB所成的角利用直角三角形求解即可．解答： 证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，AC⊥BD，∵PD∩DB=D，∴AC⊥面PBD，∵PB?面PBD，∴AC⊥PB．（Ⅱ）连接EO，∵点E是棱PB的中点，O为DB中点，∴OE∥PD，∵PD=2∴OE=1∵AC⊥面PBD，∴∠AEO直线AE和平面PDB所成的角∵底面ABCD是正方形，AB=，∴AC=2，AO=1，∴Rt△AEO中∠AEO=45°即直线AE和平面PDB所成的角45°点评：本题考查了棱锥的几何性质，直线与平面角的概念及求解，考查学生的空间思维能力，运用平面问题解决空间问题的能力．20.（本题满分7分）证明下面两个命题：（1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大；（2）余弦定理：如右图，在中，、、所对的边分别为、、，则．参考答案：证明一：（1）设长方形的长，宽分别为，，由题设为常数由基本不等式2：，可得：，当且仅当时，等号成立，即当且仅当长方形为正方形时，面积取得最大值．证明二：（1）设长方形的周长为，长为，则宽为于是，长方形的面积，所以，当且仅当时，面积最大为，此时，长方形的为，即为正方形（2）证法一：

．故，．证法二

已知中所对边分别为以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，．故，．证法三

过边上的高，则．故，．21.已知函数=m（１）若a＝b＝且m＝１，求的最大值（２）当a＝０，b＝－１时，方程m＝有唯一的一个实数解，求正数m的取值范围参考答案：解：（１）=∴＝由＝０且x>０得x＝１Ｘ(0，１)１（１，＋∞）＋０－f(x)↗－↘∴的最大值是＝－┉┉┉┉┉┉６分（２）设防则令＝０且x>０得x＝mＸ(0，m)m（m，＋∞）－０＋f(x)↘g（m）↗∴的最小值是∵方程m＝有唯一的一个实数解

∴m＝１

┉┉┉１２分

略22.如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．参考答案：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）取AB的中点O，连结EO、CO，由已知得△ABC是等边三角形，由此能证明平面EAB⊥平面ABCD．（II）VE﹣ABCD=，由此能求出四棱锥E﹣ABCD的