数学人教B版必修4学案2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算基础知识基本能力1．理解平面向量的正交分解及其作用．(重点)2．了解向量的坐标表示与平面直角坐标系中点的坐标的异同．(易错点)3．掌握平面向量的坐标运算法则．(重点、难点)1．结合平面向量正交分解的意义，能够写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量．(重点)2．能熟练地运用向量的加法、向量的减法及实数与向量的积的坐标运算法则进行有关运算．(难点)3．理解平面直角坐标系内任一点的坐标，只与以原点为始点以该点为终点的向量的坐标相同，并且相等向量的坐标相同，但始点和终点坐标却可以不同．(易错点)1．向量的坐标(1)如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．(2)如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．(3)在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2，则对任一向量a，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝(a1，a2)．其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量.(4)向量的坐标：设点A的坐标为(x，y)，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)．符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)，或向量(x，y)．名师点拨同一个向量不论怎样平移，其坐标都是唯一的．这一结论告诉我们，当一个向量在原来位置不容易解决问题时，可以通过平移到合适的位置再进行处理，这样可以使得问题得以转化．与坐标轴平行的向量的坐标有何特点？答：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即b＝(0，y)；与y轴平行的向量的横坐标为0.【自主测试1】已知{e1，e2}为正交基底，且e1，e2为单位向量，a在此基底下的坐标为(2011，－2012)，且a＝xe1＋ye2，则x＝__________，y＝__________.答案：2011－20122．向量的直角坐标运算(1)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a±b＝(a1±b1，a2±b2)，即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；若λ∈R，则λa＝(λa1，λa2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．归纳总结(1)在同一直角坐标系中，两向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的始点和终点的坐标却不一定相同，如A(3,5)，B(6,8)，C(－5,3)，D(－2,6)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(3,3)，显然eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，但A，B，C，D各点的坐标却不相同．(2)在平面直角坐标系中，给出了向量的坐标，将向量的运算代数化，同时也给出一种用向量运算解决问题的方法——向量坐标法．【自主测试2－1】已知a＝(1，－1)，b＝(3,0)，则3a－2b等于()A．(5,3)B．(4，－1)C．(－2，－1)D．(－3，－3)答案：D【自主测试2－2】已知向量＝(9，－7)(O为原点)，则点N的坐标为()A．(9，－7)B．(9,7)C．(－9,7)D．(－9，－7)答案：A对平面向量的坐标表示的理解剖析：(1)在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)．(2)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(3)在同一直角坐标系中，向量确定后，向量的坐标就被确定了，相等的向量，其坐标的表示必然相同．(4)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示．有了向量坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决．题型一求向量的坐标【例题1】已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为线段AC的中点，分别求向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))的坐标．分析：eq\x(表示出各点的坐标)→eq\x(用终点坐标减去始点坐标)→eq\x(得相应向量的坐标)解：如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos60°，2sin60°)，∴C(1，eq\r(3))，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1－2，eq\r(3)－0)＝(－1，eq\r(3))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2，\f(\r(3),2)－0))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(\r(3),2))).反思(1)向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．〖互动探究〗本例中，在原条件的基础上，加上“E为线段AB的中点，G为三角形ABC的重心”，求向量eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→))，eq\o(BG,\s\up6(→))，eq\o(GD,\s\up6(→))的坐标．解：eq\o(CE,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(3))，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(3),3)))，eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),6))).题型二平面向量的坐标运算【例题2】已知a＝(x＋3，x2－3x－4)与eq\o(MN,\s\up6(→))相等，其中M(－1,3)，N(1,3)，求x的值．分析：先用坐标表示出向量eq\o(MN,\s\up6(→))，然后根据两向量相等的充要条件列出关于x的关系式．解：∵M(－1,3)，N(1,3)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(2,0)．又∵a＝eq\o(MN,\s\up6(→))，∴(x＋3，x2－3x－4)＝(2,0)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝2，,x2－3x－4＝0，))解得x＝－1.