湖南省永州市桐山中学高三数学文期末试题含解析

湖南省永州市桐山中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.以下有四个命题：①一个等差数列{a}中，若存在a+1>a>O(k∈N)，则对于任意自然数n>k，都有a>0；②一个等比数列{a}中，若存在a<0，a+1<O(k∈N)，则对于任意n∈N，都有a<0；③一个等差数列{a}中，若存在a<0，a<0(k∈N)，则对于任意n∈N，都有a<O；④一个等比数列{a}中，若存在自然数k，使a·a<0，则对于任意n∈N，都有a.a<0；其中正确命题的个数是（

）A.0个

B.1个

C.2个

D.3个参考答案：D2.已知椭圆过点（3，2），当a2+b2取得最小值时，椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】将点代入椭圆方程，利用“1”代换，根据基本不等式的即可a和b的关系，利用椭圆的离心率即可求得【解答】解：由点在椭圆上则：，则a2+b2=（a2+b2）（+）=9+++4=13+2=25，当且仅当=，即=，由椭圆的离心率e===，∴椭圆的离心率，故选：D．【点评】本题考查椭圆的方程及椭圆的离心率，考查“1”代换，基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题．3.若是方程的解，则属于区间（

）A

(,1)

B

(,)

C

(,)

D

(0,)参考答案：C略4.设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（） A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示． 【专题】平面向量及应用． 【分析】利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x． 【解答】解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线， 所以4x=2×6，解得x=3； 故选：B． 【点评】本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=ym． 5.若均为单位向量，且，，则的最大值为（A）

（B）1

（C）

（D）2参考答案：B本题考查了向量问题，考查了向量数量积的定义运算，考查了最值问题.，难度中等。由得，，因此的最大值为1，选B.6.lg﹣lg25=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2参考答案：A【考点】对数的运算性质．【分析】直接根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：lg﹣lg25=lg=﹣2，故选：A7.若函数在区间（1，+）单调递增，则k的取值范围是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D8.设,则（）A． B． C． D．参考答案：D略9.已知F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．3参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先求出F1到渐近线的距离，利用F1关于渐近线的对称点恰落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），设一条渐近线方程为y=﹣x，则F1到渐近线的距离为=b．设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，∴|MF1|=2b，A为F1M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F2M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：C．10.平面向量a与b的夹角为60°，等于

A．

B．2

C．4

D．12参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．参考答案：∪[3，+∞）

【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令y=3x﹣a=0，则x=log3a，令y=π（x﹣3a）（x﹣2a）=0，则x=2a，或x=3a，根据f（x）恰有2个零点，分类讨论满足条件的a值，可得答案．【解答】解：令y=3x﹣a=0，则x=log3a，令y=π（x﹣3a）（x﹣2a）=0，则x=2a，或x=3a，若a≤0时，则x=log3a无意义，此时函数无零点；若0＜a＜3，则x=log3a＜1必为函数的零点，此时若f（x）恰有2个零点，则，解得：a∈，若a≥3，则x=log3a≥1必不为函数的零点，2a≥1，3a≥1必为函数的零点，此时a∈[3，+∞），综上可得实数a的取值范围是：∪[3，+∞），故答案为：∪[3，+∞）12.在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点，点的坐标为，则的最小值为

.参考答案：略13.已知经过双曲线的一个焦点的直线，垂直于C的对称轴，且与C两条渐近线分别交于两点，若为C的实轴长的倍，则C的离心率

.参考答案：14.如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,,则_________.参考答案：2利用已知条件可得，15.若函数的图象如图所示，是函数的导函数，且是奇函数，则下列结论中

①②③正确的序号是

. 参考答案：①③16.如果是定义在上的奇函数，且当时，的图象如图所示。则不等式的解是

。参考答案：17.马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表：X123P?!?

请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案

▲

.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，定点M（1，0），椭圆短轴的端点是B1，B2，且

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由，参考答案：（1）解：由，

得.

因为，所以△是等腰直角三角形，所以，.

所以椭圆的方程是.

（2）解：设，，直线的方程为.

将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得.

所以，.

若平分，则直线，的倾斜角互补，所以.

设，则有.将，代入上式，整理得，所以.

将，代入上式，整理得.

由于上式对任意实数都成立，所以.

综上，存在定点，使平分.19.（本小题满分12分）已知向量，．（I）求的单调区间；（II）在锐角中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围．参考答案：20.（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,

AA=2,

E、E分别是棱AD、AA的中点.)设F是棱AB的中点,证明：直线EE//平面FCC；（1）

证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.

参考答案：证明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4,CD=2,且AB//CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE//平面FCC.（2）连接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以CC1⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4,BC=2,

F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，,△ACF为等腰三角形，且所以AC⊥BC,

又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C,所以AC⊥平面BB1C1C,而平面D1AC,所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.

21.如图1，在矩形中，,分别是,的中点，沿将矩形折起，使，如图2所示：

（Ⅰ）若,分别是,的中点，求证：//平面；（Ⅱ）若，，求三棱锥的体积．

参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．试题分析：（Ⅰ）思路一：取中点，连结、，根据,分别是,的中点，应用三角形中位线定理得到四边形为平行四边形.思路二：取中点，连结,，根据,分别是,的中点，应用三角形中位线定理得到四边形为平行四边形，又平面，平面，//平面.思路三：取中点，连结,，根据,分别是,的中点，，得到//平面，//平面，由平面//平面即得.（Ⅱ）根据

得到平面，又，推出为等边三角形，计算得到试题解析：（Ⅰ）法一：取中点，连结、

………1分,分别是,的中点，且，，且四边形为平行四边形，……4分又平面，平面//平面

………………6分法二：取中点，连结,

………1分,分别是,的中点，且，，且，四边形为平行四边形

………4分又平面，平面//平面

…6分

法三：取中点，连结,…………1分,分别是,的中点，，又平面，平面平面,平面//平面，//平面……4分，平面//平面而平面//平面

……6分（Ⅱ）

平面

……………………8分又，，且

为等边三角形而中，

，

…………………10分故三棱锥的体积为．

……………12分考点：1.平行关系、垂直关系；2.几何体的体积.22.某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元。

（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；

（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q