第二章 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定

7第二章2.1直线的倾斜角与斜率2.1.2两条直线平行和垂直的判定【素养导引】1.理解两条直线平行与垂直的条件.(数学抽象)2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.(逻辑推理)3.能利用两条直线平行或垂直的条件解决问题.(逻辑推理)两条直线平行与垂直的判定两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,项目等价条件平行l1∥l2⇔__k1=k2__

垂直l1⊥l2⇔__k1k2=-1__

【批注】三点说明:(1)当两条直线的斜率都不存在时,l1与l2的倾斜角都是90°,l1∥l2.(2)若没有指明l1,l2不重合,则k1=k2⇔l1∥l2或l1与l2重合.用斜率证明三点共线时,常用到这一结论.(3)在利用以上结论判定两条直线的位置关系时,一定要注意前提条件,即斜率存在,因此在讨论问题的过程中一定要注意对斜率是否存在进行分类讨论.[诊断]1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行或重合. ()(2)若l1∥l2,则k1=k2. ()(3)两直线互相垂直,则两直线的斜率之积等于-1.()提示:(1)√.(2)×.两条直线平行,也可能两条直线都不存在斜率.(3)×.两直线互相垂直,可能其中一条直线的斜率不存在.2.(教材改编题)直线l1的斜率为23,l2经过点A(1,2),B(3,-1),则 (A.l1∥l2B.l1⊥l2C.l1与l2重合D.l1与l2的位置关系无法判断【解析】选B.直线l2的斜率k2=2+11−3=-32,因为23×-32=-1,所以l1⊥l3.(教材改编题)直线l1过点A(m,1),B(-3,4),l2过点C(0,2),D(1,1),且l1∥l2,则m=__________.

【解析】因为k2=2−10−1=-1,l1∥l2,所以k1=4−1−3−m=-1,所以答案:0学习任务一两条直线平行的判定(逻辑推理)1.(多选题)下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的是 ()A.l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7)B.l1的斜率为2,l2经过点A(1,1),B(2,2)C.l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,3),N(-2,-23)D.l1经过点E(2,6),F(2,3),l2经过点P(-3,-3),Q(-3,-6)【解析】选ACD.A中,因为kAB=5−1−3−2=-45,kCD=−7+38−3=-45,所以kAB=kCD,所以l1B中,因为kl2=2−12−1=1≠kl1=2,所以lC中,因为kl1=tan60°=3,kl2=3+231+2=3,所以kl1=D中,l1,l2的斜率均不存在,所以l1∥l2.2.经过两点C(3,1),D(-2,0)的直线l1,与经过点M(8,2)且斜率为15的直线l2的位置关系为 (A.平行 B.垂直C.重合 D.无法确定【解析】选C.因为kl1=0−1−2−3=15,所以又因为kMD=0−2−2−8=15,所以l1与l2判断两条不重合直线是否平行的步骤注意:区分平行与重合,必须强调不共线才能确定平行,因为两直线重合也可以推出两条直线的斜率相等.学习任务二两条直线垂直的判定(逻辑推理)【典例1】根据下列给定的条件,分别判断直线l1与l2是否垂直.(1)l1经过点A(1,3),B(-1,-1),l2经过点C(2,1),D(4,0);(2)l1经过点E(-1,3),F(-1,-5),l2经过点C(2,4),D(-1,4);(3)l1经过点P(2,-1),Q(3,4),l2的方向向量为(5,1).【解析】(1)由题意知k1=−1−3−1−1=2,k2=0−14−2=-12,因为k1k2=-1,所以l1⊥(2)由题意知l1的斜率不存在,l2的斜率为0,所以l1⊥l2.(3)由题意知k1=4−(−1)3−2=5,k2=15,因为k1k2≠-1,所以l1与l2判断两条直线垂直的方法(1)若两条直线都有斜率,只需要看它们的斜率之积是否等于-1即可;(2)若一条直线不存在斜率,另一条直线与x轴平行或重合时,这两条直线也垂直.已知两条直线l1,l2的斜率是关于x的方程3x2+mx-3=0(m∈R)的两个根,则l1与l2的位置关系是 ()A.平行 B.垂直C.可能重合 D.无法确定【解析】选B.由方程3x2+mx-3=0,知Δ=m2-4×3×(-3)=m2+36>0恒成立,故方程有两相异实根,即l1与l2的斜率k1,k2均存在.设两根为x1,x2,则k1k2=x1x2=-1,所以l1⊥l2.学习任务三平行与垂直的应用(逻辑推理)角度1求参数或点的坐标【典例2】(1)已知直线l1经过点A(0,-1)和点B-4a,1,直线l2经过点M(1,1)和点N(0,-2),若l1∥l2,则实数a的值为__________.

【解析】由题意得l1∥l2,所以kAB=kMN.因为kAB=2−4a=-a2,k所以-a2=3,所以a=-6答案:-6(2)已知定点A(-1,3),B(4,2),以AB为直径作圆,与x轴有交点C,则交点C的坐标是__________.

【解析】设C(x,0),因为kCB≠0,kCA≠0,所以kCA·kCB=-1,即0−3x+1·0−2x−4=-1,所以(x+1)(x-4)=-6,即x2-3x+2=0.所以x=1或x=2,所以C点坐标为答案:(1,0)或(2,0)本例(1)中,若把“l1∥l2”改为“l1⊥l2”,其他条件不变,求实数a的值.【解析】因为kAB=2−4a=-a2,kMN=−2−10−1=3,l1⊥l2,所以-a2角度2判断平面图形的形状【典例3】已知四边形MNPQ的顶点M(1,1),N(3,-1),P(4,0),Q(2,2),求证:四边形MNPQ为矩形.【证明】因为kMN=1+11−3=-1,kPQ=2−02−4=-1,所以MN又因为kMQ=2−12−1=1,kNP=0+1所以MQ∥NP,所以四边形MNPQ为平行四边形.又kMN·kMQ=-1,所以MN⊥MQ,所以四边形MNPQ为矩形.平行与垂直的应用问题的关注点1.利用平行或垂直求参数时,要注意斜率是否存在;2.由几何图形求点的坐标时,要根据图形的特征确定斜率之间的关系,务必考虑到图形可能出现的各种情形;3.利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法,先由图形作出猜测,然后利用直线的斜率关系进行判定.1.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是 ()A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A点为直角顶点的直角三角形D.以B点为直角顶点的直角三角形【解析】选C.如图所示,易知kAB=−1−12−(−1)-23,kAC=4−11−(−1)=32,由kAB·kAC=-1知三角形是以