故x的值为－1.反思向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行．若已知表示向量的有向线段的两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．【例题3】已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以，为一组基底来表示＋＋.分析：首先由点A，B，C的坐标求得向量，，，，等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式＋＋＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，再列出关于m，n的方程组，进而解方程求出m，n的值．解：＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，＝(－4,2)，＝(－5,1)，∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得＋＋＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，即(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，也就是(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2n＝－12，,3m＋4n＝8.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝32，,n＝－22.))∴＋＋＝32eq\o(AB,\s\up6(→))－22eq\o(AC,\s\up6(→)).反思本题是平面向量基本定理与坐标运算相结合的题目，求解过程体现了方程的思想和待定系数法的特点，尤其要注意区分点的坐标与向量的坐标．题型三用向量法证明几何问题【例题4】如图所示，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，四边形PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.分析：本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标法来解决，为此只要写出和的坐标，证明其模相等即可．证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a)．设|Deq\o(P,\s\up6(→))|＝λ(λ＞0)，则Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ，0))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ，\f(\r(2),2)λ))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(\r(2),2)λ))，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ－a，－\f(\r(2),2)λ))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)λ，a－\f(\r(2),2)λ)).∵||2＝λ2－eq\r(2)aλ＋a2，||2＝λ2－eq\r(2)aλ＋a2，∴||＝||，即PA＝EF.反思直接证明几何命题有时较复杂，但合理建立坐标系，利用向量的坐标运算将几何中的边或角进行转换，往往能起到事半功倍的效果．题型四易错辨析【例题5】已知A(3,5)，B(－2，－3)，将线段AB向左平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段A′B′，则向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))的坐标为__________．错解：∵A(3,5)，B(－2，－3)，∴＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)，再根据平移，得eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝(－5－6，－8＋1)＝(－11，－7)．错因分析：向量是自由向量，向量的平移不会改变其坐标，但会影响其始点和终点的坐标．正解：∵A(3,5)，B(－2，－3)，∴＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)．又∵eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝，∴eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝(－5，－8)．1．已知a＝(－1,2)，b＝(1，－2)，则a＋b与a－b的坐标分别为()A．(0,0)，(－2,4)B．(0,0)，(2，－4)C．(－2,4)，(2，－4)D．(1，－1)，(－3,3)答案：A2．已知＝(x，y)，点B的坐标为(－2,1)，则的坐标为()A．(x－2，y＋1)B．(x＋2，y－1)C．(－2－x,1－y)D．(x＋2，y＋1)解析：∵＝－，∴＝－＝(－2－x，1－y)．答案：C3．已知a＝(－7,24)，|λa|＝50，则λ等于__________．解析：∵|λa|＝|λ||a|＝eq\r(－72＋242)|λ|＝50，∴|λ|＝2，∴λ＝±2.答案：±24．已知A(eq\r(3)，－1)，则所在的直线与x轴所夹的锐角为__________．解析：易知点A在第四象限，如图，作AH⊥x轴于点H，则在Rt△AHO中，AH＝1，HO＝eq\r(3)，则tan∠HOA＝eq\f(\r(3),3)，故∠HOA＝30°.答案：30°5．若作用在坐标原点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则作用在原点的合力F1＋F2＋F3的坐标为__________．答案：(8,0)6．在平面直角坐标系中，质点在坐标平面内做直线运动，分别求出下列位移向量的坐标(如图所示)．(1)向量a表示沿东北方向移动了2个单位长度；(2)向量b表示沿西偏北60°方向移动了4个单位长度；(3)向量c表示沿东偏南30°方向移动了6个单位长度．解：如题图所示，设eq\o(OP,\s\up6(→))＝a，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝b，eq\o(OR,\s\up6(→))＝c，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x3，y3)．x轴、y轴正方向上的单位向量分别为e1，e2.(1)因为∠POP′＝45°，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝2，所以a＝eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OP′,\s\up6(→))＋eq\o(P′P,\s\up6(→))＝eq\r(2)e1＋eq\r(2)e2.所以a＝(e